прогрессия » как найти геометрическую прогрессию
  • Дана геометрическая
    прогрессия.a5=4,a8=108 (вместо а, может быть буква б. но в учебнике
    а). Нужно найти q.


    Решение: Есть формула для геометрической прогрессии  $$ A_{n} = A_{1}* q^{n-1} $$
    У тебя есть А5, где n=5, то есть $$ A_{5}= A_{1} * q^{4} $$
    И ещё есть A8, где n=8, то есть $$ A_{8}= A_{1} * q^{7} $$
    Далее составляете систему уравнений и решаете её.
    Есть вторая формула, из которой $$ A_{8} = A_{5} * q^{3} $$ (В кубе, т. к. выражаем А8, в котором n=8, через А5, в котором n=5, 8-5=3)
    $$ 108=4* q^{3} $$
    $$ q^{3} = 27 $$
    $$ q= \sqrt[3]{27} =3 $$

  • Дано: геометрическая прогрессия.b2-b1=6.b4-b1=42

    Найти: b1,q


    Решение: b2-b1=6

    b4-b1=42

    b1q-b1=6

    b1q^3-b1=42

    b1(q-1)=6

    b1(q^3-1)=42

    b1=6/(q-1)

    6/(q-1) * (q^3-1)=42 |*6

    (q-1)(q^2+q+1)/(q-1)=7|:(q-1)

    q^2+q+1=7

    q^2+q-6=0

    D=1-4*1*(-6)=25

    q1=2                               q2=-3

    b1=6/(2-1)=6     или        b1=6/(2+3)=0,12

  • Решите геометрическую прогрессию a1=25 d=-2 Sn=168 Найти : n;an


    Решение: а n=a1+d(n-1)= 25-2(n-1)=25-2n+2=27-2n

    По формуле суммы алгебраической прогрессии

    Sn=(a1+a n)*n/2

    168 = (25+ 27 - 2n)*n/2 

    168= (52-2n)*n/2

    168=(52n-2n^2) /2

    168= 26n-n^2

    n^2-26n+168=0

    D=676-672=4

    n1=12 n2=14

    При n=12, An= 25-2*12=25-24=1

    При n=14, An=25 -2*14=25-28=-3 не является решением, так как порядковый номер не может быть отрицательным числом.

    Ответ n=12 An=1 

  • Три натуральные числа образует геометрическое прогрессию при этом второй больше первого на три единец найти количество таких прогрессии


    Решение: Пусть 1 равен x тогда 2 равен x+2 по характеристическому свойству b3*x=(x+2)^2 то есть b3=(x^2+4x+4)/x деля почленно на x получим b3=x+4+4/x тк x-нат число то x+2 тоже натуральное осталось теперь понять при каких натуральных x b3 тоже натурально число x+4 натурально при любом нат x поэтому необходимое и достаточное условие это натуральность числа 4/x a это возможно только когда x=1 x=2 x=4 тогда возможны 3 прогрессии. 1)1,3,9 2)2,4,8 3)4,6,9 тут q=3/2 но числа все равно полуучились натуральные

  • Числа, выражающие длину, ширину и высоту прямоугольного параллелеаипеда образуют геометрическую прогрессию, объем параллелепипеда равен 216 м3, диагональ равна корень из 364. Найти измерение параллелепипеда


    Решение: Длина (а) ширина (b) и высота (h) образуют геометрическую прогрессию:
    b = a*q и h = b*q = a*q^2
    V = a*b*h = 216 = a*a*q*a*q^2 = (aq)^3
    диагональ параллелепипеда (D) связана в прямоугольный треугольник с высотой и диагональю основания (d). 
    по т. Пифагора
    D^2 = d^2 + h^2
    d^2 = a^2 + b^2 
    364 = a^2 + b^2 + h^2 = a^2 + (aq)^2 + (aq)^2*q^2
    получилась система из двух уравнений.
    из первого получим: aq = 6
    подставим во второе.
    364 = a^2 + 36 + 36q^2 
    328 = (6/q)^2 + 36q^2 для удобства сделаем замену: q^2 = t
    36 + 36t^2 - 328t = 0
    дискриминант = 328*328 - 4*36*36 = 8*41*8*41 - 4*4*9*4*9 = 64*(41^2 - 9^2) = 
    64*(41-9)(41+9) = 64*32*50 = 64^2*5^2 = 320^2
    (t)1;2 = (328+-320)/72
    q^2 = 8/72 = 1/9 -> q = 1/3
    q^2 = 648/72 = 9 -> q = 3
    a = 6/q = 18 -> b = 6 -> h = 2
    a = 6/q = 2 -> b = 6 -> h = 18
    Ответ: измерения параллелепипеда 2, 6, 18
    ПРОВЕРКА: V = 2*6*18 = 216
    квадрат диагонали основания = 2^2+6^2 = 40
    квадрат диагонали параллелепипеда = 40+18^2 = 364

  • Геометрическая прогрессия. Найти b1 и q, если b3=1; S3=7


    Решение: S3 = b1(q^3 - 1)/(q - 1)= b1(q - 1)(q² +q + 1)/(q - 1)= b1(q² +q +1)
    b3 = b1q²
    Теперь составим систему уравнений:
    7 = b1(q² + q +1)
    1 = b1·q²
    Разделим первое уравнение на второе (b1 сократится)
    7 =( q² + q + 1)/q ² |· q²
    7q² = q² + q + 1
    6q² - q - 1 = 0
    а) q = 1/2 б) q = -1/3
    Подставляем найденное значение в любое уравнение
    1 = b1·(1/2)² 1 = b1·(-1/3)²
    b1 = 4   b1 = 9

  • В геометрической прогрессии найти q если b1=1; b3+b5=90


    Решение: Bn=b1*q^(n-1)
    q^2+q^4=90 заменили значения по формуле
    q^2=x
    x^2+x-90=0
    D=361
    x1=9, x2=-10. х2 не подходит
    q1=3
    q2=-3
    тут сама смотри, какое q тебе больше нравится. в ДАННОМ случае подходят оба

    B₃=b₁*q²
    b₅=b₁*q⁴
    b₁*q²+b₁*q⁴=90
    q²+q⁴=90
    Пусть q²=a
    a+a²=90
    a²+a-90=0
    D=1+360=361
    a₁=-1-19=-10
      2
    a₂=-1+19=9
      2
    При а=-10 q²=-10
      нет решений
    При а=9 q²=9
      q₁=3
      q₂=-3
    Ответ: -3 и 3.

  • Найти, при каком значении а числа 3а+1, а+5, а-7 будут последовательными числами геометрической прогрессии, найти эти числа.


    Решение: (3a+1)*q=a+5 и (a+5)*q=a-7

    q=(a+5)/(3a+1)

    (a+5)^2=(a-7)(3a+1)

    a^2+10a+25=3a^2-21a+a-7

    a^2+10a+25-3a^2+20a+7=0

    -2a^2+30a+32=0

    a^2-15a-16=0

    D=(-15)^2-4*(-16)=225+64=289

    a1=(15+17)/2=32/2=16

    a2=(15-17)/2=-2/2=-1

    Так как для геометрической прогрессии формула: 
    b(n-1)*b(n+1)=b(n)*b(n), то можно составить простое уравнение: 
    (3a+1)*(a-7)=(a+5)^2 
    Дальше надо решать как квадратное уравнение. 
    Через общие формулы решения. 

  • B1=2 b4=-16 n=6 найти q? геометрическая прогрессия


    Решение: Найдем первый член прогрессии: A1 = Ak/qk-1
    A1 = (-16) / (2)4-1 = -2
    Найдем n-ый член прогрессии: An = A1·q n - 1
    A6 = (-2)·(2)6-1 = -64
    Сумма первых n членов прогрессии: Sn = A1·(qn- 1)/(q - 1)
    S6 = -2·(26- 1)/(2 - 1) = -126
    Первые 10 членов прогрессии: 
    A1 = -2
    A2 = A1·q = -4
    A3 = A1·q2 = -8
    A4 = A1·q3 = -16
    A5 = A1·q4 = -32
    A6 = A1·q5 = -64
    A7 = A1·q6 = -128
    A8 = A1·q7 = -256
    A9 = A1·q8 = -512
    A10 = A1·q9 = -1024

  • B4+B5=3/2
    B5=4B3
    q>0
    Найти B4
    геометрическая прогрессия


    Решение: Формулы геометрической прогрессии
    * bn=b1qn−1 - формула n-го члена геометрической прогрессии.
    * bn=bkqn−k - формула n-го члена геометрической прогрессии через k-й член прогрессии.
    * b2n=bn−1bn+1 - характеристическое свойство геометрической прогрессии для трех последовательных чисел.
    * bnbm=bkbl - характеристическое свойство геометрической прогрессии для четырех чисел, если n + m = k + l
    Формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии
    * Sn=q−1bnq−b1
    * Sn=q−1b1(qn−1)
    Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии
    * S=b11−qq1

1 2 > >>