прогрессия »
сумма чисел арифметической прогрессии
Сумма трех чисел, образующих возрастающую арифметическую прогрессию, равна 0, а сумма квадратов этих чисел равна 8. Найти сумму четвертых степеней этих чисел
Решение: $$ a_1 < a_2 < a_3; a_2= \frac{a_1+a_3}{2} ; $$
$$ \left \{ \begin{array} {c} 2a_2=a_1+a_3, \\ a_1+a_2+a_3=0, \\ a_1^2+a_2^2+a_3^2=8; \end{array} \right. \left \{ \begin{array} {c} -a_1+2a_2-a_3=0, \\ a_1+a_2+a_3=0, \\ a_1^2+a_2^2+a_3^2=8; \end{array} \right. \left \{ \begin{array} {c} 3a_2=0, \\ a_1+a_2+a_3=0, \\ a_1^2+a_2^2+a_3^2=8; \end{array} \right. $$
$$ \left \{ \begin{array} {c} a_2=0, \\ a_1+a_3=0, \\ a_1^2+a_3^2=8; \end{array} \right. \left \{ \begin{array} {c} a_2=0, \\ a_1=-a_3, \\ (-a_3)^2+a_3^2=8; \end{array} \right. \left \{ \begin{array} {c} a_2=0, \\ a_1=-a_3, \\ 2a_3^2=8; \end{array} \right. \\ \left \{ \begin{array} {c} a_2=0, \\ a_1=-a_3, \\ a_3^2=4; \end{array} \right. \left \{ \begin{array} {c} a_2=0, \\ a_1=-a_3, \\ \left [ {{a_3=-2,} \atop {a_3=2;}} \right. \end{array} \right. \\ a_3=-2 < 0, a_3 < a_2; $$
$$ \left \{ \begin{array} {c} a_2=0, \\ a_3=2, \\ a_1=-2; \end{array} \right. \\ a_1^4+a_2^4+a_3^4=(-2)^4+0^4+2^4=32 $$
Три числа a,b,c составляют арифметическую прогрессию, разность которой отрицательна. Числа a+2, b+1, c+8 в указанном порядке составляют геометрическую прогрессию. Найдите наибольшее из чисел a,b,c, если их сумма равна 15.
Решение: Запишем сумму чисел а, в и с из условия, что они последовательные члены арифметической прогрессии:
$$ a_n=a_1+d(n-1). $$
$$ a+a+d+a+2d=15 $$
$$ 3a+3d=15. $$
Сократим на 3:
a + d = 5. Это число равно в.
Тогда а + с = 15 - 5 = 10, отсюда с = 10 - а.
Используем второе условие, что а +2, в + 1, с + 8 составляют геометрическую прогрессию.
В геометрической прогрессии отношение любого члена к предыдущему постоянно и называется знаменателем.
Второй член в + 1 = 5 + 1 = 6.
$$ \frac{6}{a+2} = \frac{10-a+8}{6}. $$
6/(a+2) = 3.
a + 2 = 6/3 = 2.
Отсюда а = 2 - 2 = 0.
Число с= 10 - а = 10 - 0 = 10.
Ответ: а = 0,
в = 5,
с = 10.
Арифметическая прогрессия
1) a1=12, d=-3, a26-
2) a1=5, a2=12, S38-
3) a5=64, d=0,5, a1-
4) a5=32, a8=40, d-
5) Найдите сумму всех натуральных трехзначных чисел, кратных 4
Решение: 1.
a1=12 d=-3 a26-
a26=a1+25*d
a26=12+25*(-3)
a26=-63
2.
a1=5 a2=12 S38-
d=a2-a1=12-5=7
S38=a1+a38 *38
2
a38=a1+37*d
a38=5+37*7
a38=264
S38=5+264 *38
2
S38=5111
3.
a5=64 d=0,5 a1-
a5=a1+4*d
64=a1+4*0.5
64=a1+2
-a1=-64+2
-a1=-62
a1=62
4.
a5=32 a8=40 d-
a5=a1+4*d
a8=a1+7*d
a1+4d=32
a1+7d=40
-3d=-8
d=8\3
5.
а1=100
a2=104
d=a2-a1=104-100=4
an=996
an=a1+(n-1)d
996=100+4(n-1)
249=25+n-1
224=n-1
n=225
S225=(100+996)/2*225 = 548*225 = 123300
Арифметическая прогрессия : Найдите сумму всех трехзначных чисел, кратных 3
Решение: Дано:
$$ a_{1} =102 $$т. к это первое трехзначное число которое делится на 3, т. е. кратно трем.
$$ d=3 $$
$$ a_{n} =999 $$т. к наибольшее трехзначное число кратное трем
Найти: n; $$ S_{n} $$
Решение:
$$ a_{n} =S_{368}= \frac{2a_{1}+d(368-1)}{2} *d=\\= \frac{2*102+3*367}{2} *368=1305*184=240120 $$
$$ d(n-1)=a_{n} -a_{1} $$
$$ n-1= \frac{a_{n} -a_{1}}{d} $$
$$ n= \frac{a_{n} -a_{1}}{d} +1= \frac{999+102}{3} +1=368 $$
Арифметическая прогрессия: Найти сумму всех двузначных чисел, которые не делятся нацело на три
Решение: 1) Найдём сумму всех двузначных чисел. Это арифметическая прогрессия, у которой а1=10, d=1, n=90 (99-9), an=a90=99.
S=(a1+an)*n/2=(10+99)*90/2=4905
2) Найдём сумму всех двузначных чисел, делящихся на 3. Это арифметическая прогрессия, у которой a1=12, d=3, an=99.
an=a1+d(n-1)⇒n=(an-a1)/d+1=(99-12)/3+1=87/3+1=29+1=30
Тогда сумма S=(a1+an)*n/2=(12+99)*30/2=1665
3) Сумма всех двузначных, которые не делятся на 3 будет равна разности суммы всех двузначных чисел и суммы двузначных чисел, делящихся на 3:
S=4905-1665=3240
Ответ: 3240
Ответ: -0,96.
Сумма трех чисел, образующих возрастающую арифметическую прогрессию, равна 0, а сумма квадратов этих чисел равна 8. Найти сумму четвертых степеней этих чисел
Решение: $$ a_1\ < \ a_2\ < \ a_3; a_2= \frac{a_1+a_3}{2} \\ \left \{ \begin{array} {c} 2a_2=a_1+a_3, \\ a_1+a_2+a_3=0, \\ a_1^2+a_2^2+a_3^2=8; \end{array} \right.\\ \left \{ \begin{array} {c} -a_1+2a_2-a_3=0, \\ a_1+a_2+a_3=0, \\ a_1^2+a_2^2+a_3^2=8; \end{array} \right.\\ \left \{ \begin{array} {c} 3a_2=0, \\ a_1+a_2+a_3=0, \\ a_1^2+a_2^2+a_3^2=8; \end{array} \right. \\ \left \{ \begin{array} {c} a_2=0, \\ a_1+a_3=0, \\ a_1^2+a_3^2=8; \end{array} \right.\\ \left \{ \begin{array} {c} a_2=0, \\ a_1=-a_3, \\ (-a_3)^2+a_3^2=8; \end{array} \right.\\ \left \{ \begin{array} {c} a_2=0, \\ a_1=-a_3, \\ 2a_3^2=8; \end{array} \right. \\ \left \{ \begin{array} {c} a_2=0, \\ a_1=-a_3, \\ a_3^2=4; \end{array} \right.\\ \left \{ \begin{array} {c} a_2=0, \\ a_1=-a_3, \\ \left [ {{a_3=-2,} \atop {a_3=2;}} \right. \end{array} \right. \\ a_3=-2\ < \ 0, a_3\ < \ a_2; \\ \left \{ {c} a_2=0, \\ a_3=2, \\ a_1=-2; \right. \\ a_1^4+a_2^4+a_3^4=(-2)^4+0^4+2^4=32. $$
