как найти геометрическую прогрессию
Дана геометрическая
прогрессия.a5=4,a8=108 (вместо а, может быть буква б. но в учебнике
а). Нужно найти q.
Решение: Есть формула для геометрической прогрессии $$ A_{n} = A_{1}* q^{n-1} $$
У тебя есть А5, где n=5, то есть $$ A_{5}= A_{1} * q^{4} $$
И ещё есть A8, где n=8, то есть $$ A_{8}= A_{1} * q^{7} $$
Далее составляете систему уравнений и решаете её.
Есть вторая формула, из которой $$ A_{8} = A_{5} * q^{3} $$ (В кубе, т. к. выражаем А8, в котором n=8, через А5, в котором n=5, 8-5=3)
$$ 108=4* q^{3} $$
$$ q^{3} = 27 $$
$$ q= \sqrt[3]{27} =3 $$
Дано: геометрическая прогрессия.b2-b1=6.b4-b1=42
Найти: b1,q
Решение: b2-b1=6b4-b1=42
b1q-b1=6
b1q^3-b1=42
b1(q-1)=6
b1(q^3-1)=42
b1=6/(q-1)
6/(q-1) * (q^3-1)=42 |*6
(q-1)(q^2+q+1)/(q-1)=7|:(q-1)
q^2+q+1=7
q^2+q-6=0
D=1-4*1*(-6)=25
q1=2 q2=-3
b1=6/(2-1)=6 или b1=6/(2+3)=0,12
Решите геометрическую прогрессию a1=25 d=-2 Sn=168 Найти : n;an
Решение: а n=a1+d(n-1)= 25-2(n-1)=25-2n+2=27-2nПо формуле суммы алгебраической прогрессии
Sn=(a1+a n)*n/2
168 = (25+ 27 - 2n)*n/2
168= (52-2n)*n/2
168=(52n-2n^2) /2
168= 26n-n^2
n^2-26n+168=0
D=676-672=4
n1=12 n2=14
При n=12, An= 25-2*12=25-24=1
При n=14, An=25 -2*14=25-28=-3 не является решением, так как порядковый номер не может быть отрицательным числом.
Ответ n=12 An=1
Три натуральные числа образует геометрическое прогрессию при этом второй больше первого на три единец найти количество таких прогрессии
Решение: Пусть 1 равен x тогда 2 равен x+2 по характеристическому свойству b3*x=(x+2)^2 то есть b3=(x^2+4x+4)/x деля почленно на x получим b3=x+4+4/x тк x-нат число то x+2 тоже натуральное осталось теперь понять при каких натуральных x b3 тоже натурально число x+4 натурально при любом нат x поэтому необходимое и достаточное условие это натуральность числа 4/x a это возможно только когда x=1 x=2 x=4 тогда возможны 3 прогрессии. 1)1,3,9 2)2,4,8 3)4,6,9 тут q=3/2 но числа все равно полуучились натуральныеЧисла, выражающие длину, ширину и высоту прямоугольного параллелеаипеда образуют геометрическую прогрессию, объем параллелепипеда равен 216 м3, диагональ равна корень из 364. Найти измерение параллелепипеда
Решение: Длина (а) ширина (b) и высота (h) образуют геометрическую прогрессию:
b = a*q и h = b*q = a*q^2
V = a*b*h = 216 = a*a*q*a*q^2 = (aq)^3
диагональ параллелепипеда (D) связана в прямоугольный треугольник с высотой и диагональю основания (d).
по т. Пифагора
D^2 = d^2 + h^2
d^2 = a^2 + b^2
364 = a^2 + b^2 + h^2 = a^2 + (aq)^2 + (aq)^2*q^2
получилась система из двух уравнений.
из первого получим: aq = 6
подставим во второе.
364 = a^2 + 36 + 36q^2
328 = (6/q)^2 + 36q^2 для удобства сделаем замену: q^2 = t
36 + 36t^2 - 328t = 0
дискриминант = 328*328 - 4*36*36 = 8*41*8*41 - 4*4*9*4*9 = 64*(41^2 - 9^2) =
64*(41-9)(41+9) = 64*32*50 = 64^2*5^2 = 320^2
(t)1;2 = (328+-320)/72
q^2 = 8/72 = 1/9 -> q = 1/3
q^2 = 648/72 = 9 -> q = 3
a = 6/q = 18 -> b = 6 -> h = 2
a = 6/q = 2 -> b = 6 -> h = 18
Ответ: измерения параллелепипеда 2, 6, 18
ПРОВЕРКА: V = 2*6*18 = 216
квадрат диагонали основания = 2^2+6^2 = 40
квадрат диагонали параллелепипеда = 40+18^2 = 364Геометрическая прогрессия. Найти b1 и q, если b3=1; S3=7
Решение: S3 = b1(q^3 - 1)/(q - 1)= b1(q - 1)(q² +q + 1)/(q - 1)= b1(q² +q +1)
b3 = b1q²
Теперь составим систему уравнений:
7 = b1(q² + q +1)
1 = b1·q²
Разделим первое уравнение на второе (b1 сократится)
7 =( q² + q + 1)/q ² |· q²
7q² = q² + q + 1
6q² - q - 1 = 0
а) q = 1/2 б) q = -1/3
Подставляем найденное значение в любое уравнение
1 = b1·(1/2)² 1 = b1·(-1/3)²
b1 = 4 b1 = 9
В геометрической прогрессии найти q если b1=1; b3+b5=90
Решение: Bn=b1*q^(n-1)
q^2+q^4=90 заменили значения по формуле
q^2=x
x^2+x-90=0
D=361
x1=9, x2=-10. х2 не подходит
q1=3
q2=-3
тут сама смотри, какое q тебе больше нравится. в ДАННОМ случае подходят оба
B₃=b₁*q²
b₅=b₁*q⁴
b₁*q²+b₁*q⁴=90
q²+q⁴=90
Пусть q²=a
a+a²=90
a²+a-90=0
D=1+360=361
a₁=-1-19=-10
2
a₂=-1+19=9
2
При а=-10 q²=-10
нет решений
При а=9 q²=9
q₁=3
q₂=-3
Ответ: -3 и 3.Найти, при каком значении а числа 3а+1, а+5, а-7 будут последовательными числами геометрической прогрессии, найти эти числа.
Решение: (3a+1)*q=a+5 и (a+5)*q=a-7q=(a+5)/(3a+1)
(a+5)^2=(a-7)(3a+1)
a^2+10a+25=3a^2-21a+a-7
a^2+10a+25-3a^2+20a+7=0
-2a^2+30a+32=0
a^2-15a-16=0
D=(-15)^2-4*(-16)=225+64=289
a1=(15+17)/2=32/2=16
a2=(15-17)/2=-2/2=-1
Так как для геометрической прогрессии формула:
b(n-1)*b(n+1)=b(n)*b(n), то можно составить простое уравнение:
(3a+1)*(a-7)=(a+5)^2
Дальше надо решать как квадратное уравнение.
Через общие формулы решения.B1=2 b4=-16 n=6 найти q? геометрическая прогрессия
Решение: Найдем первый член прогрессии: A1 = Ak/qk-1
A1 = (-16) / (2)4-1 = -2
Найдем n-ый член прогрессии: An = A1·q n - 1
A6 = (-2)·(2)6-1 = -64
Сумма первых n членов прогрессии: Sn = A1·(qn- 1)/(q - 1)
S6 = -2·(26- 1)/(2 - 1) = -126
Первые 10 членов прогрессии:
A1 = -2
A2 = A1·q = -4
A3 = A1·q2 = -8
A4 = A1·q3 = -16
A5 = A1·q4 = -32
A6 = A1·q5 = -64
A7 = A1·q6 = -128
A8 = A1·q7 = -256
A9 = A1·q8 = -512
A10 = A1·q9 = -1024B4+B5=3/2
B5=4B3
q>0
Найти B4
геометрическая прогрессия
Решение: Формулы геометрической прогрессии
* bn=b1qn−1 - формула n-го члена геометрической прогрессии.
* bn=bkqn−k - формула n-го члена геометрической прогрессии через k-й член прогрессии.
* b2n=bn−1bn+1 - характеристическое свойство геометрической прогрессии для трех последовательных чисел.
* bnbm=bkbl - характеристическое свойство геометрической прогрессии для четырех чисел, если n + m = k + l
Формулы суммы первых n членов геометрической прогрессии
* Sn=q−1bnq−b1
* Sn=q−1b1(qn−1)
Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии
* S=b11−qq1
