найти первый член и знаменатель прогрессии - страница 2
1. Найти сумму четырёх первых членов геометрической прогрессии, у которой второй член равен 1, а пятый член равен -0.125
2. Первый член и знаменатель геометрической прогрессии равны 2, а произведение всех членов равно 1024. Найти число членов прогрессии.
Решение: B1q=1
b1q^4=-0,125
q^3=-0,125
q=-0,5
b1=1/-0,5=-2
S=(b1q^n-b1)/(q-1)
S=-2((-1/2)^5-1)/(-3/2)=-2(-33/32)/(-3/2)=11/8
2) b1^n*q^(0+1+.+n-1)=1024
2^n*2^(n-1)*n/2=2^10
n+n(n-1)/2=10
2n+n^2-n=20
n^2+n-20=0
n=-5
n=4
число членов 4.
$$ 1)\\ b_{2}=1\\ b_{5}=-0.125\\ \\ b_{1}q=1\\ b_{1}q^4=-0.125\\ \\ b_{1}=-2\\ q=-0.5\\ \\ S_{4}=\frac{-2(-0.5^4-1)}{-0.5-1}=-1,25 $$
$$ b_{1}^n*q^{0+1+2+3+(n-1)}=2^{10}\\ 0+1+2+3.\frac{n(n-1)}{2} \ b_{1}^n*q^{\frac{n(n-1)}{2}}=2^{10}\\ 2^{n}*2^{\frac{{n(n-1)}}{2}} = 2^{10}\\ 2n+n^2-n=20\\ n^2+n-20=0\\ n=4 $$
1. Известно, что в геометрической прогрессии первый член равен 243, а второй равен 27
Найдите шестой член прогрессии.2 Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если ее третий член равен 32, а восьмой член равен 1024
3. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен 625, а знаменатель равен -1/5
Решение: 1. Известно, что в геометрической прогрессии первый член равен 243, а второй равен 27
Найдите шестой член прогрессии.
q=b2/b1=27/243=3^3/3^5=1/3^2
B6=b1*q^5=3^5(1/3^2)^5=1/3^5=1/243
2 Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если ее третий член равен 32, а восьмой член равен 1024
b3=b1*q^2
b8=b1*g^7
b8/b3=q^5=1024/32=2^5=32
q=2
32=b1*4
b1=8
3. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, у которой первый член равен 625, а знаменатель равен -1/5
Sn=b1(1-q^6)/(1-q)=625(1-1/5^6)/6/5=5^4(5^6-1)/5^6 * 5/6=(5^6-1)/30
Числа u1 u2 u3 u4 сумма которыз равна 5 являются первыми четыремя членами геометрической прогрессии, а числа u2 u3 8/9u4 являются последовательными членами арифметической прогрессии найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии
Решение:u1 = p
u2 = pq
u3 = pq^2
u4 = pq^3
pq + 8/9 pq^3 = 2 pq^2
8q^2 - 18q + 9 = 0
q_1 = 3/4, q_2 = 3/2
p(1 + q + q^2 + q^3) = 5
p = 5/ (1 + q + q^2 + q^3)
p_1 = 5/(1+3/4 + 9/16 + 27/64) = 5*64/(64+48+36+27) = 64/35
p_2 = 5/(1 + 3/2 + 9/4 + 27/8) = 5*8/(8+12+18+27) = 8/13
ответ
p1 = 64/35, q1 = 3/4
p2 = 8/13, q2 = 3/2
1) Даны последовательные члены геометрической последовательности 12, с,27. Найдите с?
2) Последовательность bn-геометрическая прогрессия. Найдите b7, если b4=20,q=0.3
3) Найдите номер члена геометрической прогрессии bn=972, b1=4 q=3
4) Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии bn, если bn=5/3в степени n
5) Найдите знаменатель геометрической прогрессии q, если b1+b4=54, b7+b4=2
Решение: Bn=b1*q^(n-1)
1)Даны последовательные члены геометрической последовательности 12, с,27. Найдите с?
b3/b1=27/12=9/4=q^2
q=3/2
c=b2=12*3/2=18
q=-3/2
c=b2=12*(-3/2)=-18
2) Последовательность bn-геометрическая прогрессия. Найдите b7, если b4=20,q=0.3
b4=b1*0.3^3=20
b1*0/027=20
b1=20/0.03^3
b7=b1*q^6=20/0.3^3*0.3^6=20*0.3^3=0.54
3)Найдите номер члена геометрической прогрессии bn=972, b1=4 q=3
bn=b1*q^(n-1)
972=4*3^(n-1)
3^(n-1)=972/4=243=3^5
n-1=5
n=6
4) Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии bn, если bn=5/3в степени n
b2/b1=q
(5/3)^2 : (5/3)=q
q=5/3
b1=b1*q^(0)
b1=(5/3)^1*1=5/3
b1=q=5/3
5)Найдите знаменатель геометрической прогрессии q, если b1+b4=54, b7+b4=2
Решение надо
b1+b4=54
b7+b4=2
b1+b1q^3=54
b1q^6+b1q^3=2
b1(1+q^3)=54
b1q^3(1+q^3)=2 делим это на предыдущее
q^3=2/54=1/27=1/3^3
q=1/3
Найдите первые шесть членов геометрической прогрессии, если: 1) первый член прогрессии равен 4, а знаменатель равен 2. 2) первый член равен -27, а знаменатель равен одной третьей 3) первый член равен 10, а знаменатель минус одна вторая 4) первый член и знаменатель прогрессии одинаковы и равны корню квадратному из 2. № 33.6 Найдите знаменатель геометрической прогрессии: 1) первый член равен 3, второй корню квадратному из 3, третий член равен 1. 2) 0,01; 0,1; 1;. 3) первый член равен одной шестьдесят четвёртой, второй минус одной восьмой, третий плюс один;. 4) первый член равен числу а в десятой степени, второй - числу а в девятой степени, третий - числу а в восьмой степени;.
Решение: Общая формула: $$ b_{n+1} = b_{n} * q $$
1) b₁ = 4, q = 2
b₂ = 4 * 2 = 8, b₃ = 8 * 2 = 16, b₄ = 16 * 2 = 32, b₅ = 32 * 2 = 64, b₆ = 64 * 2 = 128
2) b₁ = -27, q = 1/3
b₂ = -27 * 1/3 = -9, b₃ = -9 * 1/3 = -3, b₄ = -3 * 1/3 = -1, b₅ = -1 * 1/3 = -1/3, b₆ = -1/3 * 1/3 = -1/9
3) b₁ = 10, q = -1/2
b₂ = 10 * (-1/2) = -5, b₃ = -5 * (-1/2) = 5/2, b₄ = 5/2 * (-1/2) = -5/4, b₅ = -5/4 * (-1/2) = 5/8, b₆ = 5/8 * (-1/2) = -5/16
4) b₁ = q = √2
b₂ = √2 * √2 = 2, b₃ = 2 * √2 = 2√2, b₄ = 2√2 * √2 = 4, b₅ = 4 * √2 = 4√2, b₆ =4√2 * √2 = 8
Общая формула: $$ q=b_{n+1}/b_{n} $$
1) b₁ = 3, b₂ = √3, b₃ = 1
q = √3 / 3 = √3/3
2) b₁ = 0,01, b₂ = 0,1, b₃ = 1
q = 1 / 0,1 = 10
3) b₁ = 1/64, b₂ = -1/8, b₃ = 1
q = 1 / (-1/8) = -8
4) b₁ = a¹⁰, b₂ =a⁹, b₃ = a⁸
q = a⁸ / a⁹ = 1/aСумма бесконечной геометрической прогрессии равна 4, а сумма квадратов ее членов равна 48. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
Решение: если b[1], b[2], b[3], данная бесконечная убывающая геомметрическая прогрессия с знаменателем q, топоследовательность составленная из квадратов членов данной, тоже бессконечная убывающая c первым членом b[1] и знаменателем q^2
используя формулу суммы бесконечной убывающей прогрессии
b[1]/(1-q)=4
b[1]^2/(1-q^2)=48
откуда разделив соотвественно левые и правые части равенств, и используя формулу разности квадратов
b[1]^2/(1-q^2) :b[1]/(1-q)=48/4
b[1]/(1+q)=12
откуда
b[1]=12(1+q)=4(1-q)
12+12q=4-4q
12q+4q=4-12
16q=-8
q=-1/2
b[1]=4*(1-(-1/2))=4+2=6
4-ый член геометрической прогрессии больше 2ого на 24, а сумма 2ого и 3тьего членов прогрессии равна 6. найдите первый член и знаменатель прогрессии
Решение: b4=b*q*q*qb3=b*q*q
b2=b*q
совокупность {
b*q*q*q-b*q=24
b*q+b*q*q=6 }
{
b*q(q*q-1)=24
b*q(1+q)=6
}
q*q-1=(1+q)*4
q*q-1=4+4q
q^2-4q-5=0
D=16-4*1*(-5)=36
q1=(4+6)/2=5 подходит
q2=-1 не удовлевторяет условию задачи
b*q+b*q*q=6
подставляем
5b+25b=6
b=1/5
Ответ: b1=1/5, q=5
b2=b1*q
b3=b1*q²
b4=b1*q³
b4-b2=24 b1*q³-b1*q=24 b1*q(q²-1)=24
b2+b3=6 b1*q²+b1*q=6 b1*q(q+1)=6
разделим первое уравнение на второе, получим:
q-1=4
q=5
подставим в уравнение b1*q(q+1)=6:
b1*5*6=6
b1=1\5
Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 4, а сумма квадратов её членов равна 48. Найдите первый член и знаменатель.
Решение: Сумма геометр. прогрессии с первым членом Ф и знаменателем Ы равна Ф:(1-Ы)=4 а сумма квадратов тоже беск геом прогрессия с первым членом Ф*Ф и знаменателем Ы*Ы т. е. сумма Ф*ф:(1-Ы*Ы) =48 Из этой системы найдем Ф Ы.Поделим второе уравнение на первое получим Ф:(1+Ы)=12 поделив это на первое уравнение системы, получим (1+ы):(1-ы)=3 т. е. 1+ы=3-3ы т. е. 4ы=2, т. е. ы=0.5 значит ф=4*(1:2)=2
Пятый член геометрической прогрессии равен 8, а значение суммы первых трех членов равно 12. Найдите первый член и знаменатель прогрессии
Решение: B5=b1*q^4=8
S3=b1*(q^3-1)/(q-1)=12
b1=8/q^4
8/q^4*(q^2+q+1)=12
2(q^2+q+1)=3q^4
нужно решать уравнение 4-ой степени, по теореме Виета или через резольвенту (но это в школе не проходят) можно попробовать решить графически.
В итоге получается что q≈1.268 или q≈-0.878
b1≈3.095 или b1≈13.468 (соответственно)Пятый член геометрической прогрессии больше четвертого на 168, а сумма третьего и четвертого членов прогрессии равна -28. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.
Решение: d-знаменатель прогрессиизапишем условие в таком виде:
- =168
+ =-28
выразим члены геометр. прогрессии через 4-й член?:
= /d
= *d
подставим в уравнения и получим систему уравнений с двуия переменными:
*d - = 168
/d + = -28
выражаем 4-й член через знаменатель прогрессии из первого уравнения и подставляем во второе:
= 168/(d-1)
168/(d(d-1))+168/(d-1)+28=0
приводим к общемы знаменателю:
(168+168d+28-28d)/(d(d-1))=0
Порлучаем:
d0
d1
+5d+6=0
d0
d1
d=1
d=-6
d=1-не удовлетворяет условие
значит d=-6
Подставим значение в одно из изначальных уравнений
*(-6) - = 168
-7 =168
= -24
= /d^3
= -24/(-6)^3= 1/9
Ответ: =1/9, d=-6
