прогрессия » арифметической прогрессии первый член равен
  • Чему равен первый положительный член арифметической прогрессии: -10,2; -9,6; -9; ...


    Решение: А1=-10.2
    a2=-9.6
    Найдём разность арифметической прогрессии:
    d=a2-a1=-9.6-(-10.2)=0.6>0 => арифметическая прогрессия возрастающая.
    Зададим формулу n-ого члена арифметической прогрессии:
    an=a1+(n-1)d=-10.2+(n-1)*0.6=-9.6+0.6n
    Так как надо найти первый положительный член арифметической прогрессии, то решим нерaвенство:
    an>0
    -9.6+0.6n>0
    0.6n>9.6
    6n>96
    n>16
    Так как надо найти первый положительный член арифметической прогрессии, то n=17
    a17 = -9.6+0.6*17=-9.6+10.2=0.6>0
    Проверка:
    a16 = -9.6+0.6*16=-9.6+9.6=0- не является положительным числом.
    А так как данная арифметическая прогрессия возрастающая, то а18> а17>0.
    Значит нам подходит а17=0.6
    Ответ: а17=0.6

    $$ -10,2 ; -9,6 ; - 9 ;. \\ $$

    $$ d = -9,6 -(-10,2) = -9,6+10,2 = 0,6 > 0 $$ => прогрессия возрастающая, значит рано или поздно члены прогрессия будут положительными.

    Пусть первый положительный член имеет номер n. Для него верно неравенство:
    $$ a_{n} > 0 \\ a_{1} + d(n-1) > 0 \\ -10,2 + 0,6(n-1) > 0 \\ -10,2 + 0,6n-0,6 > 0 \\ 0,6n-10,8 > 0 \\ 0,6n > 10,8 \\ n > \frac{10,8}{0,6} \\ n > 18 \\ $$

    Значит первый положительный член - $$ a_{19} $$.

    $$ a_{19} = a_{1} + 18d = -10,2+18*0,6 = -10,2+ 10,8 = 0,6 \\ $$

    Ответ: 0,6

  • Третий член арифметической прогрессии равен 7, а девятый 18. найти первый и шестой члены?


    Решение: Решение:
    Согласно формулы арифметической прогрессии: An=A1+d(n-1)
    a3=a1+2d=7
    a9=a1+8d=18
    решим систему уравнений:
    а1+2d=7
    a1+8d=18
    из первого уравнения вычтем второе, получим:
    -6d=-11
    d=11/6
    Зная d, найдём а1
    Из первого уравнения: а1=7-2d=7-2*11/6=20/6 или 3целых1/3
    а6=3целых1/3+5*11/6=12,5

    Ответ: a1=3целых 1/3
       а6=12,5

  • арифметическая прогрессия задана первыми двумя членами:a1=100,a2=97, Укажитенаименьшее значение n, при котором an<0


    Решение: $$ a_1=100; a_2=97;\\d=a_2-a_1=97-100=-3;\\a_n=a_1+(n-1)*d;\\a_n=100+(n-1)*(-3)=100-3n+3=103-3n;\\a_n<0;\\103-3n<0;\\-3n<-103;\>\frac{103}{3}=34 \frac{1}{3};\=35; $$

    проверка

    $$ a_{34}=100+(34-1)*(-3)=1>0;\\a_{35}=100+(35-1)*(-3)=-2<0; $$

    ответ: 35

    an=a1+d(n-1)

    d=97-100=-3

    100+(-3)*(x-1)<0

    100-3x+3<0

    103-3x<0

    103-3x=0

    3x=103

    x=34+1/3

    т. к. номер члена арифметической прогрессии может быть только натуральным числом, то х=35(если взять 34, то а34>0)

    проверка:

    a34=100+(-3)*(34-1)=1>0

    a35=100+(-3)*(35-1)=-2<0

    ответ: n=35

  • Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них - арифметическая прогрессия. Укажите её
    1) 1; 2; 3; 6;.
    2) 1; 5; 9; 13;.
    3) 1; 3; 9; 27;.
    4) 1; 1/2; 2/3; 3/4;.


    Решение: 2)

    У арифметической прогрессии к предыдущему члену прибавляется разность арифметической прогрессии.

    1+4=5

    5+4=13

    13+4=17 и т. д.

    в арифметической прогрессии, к последующему члену прибавляется одно и то же число, это наблюдается только в варианте "2", где d-разность=5-1=4 или 9-5=4

  • Найти первый отрицательный член арифметической прогрессии, заданной формулой n-го члена an=101-13n.


    Решение: $$ a_n=101-13n\\ a_n >0\ => 101-13n>0\\ 13n<101\\ n<\frac{101}{13}=7\frac{10}{13} $$
    Значит, все члены с первого по 7-й - положительные.
    Тогда первый отрицательный член прогрессии - это
    $$ a_8=101-13*8=101-104=-3. $$
    Ответ: -3.

    $$ a_n=101-13n \\\ 101-13n>0 \\\ 101>13n \\\ n<\frac{101}{13} \\\ n<7\frac{10}{13} \\\ a_8=101-13\cdot8=101-104=-3. $$
    Ответ: -3

  • Найти первый член и разницу арифметической прогрессии (а[n]), если а[5]+a[1]=24 a[9]+a[3]=54


    Решение: $$ a_{5}+a_{1}=24 $$
    $$ a_{9}+a_{3}=54 $$
    $$ a_{5}=a_{1}+4d $$
    $$ a_{9}=a_{1}+8d $$
    $$ a_{3}=a_{1}+2d $$
    Подставим их в первоначальные выражения:
    $$ \left \{ {{(a_{1}+4d)+a_{1}=24} \atop {(a_{1}+8d)+(a_{1}+2d)=54}} \right. $$
    $$ \left \{ {{2a_{1}+4d=24} \atop {2a_{1}+10d=54}} \right. $$ - вычтем из второго уравнения первое:
    $$ 6d=30, d=5 $$ - разность арифметической прогрессии найдена. Подставим это значение в одно из уравнений системы, получим:
    $$ 2a_{1}+4*5=24 $$
    $$ 2a_{1}=4 $$
    $$ a_{1}=2 $$ - первый член арифметической прогрессии
    Ответ: $$ a_{1}=2 $$, $$ d=5 $$

  • В арифметической прогрессии (a_n) a1=100, a22 - ее первый отрицательный член. Какие значения можен принимать разонсть прогрессии?

    Упростите выражение:

    4cos(a)/(tg^2(a/2)-ctg^2(a/2))

    Упростите:

    sqrt(6)+sqrt(5) - (1/sqrt(11-2sqrt(30)))


    Решение: 1.  Необходимо выполнение двух условий:

    $$ a_{21}\geq0,\ \ \ \ a_{22}<0 $$

    Или:

    $$ 100+20d\geq0,\ \ \ \ 100+21d<0 $$

    $$ d\geq-5,\ \ \ \ d<-\frac{100}{21}. $$

    Ответ: d: [-5; -100/21)

    2.

    $$ \frac{4cosa}{tg^2(a/2)-ctg^2(a/2)}=\\=\frac{4cosa\ tg^2(a/2)}{tg^4(a/2)-1}=\frac{4(1-tg^2(a/2))\ tg^2(a/2)}{(tg^2(a/2)-1)(tg^2(a/2) +1)^2}=-sin^2a $$

    Ответ: $$ -sin^2a. $$

    3.

    $$ \sqrt{6}\ \ +\ \ \sqrt{5}\ -\ \frac{1}{\sqrt{11-2\sqrt{30}}}\ =\\= \sqrt{6}\ \ +\ \ \sqrt{5}\ -\ \frac{1}{\sqrt{6}\ \ -\ \ \sqrt{5}}=\\=(\sqrt{6}\ \ +\ \ \sqrt{5})\ -\ (\sqrt{6}\ \ +\ \ \sqrt{5})\ =\ 0 $$

    Ответ: 0

  • В арифметической прогрессии: -18,14,10. указать номер первого положительного члена
    Ответы:
    а) 4
    в)8
    с)5
    д)7
    е)6


    Решение: Разность арифметической прогрессии будет равна -14-(-18)=-14+18=4
    Тогда -10+4=-6; -6+4=-2; -2+4=2.
    Значит, имеем следующее: -18;-14;-10;-6;-2;2. 2 соответствует 6 номеру. Ответ е)

    $$ (a_n)-18;-14: -10;.\\d=a_2-a_1=-14-(-18)=4\\a_n>0\\a_n=a_1+d(n-1)\\-18+4(n-1)>0\\4(n-1)>18 \\ -1>18/4 \\ -1>4,5 > 1+4,5\>5,5 \in N =6 $$
    Получаем, что первый положительный член равен 6
     Ответ: е)

  • Найти первый и последний члены арифметической прогрессии, учитывая, что:
    а) d=3, S27 = 594


    Решение: Пусть первый член прогрессии, а d - разность. общая формула n-ого члена арифметической прогрессии: тогда:   получим систему: вычтем из первого уравнения второе, получим -10d=-62. получим d=6,2. подставим в первое уравнение: x

    an+1 = an + d,  n є N
    d =  an+1 - an
    an = a1+ d · (n - 1)⇒а1=s27-d*s26
    a1=594-3*(27-1)=516 - 1й член прогрессии

    an = a1+ d · (n - 1) - формула последнего члена арифметической прогрессии; an = 516+ 3 · (n - 1)- формула последнего члена арифметической прогрессии