арифметической прогрессии первый член равен
Чему равен первый положительный член арифметической прогрессии: -10,2; -9,6; -9; ...
Решение: А1=-10.2
a2=-9.6
Найдём разность арифметической прогрессии:
d=a2-a1=-9.6-(-10.2)=0.6>0 => арифметическая прогрессия возрастающая.
Зададим формулу n-ого члена арифметической прогрессии:
an=a1+(n-1)d=-10.2+(n-1)*0.6=-9.6+0.6n
Так как надо найти первый положительный член арифметической прогрессии, то решим нерaвенство:
an>0
-9.6+0.6n>0
0.6n>9.6
6n>96
n>16
Так как надо найти первый положительный член арифметической прогрессии, то n=17
a17 = -9.6+0.6*17=-9.6+10.2=0.6>0
Проверка:
a16 = -9.6+0.6*16=-9.6+9.6=0- не является положительным числом.
А так как данная арифметическая прогрессия возрастающая, то а18> а17>0.
Значит нам подходит а17=0.6
Ответ: а17=0.6
$$ -10,2 ; -9,6 ; - 9 ;. \\ $$
$$ d = -9,6 -(-10,2) = -9,6+10,2 = 0,6 > 0 $$ => прогрессия возрастающая, значит рано или поздно члены прогрессия будут положительными.
Пусть первый положительный член имеет номер n. Для него верно неравенство:
$$ a_{n} > 0 \\ a_{1} + d(n-1) > 0 \\ -10,2 + 0,6(n-1) > 0 \\ -10,2 + 0,6n-0,6 > 0 \\ 0,6n-10,8 > 0 \\ 0,6n > 10,8 \\ n > \frac{10,8}{0,6} \\ n > 18 \\ $$
Значит первый положительный член - $$ a_{19} $$.
$$ a_{19} = a_{1} + 18d = -10,2+18*0,6 = -10,2+ 10,8 = 0,6 \\ $$
Ответ: 0,6
Третий член арифметической прогрессии равен 7, а девятый 18. найти первый и шестой члены?
Решение: Решение:
Согласно формулы арифметической прогрессии: An=A1+d(n-1)
a3=a1+2d=7
a9=a1+8d=18
решим систему уравнений:
а1+2d=7
a1+8d=18
из первого уравнения вычтем второе, получим:
-6d=-11
d=11/6
Зная d, найдём а1
Из первого уравнения: а1=7-2d=7-2*11/6=20/6 или 3целых1/3
а6=3целых1/3+5*11/6=12,5
Ответ: a1=3целых 1/3
а6=12,5
арифметическая прогрессия задана первыми двумя членами:a1=100,a2=97, Укажитенаименьшее значение n, при котором an<0
Решение: $$ a_1=100; a_2=97;\\d=a_2-a_1=97-100=-3;\\a_n=a_1+(n-1)*d;\\a_n=100+(n-1)*(-3)=100-3n+3=103-3n;\\a_n<0;\\103-3n<0;\\-3n<-103;\>\frac{103}{3}=34 \frac{1}{3};\=35; $$проверка
$$ a_{34}=100+(34-1)*(-3)=1>0;\\a_{35}=100+(35-1)*(-3)=-2<0; $$
ответ: 35
an=a1+d(n-1)
d=97-100=-3
100+(-3)*(x-1)<0
100-3x+3<0
103-3x<0
103-3x=0
3x=103
x=34+1/3
т. к. номер члена арифметической прогрессии может быть только натуральным числом, то х=35(если взять 34, то а34>0)
проверка:
a34=100+(-3)*(34-1)=1>0
a35=100+(-3)*(35-1)=-2<0
ответ: n=35
Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них - арифметическая прогрессия. Укажите её
1) 1; 2; 3; 6;.
2) 1; 5; 9; 13;.
3) 1; 3; 9; 27;.
4) 1; 1/2; 2/3; 3/4;.
Решение: 2)У арифметической прогрессии к предыдущему члену прибавляется разность арифметической прогрессии.
1+4=5
5+4=13
13+4=17 и т. д.
в арифметической прогрессии, к последующему члену прибавляется одно и то же число, это наблюдается только в варианте "2", где d-разность=5-1=4 или 9-5=4
Найти первый отрицательный член арифметической прогрессии, заданной формулой n-го члена an=101-13n.
Решение: $$ a_n=101-13n\\ a_n >0\ => 101-13n>0\\ 13n<101\\ n<\frac{101}{13}=7\frac{10}{13} $$
Значит, все члены с первого по 7-й - положительные.
Тогда первый отрицательный член прогрессии - это
$$ a_8=101-13*8=101-104=-3. $$
Ответ: -3.$$ a_n=101-13n \\\ 101-13n>0 \\\ 101>13n \\\ n<\frac{101}{13} \\\ n<7\frac{10}{13} \\\ a_8=101-13\cdot8=101-104=-3. $$
Ответ: -3
Найти первый член и разницу арифметической прогрессии (а[n]), если а[5]+a[1]=24 a[9]+a[3]=54
Решение: $$ a_{5}+a_{1}=24 $$
$$ a_{9}+a_{3}=54 $$
$$ a_{5}=a_{1}+4d $$
$$ a_{9}=a_{1}+8d $$
$$ a_{3}=a_{1}+2d $$
Подставим их в первоначальные выражения:
$$ \left \{ {{(a_{1}+4d)+a_{1}=24} \atop {(a_{1}+8d)+(a_{1}+2d)=54}} \right. $$
$$ \left \{ {{2a_{1}+4d=24} \atop {2a_{1}+10d=54}} \right. $$ - вычтем из второго уравнения первое:
$$ 6d=30, d=5 $$ - разность арифметической прогрессии найдена. Подставим это значение в одно из уравнений системы, получим:
$$ 2a_{1}+4*5=24 $$
$$ 2a_{1}=4 $$
$$ a_{1}=2 $$ - первый член арифметической прогрессии
Ответ: $$ a_{1}=2 $$, $$ d=5 $$
В арифметической прогрессии (a_n) a1=100, a22 - ее первый отрицательный член. Какие значения можен принимать разонсть прогрессии?
Упростите выражение:
4cos(a)/(tg^2(a/2)-ctg^2(a/2))
Упростите:
sqrt(6)+sqrt(5) - (1/sqrt(11-2sqrt(30)))
Решение: 1. Необходимо выполнение двух условий:$$ a_{21}\geq0,\ \ \ \ a_{22}<0 $$
Или:
$$ 100+20d\geq0,\ \ \ \ 100+21d<0 $$
$$ d\geq-5,\ \ \ \ d<-\frac{100}{21}. $$
Ответ: d: [-5; -100/21)
2.
$$ \frac{4cosa}{tg^2(a/2)-ctg^2(a/2)}=\\=\frac{4cosa\ tg^2(a/2)}{tg^4(a/2)-1}=\frac{4(1-tg^2(a/2))\ tg^2(a/2)}{(tg^2(a/2)-1)(tg^2(a/2) +1)^2}=-sin^2a $$
Ответ: $$ -sin^2a. $$
3.
$$ \sqrt{6}\ \ +\ \ \sqrt{5}\ -\ \frac{1}{\sqrt{11-2\sqrt{30}}}\ =\\= \sqrt{6}\ \ +\ \ \sqrt{5}\ -\ \frac{1}{\sqrt{6}\ \ -\ \ \sqrt{5}}=\\=(\sqrt{6}\ \ +\ \ \sqrt{5})\ -\ (\sqrt{6}\ \ +\ \ \sqrt{5})\ =\ 0 $$
Ответ: 0
В арифметической прогрессии: -18,14,10. указать номер первого положительного члена
Ответы:
а) 4
в)8
с)5
д)7
е)6
Решение: Разность арифметической прогрессии будет равна -14-(-18)=-14+18=4
Тогда -10+4=-6; -6+4=-2; -2+4=2.
Значит, имеем следующее: -18;-14;-10;-6;-2;2. 2 соответствует 6 номеру. Ответ е)$$ (a_n)-18;-14: -10;.\\d=a_2-a_1=-14-(-18)=4\\a_n>0\\a_n=a_1+d(n-1)\\-18+4(n-1)>0\\4(n-1)>18 \\ -1>18/4 \\ -1>4,5 > 1+4,5\>5,5 \in N =6 $$
Получаем, что первый положительный член равен 6
Ответ: е)Найти первый и последний члены арифметической прогрессии, учитывая, что:
а) d=3, S27 = 594
Решение: Пусть первый член прогрессии, а d - разность. общая формула n-ого члена арифметической прогрессии: тогда: получим систему: вычтем из первого уравнения второе, получим -10d=-62. получим d=6,2. подставим в первое уравнение: xan+1 = an + d, n є N
d = an+1 - an
an = a1+ d · (n - 1)⇒а1=s27-d*s26
a1=594-3*(27-1)=516 - 1й член прогрессии
an = a1+ d · (n - 1) - формула последнего члена арифметической прогрессии; an = 516+ 3 · (n - 1)- формула последнего члена арифметической прогрессии
