прогрессия » сумма чисел арифметической прогрессии
  • Сумма трех чисел, образующих возрастающую арифметическую прогрессию, равна 0, а сумма квадратов этих чисел равна 8. Найти сумму четвертых степеней этих чисел


    Решение: $$ a_1 < a_2 < a_3; a_2= \frac{a_1+a_3}{2} ; $$
    $$ \left \{ \begin{array} {c} 2a_2=a_1+a_3, \\ a_1+a_2+a_3=0, \\ a_1^2+a_2^2+a_3^2=8; \end{array} \right. \left \{ \begin{array} {c} -a_1+2a_2-a_3=0, \\ a_1+a_2+a_3=0, \\ a_1^2+a_2^2+a_3^2=8; \end{array} \right. \left \{ \begin{array} {c} 3a_2=0, \\ a_1+a_2+a_3=0, \\ a_1^2+a_2^2+a_3^2=8; \end{array} \right. $$
    $$ \left \{ \begin{array} {c} a_2=0, \\ a_1+a_3=0, \\ a_1^2+a_3^2=8; \end{array} \right. \left \{ \begin{array} {c} a_2=0, \\ a_1=-a_3, \\ (-a_3)^2+a_3^2=8; \end{array} \right. \left \{ \begin{array} {c} a_2=0, \\ a_1=-a_3, \\ 2a_3^2=8; \end{array} \right. \\ \left \{ \begin{array} {c} a_2=0, \\ a_1=-a_3, \\ a_3^2=4; \end{array} \right. \left \{ \begin{array} {c} a_2=0, \\ a_1=-a_3, \\ \left [ {{a_3=-2,} \atop {a_3=2;}} \right. \end{array} \right. \\ a_3=-2 < 0, a_3 < a_2; $$
    $$ \left \{ \begin{array} {c} a_2=0, \\ a_3=2, \\ a_1=-2; \end{array} \right. \\ a_1^4+a_2^4+a_3^4=(-2)^4+0^4+2^4=32 $$

  • Три числа a,b,c составляют арифметическую прогрессию, разность которой отрицательна. Числа a+2, b+1, c+8 в указанном порядке составляют геометрическую прогрессию. Найдите наибольшее из чисел a,b,c, если их сумма равна 15.


    Решение: Запишем сумму чисел а, в и с из условия, что они последовательные члены арифметической прогрессии:
    $$ a_n=a_1+d(n-1). $$
    $$ a+a+d+a+2d=15 $$
    $$ 3a+3d=15. $$
    Сократим на 3:
    a + d = 5. Это число равно в.
    Тогда а + с = 15 - 5 = 10, отсюда с = 10 - а.
    Используем второе условие, что а +2, в + 1, с + 8 составляют геометрическую прогрессию.
    В геометрической прогрессии отношение любого члена к предыдущему постоянно и называется знаменателем.
    Второй член в + 1 = 5 + 1 = 6.
    $$ \frac{6}{a+2} = \frac{10-a+8}{6}. $$
    6/(a+2) = 3.
    a + 2 = 6/3 = 2.
    Отсюда а = 2 - 2 = 0.
    Число с= 10 - а = 10 - 0 = 10.
    Ответ: а = 0,
      в = 5,
      с = 10.

  • Арифметическая прогрессия
    1) a1=12, d=-3, a26-
    2) a1=5, a2=12, S38-
    3) a5=64, d=0,5, a1-
    4) a5=32, a8=40, d-
    5) Найдите сумму всех натуральных трехзначных чисел, кратных 4


    Решение: 1.
    a1=12 d=-3 a26-
    a26=a1+25*d
    a26=12+25*(-3)
    a26=-63
    2.
    a1=5 a2=12 S38-
    d=a2-a1=12-5=7
    S38=a1+a38 *38
      2
    a38=a1+37*d
    a38=5+37*7
    a38=264
    S38=5+264 *38
      2
    S38=5111
    3.
    a5=64 d=0,5 a1-
    a5=a1+4*d
    64=a1+4*0.5
    64=a1+2
    -a1=-64+2
    -a1=-62
    a1=62
    4.
    a5=32 a8=40 d-
    a5=a1+4*d
    a8=a1+7*d
    a1+4d=32
    a1+7d=40
    -3d=-8
    d=8\3
    5.
    а1=100
    a2=104
    d=a2-a1=104-100=4
    an=996
    an=a1+(n-1)d
    996=100+4(n-1)
    249=25+n-1
    224=n-1
    n=225
    S225=(100+996)/2*225 = 548*225 = 123300

  • Арифметическая прогрессия : Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных 3


    Решение: Дано:
    $$ a_{1} =102 $$т. к это первое трехзначное число которое делится на 3, т. е. кратно трем.
    $$ d=3 $$
     $$ a_{n} =999 $$т. к наибольшее трехзначное число кратное трем
    Найти: n; $$ S_{n} $$
    Решение:
    $$ a_{n} =S_{368}= \frac{2a_{1}+d(368-1)}{2} *d=\\= \frac{2*102+3*367}{2} *368=1305*184=240120 $$
    $$ d(n-1)=a_{n} -a_{1} $$
    $$ n-1= \frac{a_{n} -a_{1}}{d} $$
    $$ n= \frac{a_{n} -a_{1}}{d} +1= \frac{999+102}{3} +1=368 $$

  • Арифметическая прогрессия: Найти сумму всех двузначных чисел, которые не делятся нацело на три


    Решение: 1) Найдём сумму всех двузначных чисел. Это арифметическая прогрессия, у которой а1=10, d=1, n=90 (99-9), an=a90=99.
    S=(a1+an)*n/2=(10+99)*90/2=4905
    2) Найдём сумму всех двузначных чисел, делящихся на 3. Это арифметическая прогрессия, у которой a1=12, d=3, an=99.
    an=a1+d(n-1)⇒n=(an-a1)/d+1=(99-12)/3+1=87/3+1=29+1=30
    Тогда сумма S=(a1+an)*n/2=(12+99)*30/2=1665
    3) Сумма всех двузначных, которые не делятся на 3 будет равна разности суммы всех двузначных чисел и суммы двузначных чисел, делящихся на 3:
    S=4905-1665=3240
    Ответ: 3240

  • Ответ: -0,96.
    Сумма трех чисел, образующих возрастающую арифметическую прогрессию, равна 0, а сумма квадратов этих чисел равна 8. Найти сумму четвертых степеней этих чисел


    Решение: $$ a_1\ < \ a_2\ < \ a_3; a_2= \frac{a_1+a_3}{2} \\ \left \{ \begin{array} {c} 2a_2=a_1+a_3, \\ a_1+a_2+a_3=0, \\ a_1^2+a_2^2+a_3^2=8; \end{array} \right.\\ \left \{ \begin{array} {c} -a_1+2a_2-a_3=0, \\ a_1+a_2+a_3=0, \\ a_1^2+a_2^2+a_3^2=8; \end{array} \right.\\ \left \{ \begin{array} {c} 3a_2=0, \\ a_1+a_2+a_3=0, \\ a_1^2+a_2^2+a_3^2=8; \end{array} \right. \\ \left \{ \begin{array} {c} a_2=0, \\ a_1+a_3=0, \\ a_1^2+a_3^2=8; \end{array} \right.\\ \left \{ \begin{array} {c} a_2=0, \\ a_1=-a_3, \\ (-a_3)^2+a_3^2=8; \end{array} \right.\\ \left \{ \begin{array} {c} a_2=0, \\ a_1=-a_3, \\ 2a_3^2=8; \end{array} \right. \\ \left \{ \begin{array} {c} a_2=0, \\ a_1=-a_3, \\ a_3^2=4; \end{array} \right.\\ \left \{ \begin{array} {c} a_2=0, \\ a_1=-a_3, \\ \left [ {{a_3=-2,} \atop {a_3=2;}} \right. \end{array} \right. \\ a_3=-2\ < \ 0, a_3\ < \ a_2; \\ \left \{ {c} a_2=0, \\ a_3=2, \\ a_1=-2; \right. \\ a_1^4+a_2^4+a_3^4=(-2)^4+0^4+2^4=32. $$