в геометрической прогрессии найдите - страница 2
Последовательность (bn)-геометрическая прогрессия. Найдите :
а)B6, если B1 =125, B3 = 5
б)B7. если B1 = минус два черта дроби девять, B6 = -100
Решение: bn=b1*q(n-1)
b6=b1*q(в пятой степени)b3=b1*q(во второй степени)
5=125*q(во второй степени)
q(квадрат)=(дробь, в знаменателе 5, в числителе 125)=(дробь(в знаменатель:1, числитель25)
q=+-одна пятая(дробь)
если q=одна пятая, то b6=125*(одна пятая, в пятой степени)
5(в третей степени)*(одна пятая, в пятой степени)=(дробь, числитель:5 в третей степени, числитель: 5 в пятой степени, сокращается и получается.)=одна двадцать пятая.
если q=-одна пятая, то b6=125*(-одна пятая в пятой степени)=-( дробь, числитель:5 в третей степени, числитель: 5 в пятой степени, сокращается и получается.)=-одна двадцать пятая.
Ответ: +-одна двадцать пятаяТри положительных числа первое из которых равно 4 составляют геометрическую прогрессию если второе число увеличить на 8 то прогрессия станет арифметической. Найдите знаменатель этой прогрессии.
Решение: По условию у нас есть: а1=4; а2=4q; а3=4q²
тогда после увеличения второго числа получаем арифметическую прогрессию:
а1=4; а2=4q+8; а3=4q², по свойству среднего члена :
а2=(а1+а3)/2
4q+8=(4+4q²)/2
2q²-4q-6=0
q²-2q-3=0
q1=-1,
q2=3
или немножко по другому: а1 - 4, а2 - 4х, а3 - 4х²
а2+ 8, стало 4х+8
в арифметич. прогрессии разница между а1 и а2= а2 и а3:
(4х+8)-4 = 4х² - (4х+8) найдем√ х = -1; 3.
В геометрической прогрессии а5=11. Найдите а3*а7
Решение: Сначала по формуле вычислим А1
Аn = A1 * q (в степени n-1) отсюда:
А5 = А1* q в степени 4 = 11
значит А1 = 11/ q в степени 4
дальше по этой же формуле вычислим А3 и А7, только вместо А1 ставим "11/ q в степени 4"
А3 = 11/ q в степени 4 * q в степени 2 = 11/q в степени 2 (сокращается q в степени 2)
А7 = 11/ q в степени 4 * q в степени 6 = 11* q в степени 2 (сокращается q в степени 4)
далее умножаем:
11/q в степени 2 * 11* q в степени 2 = 121, так как q в степени 2 есть в числителе и знаменателе то они сокращаются и остается только цифрав геометрической прогрессии (Bn) B2=6, B4=4. Найдите B6
Решение: $$ b_2 = b_1q = 6 \\ b_4 = b_1q^3 = 4 $$Решим систему уравнений, найдем первый член и знаменатель геометрической прогрессии:
$$ \left \{ {{b_1q=6} \atop {b_1q^3 = 4}} \right. \\ \left \{ {{b_1 =\frac{6}{q} } \atop {\frac{6}{q}q^3=4}} \right. $$
$$ \left \{ {{b_1 = \frac{6}{q}} \atop {q = \frac{2}{\sqrt{6}}}} \right. $$
$$ \left \{ {{b_1 = 3\sqrt{6}} \atop {q = \frac{2}{\sqrt{6}}}} \right. $$
$$ b_6 = b_1q^5 = 3\sqrt{6}*\frac{2^5}{\sqrt{6}^5} $$
$$ b_6 = \frac{8}{3} $$
b6=b4^2/b2=16/6=8/3 вот и все делается за 2 сек.
В геометрической прогрессии b7=2 в степени -12, b9=2 в степени - 14. Найдите b1
Решение: Я не сразу поняла задание, так что предложу 2 варианта решения: 1) степень отрицательная, 2) степень положительная.1)b8 = корень квадр. из b7 * b9 = 2^-13
q=b8 : b7 = 2^-13 / 2^-12 = 2^-1
b1=b7 : q^6 = 2^ -12 : 2^-6 = 2^-6= 1/64
Ответ: 1/64
2) b8 = корень кв. из b7 * b9 = 2^13
q=b8 : b7 = 2^13 / 2^12 = 2^1
b1=b7 : q^6 = 2^12 : 2^6 = 2^6= 64
Ответ: 64
Примечание: цифра после буквы это индекс, а обозначение «^» - степень.
В геометрической прогрессии найдите b1 и q, если b2=4 и b4=1
Решение: Решение:
Зная фoрмулу b_n=b1+q^(n-1)
b2=b1+q^(2-1) или: b1+q=4
b4=b1+q^(4-1) или: b1+q^3=1
Решим систему уравнений:
b1+q=4
b1+q^3=1 для решения данной системы уравнений вычтем из первого уравнения второе уравнение и получим:
q-q^3=3
q(1-q^2)=3
q1=3
q^2=1
q2,3=+-1 И так как у нас убывающая геометрическая прогрессия, так как b4<b1,
то q=-1
Найдём b1: b1-1=4
b1=4+1=5
Ответ: b1=5; q=-1
Для геометрической прогрессии (bn) найдите: 1)b1, если: b5 =17,5, q=-2,5 2)q, если: b6=25, b8=9 3)b1 если:b4=-1,b6=100
Решение: 1) b₅=17,5 q=-2,5 b₁=?
b₅=b₁*q⁴=17,5
b₁=17,5/(-2,5)⁴=17,5/39.0625=0,448.
2) b₆=25 b₈=9 q-
b₆=b₁q⁵=25
b₈=b₁*q⁷=9
Разделим второе уравнение на первое:
q²=9/25
q₁=3/5.
3) b₄=-1 b₆=-100 b₁-
b₄=b₁*q³=-1
b₆=b₁*q⁵=-100
Разделим второе уравнение на первое:
q²=100
q₁=10 q₂=-10
b₁=-1/10³=-0,001 b₂=-1/(-10)³=0,001.
В геометрической прогрессии (cn) c5=162;q=-3, а) Найдите с1.
Решение: Cn=C1*q^(n-1)С5=С1*q^4
162=C1*(-3)^4
C1=2
Член погрессии будет положительным, если показатель степени будет четным, а значит член прогрессии будет иметь нечетный порядковый номер.C1,C3,C5,
А отрицательные члены должны иметь нечетный показатель степени, а значит имеют четные порядковые номера.C2, C4,C6,
$$ c_n=c_1q^{n-1};\\\\c_5=c_1q^{5-1}=c_1q^4;\\\\c_1=\frac{c_5}{q^4}=\frac{162}{(-3)^4}=\frac{162}{81}=2 $$
ответ: 2
В геометрической прогрессии an:
а) найдите q и n, если a1 = 3, an = 768, Sn = 1023
б) найдите n и an, если a1 = 243, q = -1/3, Sn = 182
Решение: А)3*q^(n-1)=768
3*(1-q^n)=1023*(1-q)
-
q^(n-1)=256
(1-q^n)=341*(1-q) или, что то же самое: (q^n-1)=341*(q-1)
Вероятно, все ж, q -целое, тогда либо q=2 n=9
либо 4 n=5
либо 16 n=3
256 n=2
Легко видеть, что годится только q=4 n=5
Ответ: q=4 n=5
б) 243* (3^(-n)+1)=182*(1/3+1)
243*(1-(-3)^(-n))=182*4/3
729 -3^6*(-3)^(-n)==728
(3^6)*(-3)^(-n)=1
Ответ:
n=6
an=243*(-1/(3^5))=-1
Для геометрической прогрессии(Bn) найдите Sn, если: B1=-4,q=1/2,n=13
Решение: S(13)=-4*(1/2^13-1)/-0.5S(13)=4*(1/2^13-1)/0.5
а дальше некрасиво получается, видимо ку другое
$$ Sn=\frac{b1*(q^{n}-1)}{q-1} \\ S13=\frac{-4*((\frac{1}{2})^{13}-1)}{\frac{1}{2}-1}=\frac{-4*(\frac{1}{2048}-1)}{-\frac{1}{2}}=\frac{-4*(-\frac{2047}{2048})}{-\frac{1}{2}} \\ =\frac{-4*(-\frac{2047}{2048})}{-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{2047}{512}}{-\frac{1}{2}}=\frac{2047}{512}:(-\frac{1}{2})=\frac{-2047*2}{512}=\frac{-2047}{256} $$
и тогда ответ: $$ -7\frac{255}{256} $$
