прогрессия »

найти первый член и знаменатель прогрессии - страница 4

  • Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 4, а сумма квадратов ее членов равна 48. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.


    Решение: если b[1], b[2], b[3], данная бесконечная убывающая геомметрическая прогрессия с знаменателем q, то

    последовательность составленная из квадратов членов данной, тоже бессконечная убывающая c первым членом b[1] и знаменателем q^2

    используя формулу суммы бесконечной убывающей прогрессии

    b[1]/(1-q)=4

    b[1]^2/(1-q^2)=48

    откуда разделив соотвественно левые и правые части равенств, и используя формулу разности квадратов

    b[1]^2/(1-q^2) :b[1]/(1-q)=48/4

    b[1]/(1+q)=12

    откуда

    b[1]=12(1+q)=4(1-q)

    12+12q=4-4q

    12q+4q=4-12

    16q=-8

    q=-1/2

    b[1]=4*(1-(-1/2))=4+2=6

  • 4-ый член геометрической прогрессии больше 2ого на 24, а сумма 2ого и 3тьего членов прогрессии равна 6. найдите первый член и знаменатель прогрессии


    Решение: b4=b*q*q*q

    b3=b*q*q

    b2=b*q

    совокупность {

    b*q*q*q-b*q=24

    b*q+b*q*q=6 }


    {

    b*q(q*q-1)=24

    b*q(1+q)=6

    }


    q*q-1=(1+q)*4

    q*q-1=4+4q

    q^2-4q-5=0

    D=16-4*1*(-5)=36

    q1=(4+6)/2=5 подходит

    q2=-1 не удовлевторяет условию задачи


    b*q+b*q*q=6 

    подставляем

    5b+25b=6

    b=1/5

    Ответ: b1=1/5, q=5

    b2=b1*q

    b3=b1*q²

    b4=b1*q³

    b4-b2=24 b1*q³-b1*q=24 b1*q(q²-1)=24

    b2+b3=6 b1*q²+b1*q=6 b1*q(q+1)=6

    разделим первое уравнение на второе, получим:

    q-1=4

    q=5

    подставим в уравнение b1*q(q+1)=6:

    b1*5*6=6

    b1=1\5

  • Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 4, а сумма квадратов её членов равна 48. Найдите первый член и знаменатель.


    Решение: Сумма геометр. прогрессии с первым членом Ф и знаменателем Ы равна Ф:(1-Ы)=4 а сумма квадратов тоже беск геом прогрессия с первым членом Ф*Ф и знаменателем Ы*Ы т. е. сумма Ф*ф:(1-Ы*Ы) =48 Из этой системы найдем Ф Ы.

    Поделим второе уравнение на первое получим Ф:(1+Ы)=12 поделив  это на первое уравнение системы, получим (1+ы):(1-ы)=3 т. е. 1+ы=3-3ы т. е. 4ы=2, т. е. ы=0.5 значит ф=4*(1:2)=2

  • Пятый член геометрической прогрессии равен 8, а значение суммы первых трех членов равно 12. Найдите первый член и знаменатель прогрессии


    Решение: B5=b1*q^4=8
    S3=b1*(q^3-1)/(q-1)=12
    b1=8/q^4
    8/q^4*(q^2+q+1)=12
    2(q^2+q+1)=3q^4
    нужно решать уравнение 4-ой степени, по теореме Виета или через резольвенту (но это в школе не проходят) можно попробовать решить графически.
    В итоге получается что q≈1.268 или q≈-0.878
    b1≈3.095 или b1≈13.468 (соответственно)

  • Пятый член геометрической прогрессии больше четвертого на 168, а сумма третьего и четвертого членов прогрессии равна -28. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.


    Решение: d-знаменатель прогрессии

    запишем условие в таком виде:

     - =168

     + =-28

    выразим члены геометр. прогрессии через 4-й член?:

     = /d

     = *d

    подставим в уравнения и получим систему уравнений с двуия переменными:

    *d -  = 168

    /d +  = -28

    выражаем 4-й член через знаменатель прогрессии из первого уравнения и подставляем во второе:

     = 168/(d-1)

    168/(d(d-1))+168/(d-1)+28=0

    приводим к общемы знаменателю:

    (168+168d+28-28d)/(d(d-1))=0

    Порлучаем:

    d0

    d1

    +5d+6=0

    d0

    d1

    d=1

    d=-6

    d=1-не удовлетворяет условие

    значит d=-6

    Подставим значение в одно из изначальных уравнений

     *(-6) -  = 168

    -7  =168

     = -24

     = /d^3

     = -24/(-6)^3= 1/9

    Ответ:  =1/9, d=-6

<< < 234 5 6 > >>