прогрессия »

дана геометрическая прогрессия

  • Задана геометрическая прогрессия bn: b1>0; b1+b4=-49 и b2+b3=14. Найти первый элемент b1 и знаменатель q геометрической прогрессии.


    Решение: B1 + b1q^3 = -49
    b1q + b1q^2 = 14 разделим первое уравнение на 2-е
    (1 + q^3)/(q +q^2) = -7/2
    (1+q)(1 -q +q^2)/q(1 +q) = -7/2
    (1 -q +q^2) /q = -7/2
    2(1 - q +q^2) = -7q
    2 -2q +2q^2 +7q = 0
    2q^2 +5q +2 = 0
    D = b^2 -4ac = 25 -16 = 9
    q1= -1/2, a) b1 + b1q^3 = -49 б) q2 =-2 b1 + b1q^3 = -49
      b1 +b1*(-1/8) = -49 b1 + b1*(-8) = -49
      7/8 b1 = -49 -7b1 = -49
      b1 = -49: 7/8= -49*8/7= =56 b1 = 7

  • Задана геометрическая прогрессия (bn) b2+b3= -12, b4-b2=48. S5-


    Решение: Для простоты b2=х
    b3=х*q
    b4=х*q*q
    система уравнений
    х+х*q=-12
    х*q*q-х=48

    х(1+q)=-12
    х(q^2-1)=48

      -12
    х=-
      1+q
      48
    х=-
      q^2-1
      -12 48
    -=-
      1+q q^2-1

       -12 48
    -=- домножим на    (1+q) 
      1+q (q-1)(q+1)

      -12 48
    -=- разделим на 12
      1  (q-1)

      -1 4
    -=-
      1  (q-1)

      4
    -=-1
      (q-1)


    (q-1)=-4
    q=-4+1=-3 -знаменатель прогрессии
    подставим в х(1+q)=-12
    х(1+(-3))=-12
    -2х=-12
    х=6- это b2
    b1=6: -3= -2
    S5=-2*((-3)^5-1)/(-3-1)=-2*(-243-1)/(-4)=(-243-1)/2=-244/2=-122

  • Дана геометрическая прогрессия, где b3=135, S3=195, найти q?


    Решение: Решение:
    Из формул:
    S=b1(q^n-1)/(q-1)
    bn=b1*q^(n-1)
    Подставим известные нам данные^
    195=b1(q^3-1)/(q-1)
    135=b1*q^(3-1)
    195={b1(q-1)(q^2-q+1)}/(q-1)
    В первом уравнении сократим числитель и знаменатель на (q-1)
    195=b1(q^2-q+1)
    Из второго уравнения найдём (b1)
    b1=135/q^2 и подставим его в первое уравнение:
    195=135*(q^2-q+1)/q^2
    195q^2=135(q^2-q+1)
    195q^2=135q^2-135q+135
    195q^2-135q^2+135q-135
    60q^2+135q-135=0
    q1,2=(-135+-D)/2*60
    D=√{-135² - 4*60*(-135)}=√(18225+32400)=√50625=+-225
    q1=(-135+225)/120=90/120=3/4
    q2=(-135-225)/120=-360/120= -3  не соответствует условию задачи, так как приведённые в задании данные, целые числа, а не дробные.
    Ответ: q=3/4

  • Дана геометрическая прогрессия, у которой S3=40, S6=60. Найдите S9.


    Решение: Сперва знаменатель геом. прогрессии q-
    Sn=S1*q^(n-1)- формула n-го члена геом прогрессии
     подставляем 40=S1*q^2
      60=S1*q5
    Делим второе на первое и получаем
    3/2=q^3
    q=корень 3й степени из 3/2
    а дальше просто считаете с этим знаменателем по формуле n-го члена которая есть вверху 

  • Дана геометрическая прогрессия bn
    b1+b2=40
    b2+b3=160
    Найти q.


    Решение: B1+b2=40  | :  b1
    b2+b3=160  | :  b2  =>  прогрессия  возравтающая, т. е.  q>1
    b1 + b2=40 
    b1  b1  b1
    b2 + b3=160
    b2  b2  b2
    1 +  b2 = 40 
      b1 b1
    1 +  b3=160
       b2  b2
    1 +  q  =  40
       b1
    1 +  q  =  160  учитывая, что  b2 = b1*q  имеем:
       b2
      
    1 +  q  = 40
       b1
    1 +  q  =  160 
       b1*q
    b1  =  40
       1 +  q
    1 +  q  =   160(1 +  q)  | * 40q 
       40*q
      
    1 +  q  =   4(1 +  q)   | * q  
       q
    q + q²  =   4(1 +  q)
    q + q²  =  4 + 4q
    q²  -  3q - 4 = 0
    По теореме Виета 
    q1 = 4,  q2 = -1
    Т. к.  q>1  =  >  q = 4
    Ответ:  q = 4

1 2 3 > >>