сумма членов арифметической прогрессии
Дана сумма, слагаемые которой являются членами арифметической прогрессии.
а) 2+6+10+.+198
б) 95+85+75+.+(-155)
Решение: РешениеA) Заметим что каждое число увеличивается на 4 d=4
Сначала найдем количесво членов n прогрессии
$$ a_n=a_1+d*(n-1) $$
$$ (n-1)=\frac{a_n-a_1}{d}=\frac{198-2}{4}=49 $$
Значит n = 50, 50 членов у этой прогрессии находим сумму
$$ S_{50}=\frac{(a_1+a_{50})*n}{2}=\frac{(2+198)*50}{2}=5000 $$
B) Заметим что каждое число уменьшается на 10 d=-10
Аналогично находим
$$ a_n=a_1+d*(n-1) $$
$$ (n-1)=(-155-95)/-10=25 $$
Значит n = 26, 26 членов у этой прогрессии находим сумму
$$ S_{26}=\frac{(a_1+a_{26})*n}{2}=\frac{(95+(-155))*26}{2}=-780 $$
Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии 3,5,7. сумма которых не превосходит 120
Решение: По формуле суммы членов арифметической прогрессии получаемSn=(A1*n+An*n)/2=120 (1)
Выразим An и D по основным формулам
An=A1+D*n - D
D=A2-A1
Теперь подставим An и D в первое уравнение выведенное нами
3*n+3*n+2*n^2-2*n=240
2*n^2+4*n-240=0
После деления левой и правой части на 2 получаем
n^2+2*n-120=0
Решаем квадратное уравнение
n1=(-2+22)/2=10
второе решение не верное так как n отрицательное
Сколько членов содержится в возрастающей арифметической прогрессии с положительными членами, у которой сумма членов с четными номерами относится к сумме членов с не четными номерами как 12:13?
Решение: Т. к. сумма членов с четными номерами меньше суммы членов с нечетными, то прогрессия содержит нечетное количество членов. Обозначим это количество n = 2m+1.
Первый член прогрессии обозначим а1, последний аN.
Из нечетных членов прогрессии можно составить новую прогрессию, у которой первый член будет тоже а1, а последний аN, количество членов в этой прогрессии = (m+1).
Сумма членов такой прогресс S₁=(a1+aN)*(m+1)/2
Из четных членов прогрессии получится прогрессия, у которой первый член будет (а1+d), а последний (aN-d), в этой прогрессии будет m членов, а их сумма S₂=(a1+d+aN-d)*m/2. = (a1+aN)*m/2
Т. к. S₂ : S₁ = 12 : 13, получили уравнение:
$$ \frac{(a_1+a_n)m}{2} : \frac{(a_1+a_n)(m+1)}{2} = \frac{12}{13} \\\frac{m}{m+1} = \frac{12}{13}\\13m=12m+12\\m=12\=2m+1=2*12+1=25 $$
Ответ: 25 членовНайдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 250 которые не делятся на 7
Решение: S250=(1+250)*250\2=31375a1=7 a2=7+7=14 a n=a1+7*(n-1)=245 245=7+7n-7 7n=245 n=35
S35=(7+245)*35\2=4410
S=31375-4410=26965
1) Сначала найдём сумму всех чисел до 250. $$ \frac{250*(250+1)}{2} $$ = 31375.
2) Далее найдём сумму всех чисел меньше 250, делящихся на 7. Всего их 35(от 7 до 245) $$ \frac{35*(7+245)}{2} $$ = 4410.
3) необходимо найти сумму чисел, по условию задачи. до 250 и неделящихся на 7. Это будет разность 2х предыдущих найденых чисел(в общем все числа до 250 - все числа до 250 делящиеся на 7). Значит 31375 - 4410= 26965.
Ответ: 26965.
Дана арифметическая прогрессия (an) Вычислите сумму 15 членов если а6=18 d=2
Решение: a6=a1+5d=18a1=18-10=8
a15=a1+14d=8+28=36
S15=(a1+a15)/2*15 = (8+36)/2*15 = 22*15 = 330
