прогрессия »
найти первый член и знаменатель прогрессии - страница 8
Разность между вторым и первым членами возрастающей геометрической прогрессии равна 6, а разность между четвертым и первым ее членами равна 42. найдите первый член и знаменатель прогрессии
Решение: $$ \begin{cases} b_2-b_1=6 \\ b_4-b_1=42 \end{cases} \ < \ =\ > \ \begin{cases} b_1q-b_1=6 \\ b_1q^3-b_1=42 \end{cases} \ < \ =\ > \ \begin{cases} b_1(q-1)=6 \\ b_1(q^3-1)=42 \end{cases} \\ \begin{cases} \frac{q^3-1}{q-1}=7 \\ b_1=\frac{6}{q-1} \end{cases} \ < \ =\ > \ \begin{cases} q^2+q+1=7 \\ b_1=\frac{6}{q-1} \end{cases} \ < \ =\ > \ \begin{cases} q^2+q-6=0 \\ b_1=\frac{6}{q-1} \end{cases} \\ \\ q_1=-3,\ q_2=2 $$
Прогрессия - возрастающая, поэтому берем q > 0.
$$ \begin{cases} q=2 \\ b_1= 6 \end{cases} $$
Разность между первым и вторым членами геометрической прогрессии равна 8, а сумма второго и третьего членов 12 Найдите первый член и знаменатель прогрессии. В конце учебника ответ такой 16:1,2 или просто 2
Решение: $$ b_{2}= b_{1}*q $$
$$ b_{1}- b_{2}=8 $$ ; $$ b_{1}- b_{1}*q=8 $$ ; $$ b_{1}(1- q)=8 $$ ; $$ b_{1}= \frac{8}{1- q} $$
$$ b_{3}= b_{1}*q^2 $$
$$ b_{2}+ b_{3}=12 $$ ; $$ b_{1}*q+ b_{1}*q^2=12 $$ ; $$ \frac{8q}{1-q}+ \frac{8q^2}{1-q}=12 $$ Домножим на 1-q
$$ \left[\begin{array}{ccc}8q+8q^2=12(1-q)\\\\1-q eq 0\end{array}\right. $$ ; $$ \left[\begin{array}{ccc}8q+8q^2-12+12q=0\\\\q eq 1\end{array}\right. $$ ; $$ \left[\begin{array}{ccc}8q^2+20q-12=0\\\\q eq 1\end{array}\right. $$ ; $$ \left[\begin{array}{ccc}2q^2+5q-3=0\\\\q eq 1\end{array}\right. $$
Решим уравнение:
$$ 2q^2+5q-3=0 $$
$$ D=5^2-4*(-3)*2=25+24=49 $$
$$ q_{1}= \frac{-5+7}{2*2}= \frac{1}{2} $$
$$ q_{1}= \frac{-5-7}{2*2}= -3 $$
При $$ q_{1}= \frac{1}{2} $$ ; $$ b_{1}= \frac{8}{1-0,5}=16 $$
При $$ q_{1}= -3 $$ ; $$ b_{1}= \frac{8}{1-(-3)}=2 $$В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма первых двух членов равна 9. Сумма последовательности, составленной из кубов ее членов, относится к сумме последовательности, составленной из квадратов ее членов, как 36:7. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
Решение: модуль q <1
b1 b1*q b1*q². первая прогрессия
b1+ b2=b1(1+q) =9 1+q=9/b1
b1²+b1²q²+. s2=b1²/(1-q²)
b 1³+b1³*q³+. ее сумма s3=b1³/(1-q³)
s3/s2=b1*(1-q²)/(1-q³)=b1(1+q)/(1+q+q²)= 9/(1+q+q²)=36/7
1/(1+q+q²)=4/7 7=4+4q+4q²
4q²+4q-3=0 √D=√64=8 корни 0,5 и -1,25 второй корень не подходит - его модуль больше 1
q=0.5 b1=9/(1+0.5)=6
Найти первый член и знаменатель геометрией прогрессии, если сумма первого и четвертого членов равна 27, а сумма второго и третьего членов равна 18
Решение: {b1*b4=27{b2+b3=12 то есть возрастающая - это значит что знаменатель этой прогрессий будет q>1 {b1*b1q^3 = 27{b1*q +b1*q^2 = 12 {b1^2*q^3=27{b1(q+q^2)=12 {b1=√27/q^3{b1=12/q+q^2 √27/q^3 = 12/q+q^2 27/q^3 = 144/ q^2+2q^3+q^4 27(q^2+2q^3+q^4)=144q^3 27q^2+54q^3+27q^4=144q^3 90q^3-27q^4-27q^2=0 q^2(90q-27q^2-27)=0 q=0 сразу не подходит 27q^2-90q+27=0 D=8100-4*27*27 = 72^2 q= 90+72/54 =3 q2 = 90-72/54 = 1/3 только q= 3 значит b1= 12/ 3+9 = 1 b2=b1*q = 1*3 = 3 b5= 1*3^4 = 81 81+3=84 (ответ)
