прогрессия »

найти первый член и знаменатель прогрессии - страница 4

  • Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 9, а сумма квадратов её членов равна 40,5. Найдите первый член и знаменатель прогрессии


    Решение: $$ \frac{b1}{1-q} =9 $$ (1)
    $$ b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}.=40,5 $$
    $$ b_{1}^{2}+ b_{1}q + b_{1}q^{2} +b_{1}q^{3}.=40,5 $$
    $$ b_{1}^2(1+q+q^2+q^3.)=40,5 $$ (2)

    То что находиться для нее используем сумму беск. геом. прогрессии 
    1+q+q^2+q^3. =>
    где, b1=1; b2=q; b3=q
    q(разность этой прогрессии) = q/1=q
    составим формулу
    $$ S=\frac{1}{1-q} $$

    к выше приведенному уравнению вставим эту формулу
    $$ b_{1}^2*\frac{1}{1-q}=40,5 $$
    $$ \frac{b1*b1}{1-q}=40,5 $$ (3)

    из (1) имеющихся значений $$ \frac{b1}{1-q} =9 $$  
    "вставляем" в (3) $$ \frac{b1*b1}{1-q}=40,5 $$
    $$9b_{1}=40,5 \\ b_{1}=4,5$$
    для нахождения q
    $$ \frac{b1}{1-q} =9 \\ \frac{4,5}{1-q} =9$$решаем пропорцию и => $$q=\frac{1}{2}$$

  • Сумма первого и второго членов геометрической прогрессии равна 45, а сумма второго и третьего ее членов на 15 меньше. Найдите первый член и знаменатель этой прогрессии.


    Решение: а - первый член прогрессии,

    а+d - второй член прогрессии

    а+d+d - третий член прогрессии

    Составим систему уравнений и решим ее:

    {a+a+d=45, a+d+a+d+d=45-15

    {2a+d=45, 2a+3d=30.

    Из первого уравнения найдем d и подставим во второе:

    d=45-2а

    2а+3(45-2а)=30

    2а+135-6а=30

    -4а=-105

    а=26,25

    d=45-2*26,25=-7,5

    Ответ. а=26,25 d=-7,5

  • Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 27, а сумма трех её первых членов равна 35. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.


    Решение: Sбесконечной  = 27

    S 3 = 35

    b1 q -

    .

    S беск = b1 \ 1 - q = 27

    b1 = 27 * (1-q) 

    /////////////////////////////////////

    S3 = b1 (q^3 - 1) \ g - 1

    S 3 = 35

    35 = b1(q^3 - 1) \ q - 1

    /////////////////////////////////////

    35 = 27(1-q)*(q^3 - 1) \ q - 1 

    - 27(1 - q^3) = 35

    - 27 +27q^3 = 35

    27q^3 = 62

    g^3 = 62\27

    q = 3^ V 62\27

    b1 = 27(1 - q) = 27 ( 1 - 3^62\27)

  • 1 задание: Система x-y=4 xy = 5

    2 задание: найдите любые два решения данного неравенства у< или равно 3х в квадрате+1


    3: найдите десятый член и сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии: 2;9;16;23


    4: Дано: cos альфа=три пятых, вычислить sin альфа, tg альфа, ctg альфа. 0< альфа< пи делить на 2

    5: Если второй член геом. прогрессии равен 16, а четвертый член равен 256, найдите первый член и знаменатель прогрессии


    Решение: 1)$$ \left \{ {{x-y=4} \atop {xy=5}} \right.\\\left \{ {{x=4+y} \atop {(4+y)y=5}} \right.\\\left \{ {{x=4+y} \atop {y^2+4y-5=0}} \right. $$

    $$ y^2+4y-5=0\\D=16+20=36\\\sqrt{D}=6\\y_{1}=\frac{-4+6}{2}=1\\y_{2}=\frac{-4-6}{2}=-5 $$

    y1=1 y2=-5

    x1=4+1=5 x2=4-5=-1

    2)$$ y\leq3x^2+1 $$

    y=1 y=-3

    x=0 x=-3

    3)d=9-2=7

      a1=2 

    $$ a_{n}=a_{1}+(n-1)d\\a_{10}= 2+(10-1)*7=2+63=65\\S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)d}{2}*n\\S_{20}=\frac{2*2+(20-1)*7}{2}*20=\frac{4+133}{2}*20=\frac{2740}{2}=1370 $$

    4)Т. к. угол 1 четверти, тогда значения sin, cos положительные.

    $$ sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\\sin^2\alpha=1-cos^2\alpha=\frac{25}{25}-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\\sin\alpha=\frac{4}{5}\\tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\frac{4}{3}\\ctg\alpha=\frac{1}{tg\alpha}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4} $$ 

    5) $$ b_{n}^2=b_{n-1}*b_{n+1}\\b_{3}^2=b_{3-1}*b_{3+1}=b_2*b_4=16*256\\b_3=\sqrt{16*256}=64\\q=\frac{b_3}{b_2}=\frac{64}{16}=4\\b_1=\frac{b_2}{q}=\frac{16}{4}=4 $$

  • Геометрическая прогрессия задана формулой n-ного члена bn=5 2n-1. Укажите её первый член и знаменатель.(Формула читается так: b энное равно 5 в степени 2n-1)


    Решение: bn=5 2n-1. Мы его просто упростим.Bn=5 в степени 2*n умножается на 1/5. Далее
     25 в n степени умножить на 1/5. и получаем формулу : (Bn=25 в степени n *0.2).
    Первый член равен B1=25 *0.2= 5. Знаменатель, как видно, равен = 25.
      Ответ:B1=5;
      Знаменатель= 25;

  • Разность между вторым и первым членами возрастающей геометрической прогрессии равна 6, а разность между четвертым и первым ее членами равна 42. найдите первый член и знаменатель прогрессии


    Решение: $$ \begin{cases} b_2-b_1=6 \\ b_4-b_1=42 \end{cases} \ < \ =\ > \ \begin{cases} b_1q-b_1=6 \\ b_1q^3-b_1=42 \end{cases} \ < \ =\ > \ \begin{cases} b_1(q-1)=6 \\ b_1(q^3-1)=42 \end{cases} \\ \begin{cases} \frac{q^3-1}{q-1}=7 \\ b_1=\frac{6}{q-1} \end{cases} \ < \ =\ > \ \begin{cases} q^2+q+1=7 \\ b_1=\frac{6}{q-1} \end{cases} \ < \ =\ > \ \begin{cases} q^2+q-6=0 \\ b_1=\frac{6}{q-1} \end{cases} \\ \\ q_1=-3,\ q_2=2 $$
    Прогрессия - возрастающая, поэтому берем q > 0.
    $$ \begin{cases} q=2 \\ b_1= 6 \end{cases} $$

  • Разность между первым и вторым членами геометрической прогрессии равна 8, а сумма второго и третьего членов 12 Найдите первый член и знаменатель прогрессии. В конце учебника ответ такой 16:1,2 или просто 2


    Решение: $$ b_{2}= b_{1}*q $$
    $$ b_{1}- b_{2}=8 $$ ; $$ b_{1}- b_{1}*q=8 $$ ; $$ b_{1}(1- q)=8 $$ ; $$ b_{1}= \frac{8}{1- q} $$
    $$ b_{3}= b_{1}*q^2 $$
    $$ b_{2}+ b_{3}=12 $$ ; $$ b_{1}*q+ b_{1}*q^2=12 $$ ; $$ \frac{8q}{1-q}+ \frac{8q^2}{1-q}=12 $$ Домножим на 1-q
    $$ \left[\begin{array}{ccc}8q+8q^2=12(1-q)\\\\1-q eq 0\end{array}\right. $$ ; $$ \left[\begin{array}{ccc}8q+8q^2-12+12q=0\\\\q eq 1\end{array}\right. $$ ; $$ \left[\begin{array}{ccc}8q^2+20q-12=0\\\\q eq 1\end{array}\right. $$ ; $$ \left[\begin{array}{ccc}2q^2+5q-3=0\\\\q eq 1\end{array}\right. $$
    Решим уравнение:
    $$ 2q^2+5q-3=0 $$
    $$ D=5^2-4*(-3)*2=25+24=49 $$
    $$ q_{1}= \frac{-5+7}{2*2}= \frac{1}{2} $$
    $$ q_{1}= \frac{-5-7}{2*2}= -3 $$
    При $$ q_{1}= \frac{1}{2} $$ ; $$ b_{1}= \frac{8}{1-0,5}=16 $$
    При $$ q_{1}= -3 $$ ; $$ b_{1}= \frac{8}{1-(-3)}=2 $$

  • В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма первых двух членов равна 9. Сумма последовательности, составленной из кубов ее членов, относится к сумме последовательности, составленной из квадратов ее членов, как 36:7. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.


    Решение: модуль q <1
    b1 b1*q b1*q². первая прогрессия
     b1+ b2=b1(1+q) =9 1+q=9/b1
    b1²+b1²q²+. s2=b1²/(1-q²)
     b 1³+b1³*q³+.  ее сумма s3=b1³/(1-q³)
    s3/s2=b1*(1-q²)/(1-q³)=b1(1+q)/(1+q+q²)= 9/(1+q+q²)=36/7
    1/(1+q+q²)=4/7 7=4+4q+4q²
    4q²+4q-3=0 √D=√64=8 корни 0,5 и -1,25 второй корень не подходит - его модуль больше 1
    q=0.5 b1=9/(1+0.5)=6

  • Найти первый член и знаменатель геометрией прогрессии, если сумма первого и четвертого членов равна 27, а сумма второго и третьего членов равна 18


    Решение: {b1*b4=27{b2+b3=12 то есть возрастающая - это значит что знаменатель этой прогрессий будет q>1  {b1*b1q^3 = 27{b1*q +b1*q^2 = 12 {b1^2*q^3=27{b1(q+q^2)=12 {b1=√27/q^3{b1=12/q+q^2  √27/q^3 = 12/q+q^2  27/q^3 = 144/ q^2+2q^3+q^4  27(q^2+2q^3+q^4)=144q^3  27q^2+54q^3+27q^4=144q^3  90q^3-27q^4-27q^2=0  q^2(90q-27q^2-27)=0  q=0 сразу не подходит   27q^2-90q+27=0  D=8100-4*27*27 = 72^2  q= 90+72/54 =3  q2 = 90-72/54 = 1/3 только q= 3   значит b1= 12/ 3+9 = 1   b2=b1*q = 1*3 = 3  b5= 1*3^4 = 81  81+3=84 (ответ)

<< < 234