прогрессия »

найти первый член и знаменатель прогрессии - страница 5

  • Пятый член геометрической прогрессии больше четвёртого на 168, а сумма третьего и четвёртого членов прогрессииравна -28. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.


    Решение: а5-а4=168 а3+а4=-28. Заменим каждый член через а1 и g.a1g^4-a1g^3=168 a1g^2+a1g^3=-28 Вынесем за скобки общие множители a1g^3(g-1)=168 a1g^2(g+1)=-28 Разделим первое равенство на второе и будет g(g-1):(g+1)= -6 решим полученное уравнение g*g-g=-6g-6 g*g+5g+6=0 g=-2 g=-3 Тогда а1*g^2+a1*g^3=-28 g=-2 a1(-2)^2+a1(-2)^3=-28 4a1-8a1=-28 -4a1=-28 a1=7 g=-3 a1*9-a1*27=-28 -18a1=-28 a1=14\9

  • Четвертый член геометрической прогрессии больше второго на 24, а сумма второго и третьего членов прогрессии равна 6. Найдите первый член и знаменатель прогрессии


    Решение: Пусть четвертый член (в4) равен х. тогда второй (в2) равен х-24. Получается, что сумма в2 и в3 равна х-24 + в3=6, в3=30-х. Находим среднее геометрическое. (30-х)в квадрате=х(х-24)
    раскрываем и получаем, что х = 25. то есть четвертый член равен 25. второй равен 25-24=1, в3=30-52=5. знаменатель равен 52/5=5. первый член равен 1/5

  • Четвертый член геометрической прогрессии больше второго на 24, а сумма второго и третьего членов прогрессии равна 6. Найдите первый член и знаменатель прогрессии


    Решение: $$ b_n=b_1\cdot q^{n-1};\\ b_4-b_2=24;\\ b_2+b_3=6;\\ b_1\cdot q^3-b_1\cdot q=24;\\ b_1\cdot q+b_1\cdot q^2=6;\\ \left \{ {{b_1\cdot q^3-b_1\cdot q=24,} \atop {b_1\cdot q+b_1\cdot q^2=2}} \right. \\ b_1=\frac{24}{q^3-q};\\ \frac{24}{q^3-q}\cdot\left(q+q^2\right)=6;\\ \frac{q(q+1)}{q(q-1)(q+1)}=\frac{6}{24};\\ \frac{1}{q-1}=\frac{1}{4};\\ q-1=4;\\ q=5;\\ b_1=\frac{24}{5^3-5}=\frac{24}{125-5}=\frac{24}{120}=\frac15;\\ $$

    $$ b_4-b_2=b_1\cdot q^3-b_1\cdot q=\frac{1}{5}\cdot125-\frac15\cdot5=25-1=24;\\ b_2+b_3=b_1\cdot q+b_1\cdot q^2=\frac15\cdot5+\frac15\cdot25=1+5=6;\\ \left \{ {{b_1=\frac15} \atop {q=5}} \right. $$

  • Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 12 и сумма трех первых членов прогресси равна 10,5. Найти первый член и знаменатель.


    Решение: Если b[1], b[2], b[3], данная бесконечная убывающая геомметрическая прогрессия с знаменателем q, 
    то последовательность составленная из квадратов членов данной, тоже бессконечная убывающая c первым членом b[1] и знаменателем q^2

     используя формулу суммы бесконечной убывающей прогрессии
    b[1]/(1-q)=3
    b[1]^2/(1-q^2)=1,8
    откуда разделив соотвественно левые и правые части равенств, 
    и используя формулу разности квадратов
    b[1]^2/(1-q^2) :b[1]/(1-q)=1,8/3
    b[1]/(1+q)=0,6
    откуда
    b[1]=0,6(1+q)=3(1-q) 
    0,6+0,6q=3-3q
    0,6q+3q=3-0,6
    3,6q=2,4
    q=2/3
     b[1]=3*(1-2/3)=3*1/3=1

  • Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (bn) равна 3, а сумма последовательности, составленной из квадратов её членов, равна 1,8. Найдите первый член и знаменатель прогрессии (bn).


    Решение:

    Если b[1], b[2], b[3], данная бесконечная убывающая геомметрическая прогрессия с знаменателем q,
    то последовательность составленная из квадратов членов данной, тоже бессконечная убывающая c первым членом b[1] и знаменателем q^2

     используя формулу суммы бесконечной убывающей прогрессии
    b[1]/(1-q)=3
    b[1]^2/(1-q^2)=1,8
    откуда разделив соотвественно левые и правые части равенств,
    и используя формулу разности квадратов
    b[1]^2/(1-q^2) :b[1]/(1-q)=1,8/3
    b[1]/(1+q)=0,6
    откуда
    b[1]=0,6(1+q)=3(1-q) 
    0,6+0,6q=3-3q
    0,6q+3q=3-0,6
    3,6q=2,4
    q=2/3
     b[1]=3*(1-2/3)=3*1/3=1

<< < 345 6 7 > >>