прогрессия »

дана геометрическая прогрессия

  • Задана геометрическая прогрессия bn: b1>0; b1+b4=-49 и b2+b3=14. Найти первый элемент b1 и знаменатель q геометрической прогрессии.


    Решение: B1 + b1q^3 = -49
    b1q + b1q^2 = 14 разделим первое уравнение на 2-е
    (1 + q^3)/(q +q^2) = -7/2
    (1+q)(1 -q +q^2)/q(1 +q) = -7/2
    (1 -q +q^2) /q = -7/2
    2(1 - q +q^2) = -7q
    2 -2q +2q^2 +7q = 0
    2q^2 +5q +2 = 0
    D = b^2 -4ac = 25 -16 = 9
    q1= -1/2, a) b1 + b1q^3 = -49 б) q2 =-2 b1 + b1q^3 = -49
      b1 +b1*(-1/8) = -49 b1 + b1*(-8) = -49
      7/8 b1 = -49 -7b1 = -49
      b1 = -49: 7/8= -49*8/7= =56 b1 = 7

  • Задана геометрическая прогрессия (bn) b2+b3= -12, b4-b2=48. S5-


    Решение: Для простоты b2=х
    b3=х*q
    b4=х*q*q
    система уравнений
    х+х*q=-12
    х*q*q-х=48

    х(1+q)=-12
    х(q^2-1)=48

      -12
    х=-
      1+q
      48
    х=-
      q^2-1
      -12 48
    -=-
      1+q q^2-1

       -12 48
    -=- домножим на    (1+q) 
      1+q (q-1)(q+1)

      -12 48
    -=- разделим на 12
      1  (q-1)

      -1 4
    -=-
      1  (q-1)

      4
    -=-1
      (q-1)


    (q-1)=-4
    q=-4+1=-3 -знаменатель прогрессии
    подставим в х(1+q)=-12
    х(1+(-3))=-12
    -2х=-12
    х=6- это b2
    b1=6: -3= -2
    S5=-2*((-3)^5-1)/(-3-1)=-2*(-243-1)/(-4)=(-243-1)/2=-244/2=-122

  • Дана геометрическая прогрессия, где b3=135, S3=195, найти q?


    Решение: Решение:
    Из формул:
    S=b1(q^n-1)/(q-1)
    bn=b1*q^(n-1)
    Подставим известные нам данные^
    195=b1(q^3-1)/(q-1)
    135=b1*q^(3-1)
    195={b1(q-1)(q^2-q+1)}/(q-1)
    В первом уравнении сократим числитель и знаменатель на (q-1)
    195=b1(q^2-q+1)
    Из второго уравнения найдём (b1)
    b1=135/q^2 и подставим его в первое уравнение:
    195=135*(q^2-q+1)/q^2
    195q^2=135(q^2-q+1)
    195q^2=135q^2-135q+135
    195q^2-135q^2+135q-135
    60q^2+135q-135=0
    q1,2=(-135+-D)/2*60
    D=√{-135² - 4*60*(-135)}=√(18225+32400)=√50625=+-225
    q1=(-135+225)/120=90/120=3/4
    q2=(-135-225)/120=-360/120= -3  не соответствует условию задачи, так как приведённые в задании данные, целые числа, а не дробные.
    Ответ: q=3/4

  • Дана геометрическая прогрессия, у которой S3=40, S6=60. Найдите S9.


    Решение: Сперва знаменатель геом. прогрессии q-
    Sn=S1*q^(n-1)- формула n-го члена геом прогрессии
     подставляем 40=S1*q^2
      60=S1*q5
    Делим второе на первое и получаем
    3/2=q^3
    q=корень 3й степени из 3/2
    а дальше просто считаете с этим знаменателем по формуле n-го члена которая есть вверху 

  • Дана геометрическая прогрессия bn
    b1+b2=40
    b2+b3=160
    Найти q.


    Решение: B1+b2=40  | :  b1
    b2+b3=160  | :  b2  =>  прогрессия  возравтающая, т. е.  q>1
    b1 + b2=40 
    b1  b1  b1
    b2 + b3=160
    b2  b2  b2
    1 +  b2 = 40 
      b1 b1
    1 +  b3=160
       b2  b2
    1 +  q  =  40
       b1
    1 +  q  =  160  учитывая, что  b2 = b1*q  имеем:
       b2
      
    1 +  q  = 40
       b1
    1 +  q  =  160 
       b1*q
    b1  =  40
       1 +  q
    1 +  q  =   160(1 +  q)  | * 40q 
       40*q
      
    1 +  q  =   4(1 +  q)   | * q  
       q
    q + q²  =   4(1 +  q)
    q + q²  =  4 + 4q
    q²  -  3q - 4 = 0
    По теореме Виета 
    q1 = 4,  q2 = -1
    Т. к.  q>1  =  >  q = 4
    Ответ:  q = 4

  • дана геометрическая прогрессия у которой b1=2, q=3, bn=54 Найти n


    Решение: b1=2

    q=3

    bn=54

    bn=b1*q^(n-1)

    2*3^(n-1)=54

    3^(n-1)=27

    3^(n-1)=3^3

    n-1=3

    n=4

    Ответ 4

    в1=2

    g=3

    вп=54

    по формуле 

    вп=в1*g"(п-1)

    54=2 * 3"(п-1)

    3"(п-1)=27

    3"(п-1)=3"3

    п-1=3

    п=4

    Ответ: п=4

  • Дана геометрическая прогрессия (bn), знаменатель которой равен -3, b1= -6. Найдите b5.


    Решение: $$ q=-3 $$
    $$ b_1=-6 $$
    $$ b_n=b_1* q^{n-1} $$
    $$ b_5=b_1* q^{4} $$
    $$ b_5=-6*(-3)^4=-6*81=-486 $$

    q - b - b n b q n- b b q b - - - -...

  • Дана геометрическая прогрессия (bn). Найдите b1,q,S8, если bn =4/2 в степени 3-n
    9класс


    Решение: первый член прогрессии будет равен 1, второй член 2, тогда разность будет равна 

    2 делить на 1= 2

    сумма восьми членов по формуле S=255

    первый член прогрессии будет равен второй член тогда разность будет равна  делить на сумма восьми членов по формуле S...

  • Дана геометрическая прогрессия (bn). Найдите b1, если q=(√3)/3 b6=-1/√3.


    Решение: Нам известна формула для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии:

    $$ b_n=b1*q^(n-1) $$

    Где bn=b6=-1/√3.

    -1/√3=-√3/3. (-1/√3)*(√3/√3)=-√3/3. (Избавляемся от корня в знаменателе).

    q - знаменатель.

    А n в степени - это порядковый номер члена прогрессии, в нашем случае это 6.

    Выражаем b1: $$ b1=\frac{b_n}{q^(n-1)};\\ $$

    Считаем:

    $$ b1=\frac{-1}{\sqrt{3}}:(\frac{\sqrt{3}}{3})^5;\\ b1=\frac{-\sqrt{3}}{3}*(\frac{3}{\sqrt{3}})^5;\\ b1=\frac{-\sqrt{3}}{3}*\frac{243}{9\sqrt{3}};\\ b1=\frac{-243}{27};\\ b1=-9;\\ $$

    Главное не допустить ошибку в счете. Сначала возводим в 5-ую степень, а далее сокращаем.

    Получаем ответ: b1=-9.

  • Дана геометрическая прогрессия
    b5(5)-b3(3)=1200
    b5-b4=1000
    Найти
    S5-


    Решение: Составим систему уравнений
    b(5)-b(3)=1200 (1)
    b(5)-b(4)=1000 (2) ⇒ b(5)= 1000+b(4) (2_2)
    Добавим в систему третье уравнение b(4)²=b(5)*b(3) (3)
    вычтем из уравнения (1)-(2) ⇒ b(4)-b(3)=200 ⇒ b(3)=b(4)-200 (4)
    Подставим (2_2) в (3)
     b(4)²=(1000+b(4))*b(3) Подставим вместо b(3) уравнение (4)
    b(4)²=(1000+b(4))*(b(4)-200)
    b(4)²==1000b(4)+b(4)²-200000-200b(4) [b(4)² сократим]
    800 b(4)=200000 b(4)=250
    b(3)=250-200=50  b(3)=50
    q=b(4)/b(3)=250/50=5 q=5
    b(3)=b(1)*q² ⇒ b(1)=50/25=2 b(1)=2
    S(5)= b(1)(q^n-1)/(q-1)
    S(5)=3125

1 2 > >>