прогрессия »

сумма членов арифметической прогрессии

  • Дана сумма, слагаемые которой являются членами арифметической прогрессии.

    а) 2+6+10+.+198

    б) 95+85+75+.+(-155)


    Решение: Решение

    A) Заметим что каждое число увеличивается на 4 d=4

    Сначала найдем количесво членов n прогрессии

    $$ a_n=a_1+d*(n-1) $$

    $$ (n-1)=\frac{a_n-a_1}{d}=\frac{198-2}{4}=49 $$

    Значит n = 50, 50 членов у этой прогрессии находим сумму

    $$ S_{50}=\frac{(a_1+a_{50})*n}{2}=\frac{(2+198)*50}{2}=5000 $$

    B) Заметим что каждое число уменьшается на 10 d=-10

    Аналогично находим

    $$ a_n=a_1+d*(n-1) $$

    $$ (n-1)=(-155-95)/-10=25 $$

    Значит n = 26, 26 членов у этой прогрессии находим сумму

    $$ S_{26}=\frac{(a_1+a_{26})*n}{2}=\frac{(95+(-155))*26}{2}=-780 $$

  • Укажите наибольшее число членов арифметической прогрессии 3,5,7. сумма которых не превосходит 120


    Решение: По формуле суммы членов арифметической прогрессии получаем

    Sn=(A1*n+An*n)/2=120 (1)

    Выразим An и D по основным формулам

    An=A1+D*n - D

    D=A2-A1

    Теперь подставим An и D в первое уравнение выведенное нами

    3*n+3*n+2*n^2-2*n=240

    2*n^2+4*n-240=0

    После деления левой и правой части на 2 получаем

    n^2+2*n-120=0

    Решаем квадратное уравнение

    n1=(-2+22)/2=10

    второе решение не верное так как n отрицательное

  • Сколько членов содержится в возрастающей арифметической прогрессии с положительными членами, у которой сумма членов с четными номерами относится к сумме членов с не четными номерами как 12:13?


    Решение: Т. к. сумма членов с четными номерами меньше суммы членов с нечетными, то прогрессия содержит нечетное количество членов. Обозначим это количество n = 2m+1.
    Первый член прогрессии обозначим а1, последний аN.
    Из нечетных членов прогрессии можно составить новую прогрессию, у которой первый член будет тоже а1, а последний аN, количество членов в этой прогрессии = (m+1).
    Сумма членов такой прогресс S₁=(a1+aN)*(m+1)/2
    Из четных членов прогрессии получится прогрессия, у которой первый член будет (а1+d), а последний (aN-d), в этой прогрессии будет m членов, а их сумма S₂=(a1+d+aN-d)*m/2. = (a1+aN)*m/2
    Т. к. S₂ : S₁ = 12 : 13, получили уравнение:
    $$ \frac{(a_1+a_n)m}{2} : \frac{(a_1+a_n)(m+1)}{2} = \frac{12}{13} \\\frac{m}{m+1} = \frac{12}{13}\\13m=12m+12\\m=12\=2m+1=2*12+1=25 $$
    Ответ: 25 членов

  • Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 250 которые не делятся на 7


    Решение: S250=(1+250)*250\2=31375

    a1=7     a2=7+7=14       a n=a1+7*(n-1)=245    245=7+7n-7 7n=245 n=35

    S35=(7+245)*35\2=4410

    S=31375-4410=26965

    1) Сначала найдём сумму всех чисел до 250.  $$ \frac{250*(250+1)}{2} $$ = 31375.

    2) Далее найдём сумму всех чисел меньше 250, делящихся на 7. Всего их 35(от 7 до 245) $$ \frac{35*(7+245)}{2} $$ = 4410.

    3) необходимо найти сумму чисел, по условию задачи. до 250 и неделящихся на 7. Это будет разность 2х предыдущих найденых чисел(в общем все числа до 250 - все числа до 250 делящиеся на 7).  Значит 31375 - 4410= 26965.

    Ответ: 26965.

  • Дана арифметическая прогрессия (an) Вычислите сумму 15 членов если а6=18 d=2


    Решение: a6=a1+5d=18

    a1=18-10=8

    a15=a1+14d=8+28=36

    S15=(a1+a15)/2*15 = (8+36)/2*15 = 22*15 = 330

    a a d a - a a d S a a...

  • Дана арифметическая прогрессия an. Вычислите сумму 5 членов, если a9=44 d=4


    Решение: Можно вот так: если d =4, а а9 = 44, то 44-4=40(это а8) 40-4=36(это а7)36-4=32(это а6)32-4=28(это а5) 28-4=24(а4)24-4=20(а3)20-4=16(а2)16-4=12(а1)

    an=a+(n-1)d

    44=a+32

    a=12 (мы нашли a1=12)

    Далее,

    S=n*(a1+an)/2

    S=5*(12+60)/2

    S=60+300/2

    S=360/2

    S=180

    Ответ:180

  • дана арифметическая прогрессия {a^n}Вычислите сумму 7 членов, если A^10=38, d=5


    Решение: а10=38 a9=33 а8=28 а7=23 а6=18 а5=13 а4=8 а3=3 а2=-2 а1=-7

    d=5

    S7- S7= 2*(-7)(7-1)*5

    - *7=56

      2

    Сначала найти $$ a_{1} $$. Т. к. $$ a_{n}= a_{1}+d(n-1) $$, то$$ a_{1}=a_{n}-d(n-1) = a_{10}-d(10-1)=38-5*9= -7. $$
    $$ S_{n}=\frac{(a_{1}+a_{n})n}{2} => S_{7}=\frac{(-7+23)*7}{2} = \frac{112}{2}=56. $$

  • дана арифметическая прогрессия{An}вычислите сумму 9 членов если А15=22 d=1


    Решение: a15=a1+14d

    22=a1+14

    a1=8

     S9=2a1+8d/2 *9=16+8/2*9=12*9=108 

    *Формула нахождения n-го члена арифм. прогрессии:

    an = a1 + d(n-1)

    В данном случае:

    a15 = a1 + 14d

    Подставляем данные числа:

    22 = a1 + 14 * 1

    a1 = 22 - 14

    a1 = 8

    Формула вычисления n членов арифметической прогрессии:

    Sn = ((2*a1 + d(n-1))/2) * n

    В данном случае:

    S9 = (2* 8 + 1*8)/2)*9 = 108

  • Найти сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии 5 3 1


    Решение: найдем разность прогрессии:

    d=3-5 = -2

    а12 = а1 + 11d =5+11*(-2) = 5-22=-17

    S12 = (a1+a12)*12/2 = (5-17)6 = -12*6=-72

    Ответ: S12= -72

    найдем разность прогрессии d - - а а d - - - S a a - - - Ответ S -...

  • Найти сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии (аn), если a5=-0.8, a11=-5


    Решение: Дано: a5=-0.8; a11=-5;
    an=a1 + d(n-1)
    a1 + 10d = -5
    a5=a1 + 4d
    a1 + 4d = -0.8
    решаем систему: a1 + 10d = -5
                                  a1 + 4d = -0.8
    a1 + 10d = -5
    -a1 - 4d = 0.8
    6d = -4.2
    d = -0.7
    a5 = a1 + 4d
    -0.8 = a1 - 2.8
    a1 = 2
    s20 = (a1 + a20)*n/2
    a20 = a1 + 19d= 2 - 13.3= -11.3
    s20= (2 -11.3)*20/2= -9.3*10=-93
    Ответ: -93

    a5=-0.8, a11=-5
    a5=a1+4d
    a11=a1=10d
    -0,8=a1+4d | *(-1)
    -5=a1+10d
    0,8=-a1-4d
    -5=a1+10d
    -4,2=6d
    d=-0,7
    a1+4d=a5
    a1-2,8=-0,8
    a1=2
    S=(2a1+19d)*20/2=2*2+19*(-0,7)*20/2=(4-13,3)*20/1=-9.3*10=-93
    Ответ : -93