прогрессия » найти первый член и знаменатель прогрессии - страница 3
  • Пятый член геометрической прогрессии больше четвёртого на 168, а сумма третьего и четвёртого членов прогрессииравна -28. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.


    Решение: а5-а4=168 а3+а4=-28. Заменим каждый член через а1 и g.a1g^4-a1g^3=168 a1g^2+a1g^3=-28 Вынесем за скобки общие множители a1g^3(g-1)=168 a1g^2(g+1)=-28 Разделим первое равенство на второе и будет g(g-1):(g+1)= -6 решим полученное уравнение g*g-g=-6g-6 g*g+5g+6=0 g=-2 g=-3 Тогда а1*g^2+a1*g^3=-28 g=-2 a1(-2)^2+a1(-2)^3=-28 4a1-8a1=-28 -4a1=-28 a1=7 g=-3 a1*9-a1*27=-28 -18a1=-28 a1=14\9

  • Четвертый член геометрической прогрессии больше второго на 24, а сумма второго и третьего членов прогрессии равна 6. Найдите первый член и знаменатель прогрессии


    Решение: Пусть четвертый член (в4) равен х. тогда второй (в2) равен х-24. Получается, что сумма в2 и в3 равна х-24 + в3=6, в3=30-х. Находим среднее геометрическое. (30-х)в квадрате=х(х-24)
    раскрываем и получаем, что х = 25. то есть четвертый член равен 25. второй равен 25-24=1, в3=30-52=5. знаменатель равен 52/5=5. первый член равен 1/5

  • Четвертый член геометрической прогрессии больше второго на 24, а сумма второго и третьего членов прогрессии равна 6. Найдите первый член и знаменатель прогрессии


    Решение: $$ b_n=b_1\cdot q^{n-1};\\ b_4-b_2=24;\\ b_2+b_3=6;\\ b_1\cdot q^3-b_1\cdot q=24;\\ b_1\cdot q+b_1\cdot q^2=6;\\ \left \{ {{b_1\cdot q^3-b_1\cdot q=24,} \atop {b_1\cdot q+b_1\cdot q^2=2}} \right. \\ b_1=\frac{24}{q^3-q};\\ \frac{24}{q^3-q}\cdot\left(q+q^2\right)=6;\\ \frac{q(q+1)}{q(q-1)(q+1)}=\frac{6}{24};\\ \frac{1}{q-1}=\frac{1}{4};\\ q-1=4;\\ q=5;\\ b_1=\frac{24}{5^3-5}=\frac{24}{125-5}=\frac{24}{120}=\frac15;\\ $$

    $$ b_4-b_2=b_1\cdot q^3-b_1\cdot q=\frac{1}{5}\cdot125-\frac15\cdot5=25-1=24;\\ b_2+b_3=b_1\cdot q+b_1\cdot q^2=\frac15\cdot5+\frac15\cdot25=1+5=6;\\ \left \{ {{b_1=\frac15} \atop {q=5}} \right. $$

  • Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 12 и сумма трех первых членов прогресси равна 10,5. Найти первый член и знаменатель.


    Решение: Если b[1], b[2], b[3], данная бесконечная убывающая геомметрическая прогрессия с знаменателем q, 
    то последовательность составленная из квадратов членов данной, тоже бессконечная убывающая c первым членом b[1] и знаменателем q^2

     используя формулу суммы бесконечной убывающей прогрессии
    b[1]/(1-q)=3
    b[1]^2/(1-q^2)=1,8
    откуда разделив соотвественно левые и правые части равенств, 
    и используя формулу разности квадратов
    b[1]^2/(1-q^2) :b[1]/(1-q)=1,8/3
    b[1]/(1+q)=0,6
    откуда
    b[1]=0,6(1+q)=3(1-q) 
    0,6+0,6q=3-3q
    0,6q+3q=3-0,6
    3,6q=2,4
    q=2/3
     b[1]=3*(1-2/3)=3*1/3=1

  • Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (bn) равна 3, а сумма последовательности, составленной из квадратов её членов, равна 1,8. Найдите первый член и знаменатель прогрессии (bn).


    Решение:

    Если b[1], b[2], b[3], данная бесконечная убывающая геомметрическая прогрессия с знаменателем q,
    то последовательность составленная из квадратов членов данной, тоже бессконечная убывающая c первым членом b[1] и знаменателем q^2

     используя формулу суммы бесконечной убывающей прогрессии
    b[1]/(1-q)=3
    b[1]^2/(1-q^2)=1,8
    откуда разделив соотвественно левые и правые части равенств,
    и используя формулу разности квадратов
    b[1]^2/(1-q^2) :b[1]/(1-q)=1,8/3
    b[1]/(1+q)=0,6
    откуда
    b[1]=0,6(1+q)=3(1-q) 
    0,6+0,6q=3-3q
    0,6q+3q=3-0,6
    3,6q=2,4
    q=2/3
     b[1]=3*(1-2/3)=3*1/3=1

  • сумма трех первых членов геометрической прогрессии равна 21, сумма их квадратов равна 189. найти первый член и знаменатель этой прогрессии


    Решение: b₁+b₂+b₃=21;

    (b₁)²+(b₂)²+(b₃)²=189;

    Представим каждый член прогрессии по формуле и составим Систему уравнений:

    b₁+b₁q+b₁q²=21; (1)

    b₁²+b₁²q²+b₁²q⁴=189; (2)

    1: b₁(1+q+q²)=21;

    b₁=21/(1+q+q²);

    2: (21/(1+q+q²))²+(21/(1+q+q²))²*q²+(21/(1+q+q²))²*q⁴=189;

    (441+441q²+441q⁴)/(1+q+q²)²=189;

    441*(1+q²+q⁴)=189*(1+q+q²)²;

    441/(1+q+q²)²=189/(1+q²+q⁴);

    441:189=7:3 ⇒

    (1+q+q²)²:(1+q²+q⁴)=7:3;

    If q=2 ⇒ (1+2+4)²:(1+4+16)=49:21=7:3 ⇒ q=2.

    1: b₁=21/7=3.

    Проверим:

    3+6+12=21;

    9+36+144=189.

    Ответ: b₁=3; q=2.

  • 6. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 4, а сумма квадратов её членов равна 48. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.


    Решение: Если b[1], b[2], b[3], данная бесконечная убывающая геомметрическая прогрессия с знаменателем q, топоследовательность составленная из квадратов членов данной, тоже бессконечная убывающая c первым членом b[1] и знаменателем q^2 используя формулу суммы бесконечной убывающей прогрессии b[1]/(1-q)=4b[1]^2/(1-q^2)=48 откуда разделив соотвественно левые и правые части равенств, и используя формулу разности квадратовb[1]^2/(1-q^2) :b[1]/(1-q)=48/4b[1]/(1+q)=12откудаb[1]=12(1+q)=4(1-q) 12+12q=4-4q12q+4q=4-1216q=-8q=-1/2 b[1]=4*(1-(-1/2))=4+2=6

  • Произведение первых трёх членов геометрической прогрессии равен 1728, а сумма=63. Найдите первый член и знаменатель.


    Решение: $$ \left \{ {{b_1*b_2*b_3=1728} \atop {b_1+b_2+b_3=63}} \right.; \left \{ {{b_1*b_2*qb_2=1728} \atop {b_1+b_2+qb_2=63}} \right.;\\ \left \{ {{q*b_1*b_2^2=1728} \atop {b_1+(1+q)b_2=63}} \right.;\\ $$

    $$ \left \{ {{q*b_1*(qb_1)^2=1728} \atop {b_1+(1+q)*qb_1=63}} \right.;\\ \left \{ {{q*b_1*q^2b_1^2=1728} \atop {b_1*[1+(1+q)*q]=63}} \right.;\\ \left \{ {{q^3*b_1^3=1728} \atop {b_1*[1+(1+q)*q]=63}} \right.;\\ $$

    $$ \left \{ {{(qb_1)^3-12^3=0} \atop {b_1*[1+q+q^2]=63}} \right.;\\ \left \{ {{[qb_1-12]*[(qb_1)^2+12qb_1+12^2]=0} \atop {b_1*[1+q+q^2]=63}} \right.;\\ \left \{ {{qb_1-12=0} \atop {b_1(1+q+q^2)=63}} \right.;\\ $$

    $$ \left \{ {{b_1=\frac{12}{q}} \atop {\frac{12(1+q+q^2)}{q}=63}} \right.;\\ \left \{ {{b_1=\frac{12}{q}} \atop {\frac{12q^2+12q+12-63q}{q}=0}} \right.;\\ \left \{ {{b_1=\frac{12}{q}} \atop {12q^2-51q+12=0}} \right.;\\ $$

    $$ \left \{ {{b_1=\frac{12}{q}} \atop {\frac{12(1+q+q^2)}{q}=63}} \right.;\\ \left \{ {{b_1=\frac{12}{q}} \atop {\frac{12q^2+12q+12-63q}{q}=0}} \right.;\\ \left \{ {{b_1=\frac{12}{q}} \atop {12q^2-51q+12=0}} \right.;\\ \left \{ {{b_1=\frac{12}{q}} \atop {4q^2-17q+4=0}} \right.;\\ $$

    $$ \left \{ {{b_1=\frac{12}{q}} \atop {4q^2-17q+4=0}} \right.;\\ \left \{ {{b_1=\frac{12}{q}} \atop {4q^2-q-16q+4=0}} \right.;\\ \left \{ {{b_1=\frac{12}{q}} \atop {q(4q-1)-4(4q-1)=0}} \right.;\\ \left \{ {{b_1=\frac{12}{q}} \atop {(q-4)(4q-1)=0}} \right.; $$

    $$ \left \{ {{b_1=\frac{12}{q}} \atop {(q-4)(4q-1)=0}} \right.;\\ \left \{ {{b_1=\frac{12}{q}} \atop {q=4,or,q= \frac{1}{4} }} \right.;\\ \left \{ {{b_1= \frac{12}{4} } \atop {q=4}} \right. or, \left \{ {{b_1=12*4} \atop {q= \frac{1}{4} }} \right.; $$

    $$ \left \{ {{b_1=3} \atop {q=4}} \right.or,\left \{ {{b_1=48} \atop {q= \frac{1}{4} }} \right. $$

  • Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 12, а сумма их квадратов равна 336. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.


    Решение: Запишем условие в виде системы
    b+bq+bq^2=12
    b^2+b^2q^2+b^2q^4=336

    вынесем множители
    b(1+q+q^2)=12
    b^2 (1+q^2+q^4)=336

    преобразуем
    b (q^3-1)/(q-1)=12
    b^2 (q^6-1)/(q^2-1)=336

    преобразуем последнее уравнение
    b^2 (q^3-1)/(q-1) (q^3+1)/(q+1)=336

    подставим первое уравнение во второе
    b (q^3+1)/(q+1)×12=336
    упростим
    b (q^3+1)/(q+1)=28

    преобразуем
    28 (q+1)/(q^3+1)=12 (q-1)/(q^3-1)
    введем ОДЗ q <>1 и q <>-1

    преобразуем числитель разности дробей
    28(q^2+q+1)=12 (q^2-q+1)

    приведем подобные слагаемые
    16q^2+40q+16=0

    решим уравнение
    q^2+2.5q+1=0
    D= 6.25-4×1=2.25
    q=(-2.5+1.5)/2=-0.5

    q=(-2.5-1.5)/2=-2

    найдем b для корня 1
    (-8-1)/(-2-1)b=12
    3b=12
    b=4


    найдем b для корня 2
    (-0.125-1)/(-0.5-1)b=12

    1.125/1.5b=13
    9b/12=12
    b=144/9

    ответ 1 b=4 q=-2
    ответ 2 b=144/9 q=-1/2

  • Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 124, а их произведение равно 8000. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.


    Решение: Рассмотрим геометрическую прогрессию b(n): b1;b2;b3.

    Сумма первых трёх членов прогрессии вычислим по формуле:

    S(3) = 124

    S(3) = b1(q³-1)/(q-1) = 124

    Далее выразим каждый член через первый и знаменатель:

    b2 = b1q

    b3 = b1q²

    Отсюда,  b1 * b1q * b1q² = b1³q³ = 8000

    Оба условия выполняются одновременно. Составим и решим систему уравнений:

    b1(q³-1)/(q-1) = 124

    b1³q³ = 8000

    Поработаем с первым выражением. Заметим, что в числителе стоит разность кубов q b 1:

    b1(q-1)(q² + q + 1)/(q-1) = 124

    b1(q² + q + 1) = 124

    Система будет в таком теперь виде

    b1(q² + q + 1) = 124

    b1³q³ = 8000

     Попробуем решить, выразив из первого уравнения b1:

    b1 = 124 / (q² + q + 1)

<< < 1 2 3 4 > >>