найти первый член и знаменатель прогрессии - страница 7
Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 9, а сумма квадратов её членов равна 40,5. Найдите первый член и знаменатель прогрессии
Решение: $$ \frac{b1}{1-q} =9 $$ (1)
$$ b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}.=40,5 $$
$$ b_{1}^{2}+ b_{1}q + b_{1}q^{2} +b_{1}q^{3}.=40,5 $$
$$ b_{1}^2(1+q+q^2+q^3.)=40,5 $$ (2)
То что находиться для нее используем сумму беск. геом. прогрессии
1+q+q^2+q^3. =>
где, b1=1; b2=q; b3=q
q(разность этой прогрессии) = q/1=q
составим формулу
$$ S=\frac{1}{1-q} $$
к выше приведенному уравнению вставим эту формулу
$$ b_{1}^2*\frac{1}{1-q}=40,5 $$
$$ \frac{b1*b1}{1-q}=40,5 $$ (3)
из (1) имеющихся значений $$ \frac{b1}{1-q} =9 $$
"вставляем" в (3) $$ \frac{b1*b1}{1-q}=40,5 $$
$$9b_{1}=40,5 \\ b_{1}=4,5$$
для нахождения q
$$ \frac{b1}{1-q} =9 \\ \frac{4,5}{1-q} =9$$решаем пропорцию и => $$q=\frac{1}{2}$$Сумма первого и второго членов геометрической прогрессии равна 45, а сумма второго и третьего ее членов на 15 меньше. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.
Решение: а - первый член прогрессии,а+d - второй член прогрессии
а+d+d - третий член прогрессии
Составим систему уравнений и решим ее:
{a+a+d=45, a+d+a+d+d=45-15
{2a+d=45, 2a+3d=30.
Из первого уравнения найдем d и подставим во второе:
d=45-2а
2а+3(45-2а)=30
2а+135-6а=30
-4а=-105
а=26,25
d=45-2*26,25=-7,5
Ответ. а=26,25 d=-7,5
Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 27, а сумма трех её первых членов равна 35. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
Решение: Sбесконечной = 27S 3 = 35
b1 q -
.
S беск = b1 \ 1 - q = 27
b1 = 27 * (1-q)
/////////////////////////////////////
S3 = b1 (q^3 - 1) \ g - 1
S 3 = 35
35 = b1(q^3 - 1) \ q - 1
/////////////////////////////////////
35 = 27(1-q)*(q^3 - 1) \ q - 1
- 27(1 - q^3) = 35
- 27 +27q^3 = 35
27q^3 = 62
g^3 = 62\27
q = 3^ V 62\27
b1 = 27(1 - q) = 27 ( 1 - 3^62\27)
1 задание: Система x-y=4 xy = 5
2 задание: найдите любые два решения данного неравенства у< или равно 3х в квадрате+1
3: найдите десятый член и сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии: 2;9;16;23
4: Дано: cos альфа=три пятых, вычислить sin альфа, tg альфа, ctg альфа. 0< альфа< пи делить на 25: Если второй член геом. прогрессии равен 16, а четвертый член равен 256, найдите первый член и знаменатель прогрессии
Решение: 1)$$ \left \{ {{x-y=4} \atop {xy=5}} \right.\\\left \{ {{x=4+y} \atop {(4+y)y=5}} \right.\\\left \{ {{x=4+y} \atop {y^2+4y-5=0}} \right. $$$$ y^2+4y-5=0\\D=16+20=36\\\sqrt{D}=6\\y_{1}=\frac{-4+6}{2}=1\\y_{2}=\frac{-4-6}{2}=-5 $$
y1=1 y2=-5
x1=4+1=5 x2=4-5=-1
2)$$ y\leq3x^2+1 $$
y=1 y=-3
x=0 x=-3
3)d=9-2=7
a1=2
$$ a_{n}=a_{1}+(n-1)d\\a_{10}= 2+(10-1)*7=2+63=65\\S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)d}{2}*n\\S_{20}=\frac{2*2+(20-1)*7}{2}*20=\frac{4+133}{2}*20=\frac{2740}{2}=1370 $$
4)Т. к. угол 1 четверти, тогда значения sin, cos положительные.
$$ sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\\sin^2\alpha=1-cos^2\alpha=\frac{25}{25}-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\\sin\alpha=\frac{4}{5}\\tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}\\ctg\alpha=\frac{1}{tg\alpha}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4} $$
5) $$ b_{n}^2=b_{n-1}*b_{n+1}\\b_{3}^2=b_{3-1}*b_{3+1}=b_2*b_4=16*256\\b_3=\sqrt{16*256}=64\\q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{64}{16}=4\\b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{16}{4}=4 $$
Геометрическая прогрессия задана формулой n-ного члена bn=5 2n-1. Укажите её первый член и знаменатель.(Формула читается так: b энное равно 5 в степени 2n-1)
Решение: bn=5 2n-1. Мы его просто упростим.Bn=5 в степени 2*n умножается на 1/5. Далее
25 в n степени умножить на 1/5. и получаем формулу : (Bn=25 в степени n *0.2).
Первый член равен B1=25 *0.2= 5. Знаменатель, как видно, равен = 25.
Ответ:B1=5;
Знаменатель= 25;
