найти первый член и знаменатель прогрессии - страница 2
Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если сумма первого и четвёртого членов равна 27, а сумма второго и третьего членов равна 18.
Решение: $$ \left \{ {b_{1}+b_{4}=27} \atop {b_{2}+b_{3}=18} \right. \\ \left \{ {{b_{1}+b_{1}q^3=27} \atop {b_{1}q+b_{1}q^2=18}} \right. $$
$$ \left \{ {{b_{1}= \frac{27}{1+q^3} } \atop {b_{1}= \frac{18}{q+q^2} }} \right. $$
$$ \frac{27}{(1+q)(1-q+q^2)}= \frac{18}{q(1+q)}\\\\18(1-q+q^2)=27q|:9\\2-2q+2q^2-3q=0\\2q^2-5q+2=0\\D=9=3^2\\q_{1}=2, q_{2}= \frac{1}{2} $$
$$ b_{1}= \frac{18}{2(1+2)}= \frac{18}{6}=3\\\\b_{2}= \frac{18}{ \frac{1}{2}(1+ \frac{1}{2}) }=24 $$
Ответ: $$ b_{1}=2, q=3; \\b_{1}= \frac{1}{2}, q=24 $$Определите первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если разность между пятым и третьим членами равна 504, а разность между четвертым и вторым членами равна 168.
Решение: Пусть а1 =первый член прогрессии, b- знаменатель прогрессииа(n)=a1*b^(n-1)
тогда пятый член прогрессии a1*b^4
третий член прогрессии a1*b^2
четвертый член прогрессии a1*b^3
второй член прогрессии a1*b
a1*b^4-a1*b^2= a1*b^2(b^2-1)=504 [1]
a1*b^3-a1*b=a1*b(b^2-1)=168 [2]
Разделим равенство [1] на равенство [2] (но введем ограничение: b не равно 1 или -1, чтобы не получить деление на 0)
Получим b=3
Из уравнения [2] a1=168/24=7
Ответ: первый член геометрической прогрессии равен 7, знаменатель 3
определите первый член и знаменатель геометрической прогрессии если известно что разность между шестым и четвертым членами =648 а разность между пятым и третьим членами равна -216
Решение: b₆-b₄=648 b₁q⁵-b₁q³=648b₅-b₃=-216 b₁q⁴-b₁q²=-216
$$ \frac{b_1q^5-b_1q^3}{b_1q^4-b_1q^2}=-\frac{648}{216} $$
$$ \frac{b_1q^3(q^2-1)}{b_1q^2(q^2-1)}=-3 $$
q=-3
b₁(-3)⁴-b₁(-3)²=-216
81b₁-9b₁=-216
72b₁=-216
b₁=-216:72
b₁=-3
b₆-b₄=648 b₁q⁵-b₁q³=648
b₅-b₃=-216 b₁q⁴-b₁q²=-216
q=-3
b₁(-3)⁴-b₁(-3)²=-216
81b₁-9b₁=-216
72b₁=-216
b₁=-216:72
b₁=-3Известны первый член и знаменатель геометрической прогрессии (bn). если b1=243/256. q=2/3. n=8
Решение: Надо найти восьмой член прогрессии.
Разность между первым и вторым членами геометрической прогрессии равна 8, а сумма второго и третьего членов 12. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии.
Решение: $$ b_{1}-b_{2}=8\\ b_{2}+b_{3}=12\\ \\ b_{1}(1-q)=8\\ b_{1}(q+q^2)=12\\ \\ \frac{q+q^2}{1-q}=\frac{3}{2}\\ 2q+2q^2=3-3q\\ 2q^2+5q-3=0\\ D=7^2\\ q=\frac{-5+7}{4}=\frac{1}{2}\\ q=\frac{-5-7}{4}=-3\\ b_{1}=16\\ b_{1}=2 $$Тут полное решение. Все подробно объяснено на фотографии.
