прогрессия »

в геометрической прогрессии найдите - страница 2

  • Решить сумму геометрической прогрессии \( b_1=24;\\ b_2=-8;\\ b_3=\frac83;\\ b_4=-\frac89; \)


    Решение: $$ b_1=24;\\ b_2=-8;\\ b_3=\frac83;\\ b_4=-\frac89;\\ q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{b_4}{b_3}=\frac{-\frac{8}{9}}{\frac{8}{3}}=\frac{b_3}{b_2}=\frac{\frac{8}{3}}{-9}=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-8}{24}=-\frac13;\\ S_n=b_1\cdot\frac{1-q^n}{1-q}=24\cdot\frac{1-(-\frac{1}{3})^4}{1-(-\frac13)}=24\cdot\frac{1-\frac{1}{81}}{1+\frac13}=24\cdot\frac{\frac{80}{81}}{\frac{4}{3}}=24\cdot\frac{80}{4}\cdot\frac{3}{81}=\\ =8\cdot3\cdot20\cdot\frac{1}{3\cdot9}=\frac{160}{9} $$
    проверим
    $$ 24+(-8)+\frac{8}{3}+(-\frac{8}{9})=\frac{24\cdot9-8\cdot9+8\cdot3-8}{9}=\\ =\frac{216-72+24-8}{9}=\frac{160}{9} $$
    если вопрос состоял про сумму бесконечной геометри ческой прогрессии, тогда
    главноу условие $$ \left|q\right|<1 $$ выполняеться, $$ \left|-\frac{1}{3}\right|=\frac13<1 $$ 
    тогда имеем
    $$ S=b_1\cdot\frac{1}{q}=24\cdot\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=24\cdot\frac{1}{1+\frac13}=24\cdot\frac{1}{\frac{3+1}{3}}=24\cdot\frac{1}{\frac43}=\\ =24\cdot\frac34=6\cdot3=18 $$

  • Известно, что x1 и x2 - корни уравнения x^2-3x+a=0, x3 и х4 - корни уравнения x^2-12x+c=0, к тому же числа х1, х2, х3, х4 образуют в этой последовательности геометрическую прогрессию. Найдите а и с.


    Решение: {x₁ +x₂ =3 ; x₃+x₄ =12. * * * Теорема Виета * * *
    {x₁+x₁q=3 ; x₁q² + x₁q³ =12.
    {x₁(1+q)=3 ;x₁q²(1 + q) =12. * * * разделим второе на первое * * *
    q =± 2  ;
    1. {q = -2 ; x₁ = - 3.
    x₁= -3  ; x₂ =6 ; x₃=-12 ;x₄=24.
    a₁= x₁* x₂ = -18.
    c₁ =x₃*x₄= -288.
    2.  {q = 2 ; x₁ =1.
    x₁=1  ; x₂ =2 ; x₃=4 ;x₄=8.
    a₂ = x₁* x₂ = 2.
    c₂=x₃*x₄= 32.
     ответ: -18 ;  -288  или 2 ; 32.
    -
    x² -3x -18=0 ; x² -12x -288 =0 ; || -3  ; 6 ; -12 ; 24
    или
    x² -3x +2=0 ; x² -12x +32 =0 ; || 1; 2 ; 4 ;8

  • Последовательность (Bn) - геометрическая прогрессия. Найдите:
    А) b7, если b1=-2/9, b3=-2;
    Б) b1, если b4=-1, b6=-100
    Решить через систему.


    Решение: $$ \begin{cases} b_1=- \frac{2}{9} \\ b_3=b_1q^2=-2 \end{cases} \\\ - \frac{2}{9}\cdot q^2=-2 \\\ q^2=9 \\\ \Rightarrow b_7=b_1q^6=b_1(q^2)^3= - \frac{2}{9}\cdot 9^3=-162 $$
    Ответ: -162
    $$ \begin{cases} b_4=b_1q^3=-1 \\ b_6=b_1q^5=-100 \end{cases} \\\ \frac{b_6}{b_4} = \frac{b_1q^5}{b_1q^3} =q^2 \\\ q^2= \frac{-100}{-1} =100 \\\ q_1=10; \ q_2=-10 \\\ b_1= \frac{b_4}{q^3} \\\ \Rightarrow (b_1)_1= \frac{b_4}{q_1^3} =\frac{-1}{10^3} =-\frac{1}{1000} \\\ \Rightarrow (b_1)_2= \frac{b_4}{q_2^3} =\frac{-1}{(-10)^3} =\frac{1}{1000} $$
    Ответ: -0,001 или 0,001

  • Последовательность (bn)-геометрическая прогрессия. Найдите b1, если b3=1/3, b4=-1/12.


    Решение: b(3)=1/3
    b(4)=-1/12
    b(1)=?
    Составим систему:
    b1*q^2=1/3 && b1*q^3=1/12
    b1 = 16/3, q = 1/4

    Из того, что дано, найдём сразу q(знаменатель прогрессии)= -¼

    Система : b₃=b₁· q²

                    b₄=b₁·q³

    Система:  ⅓=b₁· q²

                  -1/12=b₁·q³

    Система: ⅓=b₁· (-¼)²

                  -1/12=b₁·(-¼)³

    Cистема: (выражаем b₁ и подставляем):b₁=16/3

                                                                 b₁= -16/3

  • Последовательность(Bn) - геометрическая прогрессия, в которой b4 = 18 и q = √3. Найдите b1


    Решение: Формула: Bn=Bn-1*q
    Найдем b3:
    b4=b3*q
    18=b3*корень из 3
    b3=18/корень из 3
    Найдем b2:
    b3=b2*q
    18/корень из 3=b2*корень из 3
    b2=18/корень из 3 делить на корень из 3
    b2=6
    Найдем b1:
    b2=b1*q
    6=b1*корень из 3
    b1=6/корень из 3
    Ответ: 6/корень из 3
    P.S 6/корень из 3 (в числителе 6, а в знаменателе корень из 3)

<< < 12 3 4 > >>