прогрессия » арифметическая прогрессия последовательность
  • Какая из последовательностей, заданных формулой n-го члена является арифметической прогрессией?
    1) a_n=2_n^2+1; 2) a_n=-1,2(дробь)n+1;
    3) a_n=1 дробь 5-n ; 4) a_n=3*5^n.


    Решение: Арифметическая прогрессия обладает следующим свойством: каждый член ар. прог. начиная со второго равенсреднему арифметическому предыдущего и последующего членов.
    1) аn=2n²+1
    a₁=3 a₂=9 a₃=19⇒(19+3)/2≠9⇒не прогрессия
    2)an=-1/2n+1=-0,5n+1
    a₁=0,5 a₂=0 a₃=-0,5⇒(0,5-0,5)/2=0⇒прогрессия
    3)an=1/5-n
    a₁=-4/5=-0,8 a₂=-1 4/5=-1,8 a₃=-2 4/5-2,8⇒(-0,8-2,8)/2=-1,8⇒прогрессия
    4)an=3*5^n
    a₁=15 a₂=75 a₃=375⇒(375+15)/2=75⇒не прогрессия

  • Для каждой последовательности из левого столбца поставьте в соответствие верное утверждение из правого столбца.

    а) 0; 1/5; 2/5; 3/5;.

    б) -50; -70; -90;.

    в) 34; 33; 31; 28;.

    1) Последовательность не является арифметической прогрессией.

    2) Последовательность-возрастающая арифметическая прогрессия

    3) последовательность - убывающая арифметическая прогрессия.


    Решение: а) 0; 1/5; 2/5; 3/5;. 2) Последовательность-возрастающая арифметическая прогрессия

    б) -50; -70; -90;.3) последовательность - убывающая арифметическая прогрессия.

    в) 34; 33; 31; 28;.1) Последовательность не является арифметической прогрессией.

    если что-то будет не понятно обращайся

    а - 2 ( возраст)

    б - 1 (не явл) 

    в - 3 (убывающ)

  • для некоторой последовательности a1 a2 a3.an. верно равенство: 1/ (a1*a2) + 1/(a2*a3) + 1/(a3*a4) +.+ 1/(ak-1*ak) = (k-1) / (a1*ak). Докажите что эта последовательность - арифметическая прогрессия


    Решение: $$ \frac{1}{a_1a_2}+.+\frac{1}{a_{k-1}a_k} = \frac{k-1}{a_1a_k}\\ \frac{1}{a_1a_2}+.+\frac{1}{a_{k}a_{k+1}} = \frac{k}{a_1a_{k+1}}\\ $$

    вычтем из второго первое

    $$ \frac{1}{a_{k}a_{k+1}} = \frac{k}{a_1a_{k+1}}- \frac{k-1}{a_1a_k}\\ \frac{a_1}{a_1a_{k}a_{k+1}} = \frac{ka_k}{a_1a_ka_{k+1}}- \frac{(k-1)a_{k+1}}{a_1a_ka_{k+1}}\\ a_{k+1} = \frac{ka_k - a_1}{k-1} = a_k + \frac{a_k-a_1}{k-1} $$

    Обозначим $$ d = a_2-a_1 $$

    тогда для $$ a_2 = a_1 + d $$

    предположим, что выполняется $$ a_k = a_1 + (k-1)d $$ для некоторого k, тогда

    $$ a_{k+1} = a_k + \frac{a_k-a_1}{k-1} = a_1 + (k-1)d + \frac{a_1+(k-1)d - a_1}{k-1}=\\ =a_1 + (k-1)d + d = a_1 + kd $$

    Следовательно последовательность является арифметической.

  • последовательность(an)-арифметическая прогрессия. найдите а) а11, если а1=-3 и d=0,7; б) а26, если а1=18 и d=-0,6


    Решение: а1=4 Б) а26=3

    а Б а...
  • Арифметическая прогрессия начинается так: 16;12;8;. Какое число стоит в этой последовательности на 71-м месте?


    Решение: Между членами прогрессии есть разность. Обозначим три данных числа так, что бы было понятно.
    a1=16, a2=12, a3=8
    Разность находиться по формуле d=a(n)-a(n-1)
    То есть в нашем случае d=a2-a1, d=12-16=-4
    То есть если разность d равна -4, то каждый член уменьшается на 4 единицы.
    Формула нахождения n-ого члена такая a(n)=a1+d(n-1)
    То есть в нашем случае нужно найти 71 член прогрессии. Тогда подставляем в формулу a71=16+(-4)*70
    a71=16-280=-264
    Ответ: -264

  • Дана арифметическая прогрессия -5,2,9 какое число стоит в этой последовательности на 91 месте? Решите )


    Решение: формула арифметической прогрессии

    $$ a_{n+1}=a_{n}+d $$

    найдем разность прогрессии

    $$ d=a_{n+1}-a_n $$

    $$ d=9-2=7 $$

    формула n-го члена арифметической прогрессии

    $$ a_n=a_1+d*(n-1) $$

    подставляем в формулу известные данные

    $$ a_{91}=-5+7*(91-1)=-5+7*90=-5+630=625 $$

    Арифметическая прогрессия: -5, 2, 9, 

     Найдём разность прогрессии: d = a2 - a1 = 2 -(-5) = 7. 

      Теперь найдём число, стоящее в последовательности на 91 месте, то есть найдём a91:

      a91 = a1 + d(n-1) = -5 +7(91-1) = -5 + 630 = 625. 

      Ответ: 625

  • 1. Найдите значение выражений ₄₀₀ · ₀,₀₀₄ · ₄₀
    2. какое из чисел больше : ₄+ √5 или √6+√15
    3. решите уравнение х²+₃х = 4
    4. Дана арифметическая прогрессия : -18,11,4, Какое число стоит в этой последовательности на 21-м месте?
    5. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 58 и одна сторона на 5 больше другой


    Решение: 1) 64
    2) 4 + √5 меньше  √6+√15
    3) а+в-с=о⇒ х1=1
    х²-х+4х-4=0
    х(х-1)+4(х-1)=0
    (х-1)(х+4)=о ⇒х2=-4
    4)  по определению арифметической прогрессии  а₂=a₁+d
    в нашем случае d=7
    по формуле n -ного члена An=A1+ d(n-1)=-18+7(21-1)=122
    5) ширина -а, длина а+5
    периметр =2(а+а+5)=58
    4а+10=58
    4а=48
    а=12
    длина=а+5=12+5=17
    площадь равна длина*ширина=12*17=204

  • Определить, при каких значений х три числа lg2, lg(3^x - 3) і lg(3^x + 9), взятые в заданной последовательности образуют арифметическую прогрессию.


    Решение: lg(3^x - 3)- lg2=lg(3^x + 9)-lg(3^x - 3)

    2lg(3^x - 3)-lg(3^x + 9)- lg2=0

    lg(3^x - 3)^2-lg(3^x + 9)-lg2=0

    lg(((3^x - 3)^2)/(2(3^x + 9)))=0

    10^0=((3^x - 3)^2)/(2(3^x + 9))

    1=((3^x - 3)^2)/(2(3^x + 9))

    (3^x - 3)^2=2(3^x + 9)

    3^2x-6*3^x+9=2*3^x+18

    3^2x-8*3^x-9=0

    y^2-8y-9=0

    D=64+36=100

    y1=(8-10)/2=-1

    y2=(8+10)/2=9

    3^x=-1 - не имеет смысла

    3^x=9

    х=2

    Т. о. при х=2 три числа lg2, lg(3^x - 3) і lg(3^x + 9), взятые в заданной последовательности образуют арифметическую прогрессию

  • Можно ли из последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4,… выделить арифметическую прогрессию а) длиной 4б) длиной 5в) длиной k, где k ‐ любое натуральное число?


    Решение: Можно ли из последовательности  1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7. 
    выделить арифметическую прогрессию
    а) длиной 4;
    б) длиной 5;
    в) длиной n, где n - любое натуральное число? Возьмём парочку произвольных членов последовательности и посчитаем их разность.
                                  
    Теперь продолжим начатую арифметическую прогрессию с найденной разностью:
                                            
    Если первые два числа привести к тому же знаменателю m(m + k), то получим:
                                            
    Чтобы прогрессия состояла из трёх членов данной последовательности, третья дробь
    должна сократиться, и при этом в числителе должна оказаться единица, т. е. 
    знаменатель m(m + k) должен поделиться на числитель (m - k).
    Это произойдёт, например, при m = 2k. Получим прогрессию:
                                  
    Подставляя различные натуральные k, будем получать разные примеры прогрессий.
    Чтобы в четвёртом члене прогрессии при сокращении оказалась единица,
    знаменатель m(m + k) должен поделиться на числитель (m - 2k).
    Это произойдёт, например, при m = 3k:
                                                 
    Потребуем теперь, чтобы сократилась пятая дробь. Возьмём m = 4k. Наша прогрессия:
                                                                
    Чтобы во всех числителях оказалась единица (третья дробь подводит), возьмём k = 3:
                                                                
    Присмотримся внимательно к прогрессии, найденной в самом начале решения:
                                        
    Числители образуют арифметическую прогрессию, знаменатели равны. 
    Возьмём в качестве знаменателя n! а в качестве числителей 1, 2, 3,
    .    

  • Числа 2,4,x образуют геометрическую прогрессию и последовательность 3, x, y является
    арифметической прогрессией. Определите значение y.


    Решение: Имеется геометрическая прогрессия $$ 2, 4, x, b_n, b_{n+1}, $$
    В геометрической прогрессии следующий член образуется умножением предыдущего члена на какое-то определенное постоянное число (оно называется знаменатель прогрессии). В нашем случае $$ 4 = 2 \cdot d (d — знаменатель),$$ выразим $$ d : d = \frac{4}{2} = 2 $$. Итак, каждый следующий член нашей геометрической прогрессии в два раза больше предыдущего. То есть:$$ x = 4 \cdot 2 = 8 $$
    Помимо геометрической прогрессии нам также дана арифметическая прогрессия $$ 3, x, y, a_n, a_{n+1}, $$
    Нам уже известно, что $$ x =8 $$, то есть прогрессия имеет вид: $$ 3, 8, y, a_n, a_{n+1}, $$
    Каждый следующий член арифметической прогрессии получается прибавлением к предыдущему члену определенного постоянного числа (которое называется разность прогрессии). В нашем случае имеем, что $$ 8 = 3 + m (m — разность прогрессии)$$ Найдем отсюда $$ m : m = 8 - 3 = 5 $$
    Итак, в нашей прогрессии каждый новый член получается прибавлением к предыдущему 5. Отсюда: $$ y = x + 5 = 8 + 5 = 13 $$

1 2 > >>