прогрессия »

разность членов арифметической прогрессии

  • Восьмой член арифметической прогрессии с ненулевой разностью равен 60. Известно, что 1, 7 и 25 члены составляют геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии


    Решение: a8=a1+7d=60

    a7/a1=a25/a7=q

    a1=60-d

    a7=60-d+6d=60+5d

    a25=60-d+24d=60+23d

    $$ \frac{60+5d}{60-d}=\frac{60+23d}{60+5d} $$

    $$ (60+5d)^{2}=(60+23d)(60-d) $$

    $$ 3600+600d+25d^{2}=3600+1380d-60d-23d^{2} $$

    $$ 48d^{2}-720d=0 $$

    $$ d^{2}-15d=d(d-15)=0 $$

    d не равно 0 по условию, значит d=15

    a1=60-15=45

    a7=60+5*15=60+75=135

    q=a7/a1=135/45=3

  • 1) найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии y(n)), первый член которой равен -2,8, а знаменатель равен 2.
    2) найдите сумму двадцати двух первых членов арифметической прогрессии, если её разность равна 2, а пятый член прогрессии в 4 раза меньше второго члена.
    3) найдите знаменатель геометрической прогрессии x(n)), если х(3)=-162, х(5)=-18


    Решение: №1.
    Sn=y1(1-q^n) / 1-q 
    S5=-2.8*(1-2^5) / 1-2 = -2.8*(1-32)/-1 = 2.8*(-33)/-1 = -92.4/-1=92.4
    №2.
    {а1+d=a2 {a1+d=4a5 {a1+2=4a5 {a1-4a5=-2 {a1-4a5=-2
    {a1+4d=a5 {a1+d=a5 {a1+8=a5 {a1-a5=-8 | (-4) {-4a1+4a5=32
      ____________
      -3a1=30
      a1=-10
    S22=2*(-10)+21*2/2 * 22 = -20+42/2 * 22 = (-20+42)*11 =  22*11=242
    №3.
    х5=х3*q²
    -162q²=-18
    q²=-18/-162
    q²=18/162
    q²=1/9
    q=1/3 или q=-1/3

  • Первый член арифметической прогрессии равен 1, а разность прогрессии равна 5. Какие из чисел 45,114,8306 являются членами этой прогрессии?


    Решение: a1=1

    d=5

    ______

    an=a1+(n-1)*d

    1) 45=1+(n-1)*5

    45=1+5n-5

    5n=49

    n=49/5

    n=9,8

    т. к. n- не целое число, 45 не явл членом ар. пр.

    2) 114=1+(n-1)*5

    114=1+5n-5

    -5n=-118

    n=118/5

    n=23,6

    т. к. n - не целое число, 114 не явл членом ар. пр

    3) 8306=1+(n-1)*5

    8306=1+5n-5

    -5n=-8310

    n=8310/5

    n=1662

    т. к. n- целое число, 8306 явл членом ар пр

    ответ: 8306

  • Первый член арифметической прогрессии равен 3, а разность прогрессии равна 4. Известно, что сумма первых n членов данной прогрессии равна 210. Найдите n.


    Решение: Решение:
    Согласно формулы суммы S=[2a1+d(n-1)]*n/2
    210=[2*3+4*(n-1)]|2
    420=6n+4n^2-4n
    4n^2+2n-420=0
    n1,2=[-2+-sqrt4-4*4*(-420)]/8=(-2+-82)/8
    n1=10
    n2=-84/8 (не подходит)

    Ответ: 10

    А_1 = 3, d = 4
    a_n = a_1+d*(n-1)
    a_n = 3 +4(n-1) =3+4n-4=4n-1
    S_n = [(a_1+a_n)/2 ]*n = [(3 + 4n - 1)/2]*n=(1+2n)*n=2n^2+n=210
    2n^2+n-210=0
    Решаем квадратное уравнение, получаем:
    n = 10
    n = -10.5 (не удовлетворяет условию)
    Ответ: 10

  • Первый член арифметической прогрессии равен 2, а разность арифметической прогрессии равна 2. Найдите сумму всех двухзначных членов прогрессии, не кратных 3.


    Решение: Данная последовательность чисел состоит из двух прогрессий: числа, которые при делении на 3 дают в остатке 1, и числа, которые при делении на 3 дают в остатке 2.

    У первой прогрессии первый член - 10,  последний  - 94 (всего 15 членов),

    у второй первый член - 14. последний - 98 (тоже 15 членов).

    Поэтому искомая сумма

    S = (10 + 94) / 2 * 15 + (14 + 98) / 2 * 15 = 780 + 840 = 1620

  • Первый член арифметической прогрессии равен 2, а разность арифметической прогрессии равна3. Найдите сумму всех двузначных членов прогрессии не кратных 4


    Решение: Решение: a[1]=2,

     d=3

    значит a[n]=2+3(n-1)=3n-1

    10<=3n-1<100

    11<=3n<101

    11\3<=n<101\3

    4<=n<=33

    Члены арифметической прогрессии с номерами ль 4 до 33, будут двузначными числами

    Первое двузначное число данной прогрессии a[4]=3*4-1=11

    Последнее двузначное число данной прогрессии a[33]=3*33-1=98

    Количевство двухзначных чисел данной прогрессии 33-3=30.

    Их Сумма (11+98)\2*30=1635

    Первое число данной прогрессии, кратное четырем: 20

    11 делится на 4 нет, 11+3=14 нет 14+3=17 нет, 17+3=20 да

    Последнее число данной прогрессии, кратное 4:

    98 нет, 98-3=95 нет, 95-3=92 да

    Двузначные числа данной прогрессии, кратные 4, являются членами арифметической прогрессии с первым членом 20, последним 92, и разностью 12.

    Их количевство (92-20)\12+1=7

    Их сумма (20+92)\2*7=392

    Отсюда сумму всех двузначных членов данной прогрессии не кратных 4: общая сумма – сумма всех двузначных членов прогрессии, кратных 4=

    =1635-392=1243

    Ответ:1243

  • Первый член арифметической прогрессии равен 1, а разность прогрессии равна 3. какое из чисел 27, 68, 4276,105 является членом этой прогрессии?


    Решение: Формула n члена арифмет. прогрессии an = a1 + d*(n-1)
    an = 1 + 3*(n-1)
    an - 1 = 3*(n-1)
    т. е. из каждого числа нужно вычесть первый член = 1, если полученное число делится на 3, то исходное число является членом прогрессии.
    27 - 1 = 26 - не делится на 3, членом прогрессии не является
    68 - 1 = 67 - не делится на 3, членом прогрессии не является
    4276 - 1 = 4275 - делится на 3, является членом прогрессии
    -105 - т. к. первый член прогрессии = 1, и d = 3, то все члены - положительные,105 - не является членом прогрессии

  • Первый член арифметической прогрессии равен 2, а разность арифметической прогрессии равна 2. Найдите сумму всех двузначных членов прогрессии, не кратных 3.


    Решение: Прогрессия имеет вид 2, 4, 6, 8, 10…. То есть четные числа. Их сумма равна ((10+98)*44/2=2376 Найдем четные двухзначные цифры кратные 3 В таких числах первый член будет =12, последнее число 96 и таких чисел будет ((96-12)/6+1)=15. Их сумма равна (12+96)*15/2=810 То есть сумма всех чисел удовлетворяющая исходным условим задачи равна 2376-810=1566

  • Первый член арифметической прогрессии равен - 7,4, а разность равна 1,8. Найдите пять первых членов прогрессии.


    Решение: a₁=-7.4

    a₂=-7.4+1.8=-5.6

    a₃=-5.6+1.8=-3.8

    a₄=-3.8+1.8=-2

    a₅=-2+1.8=-0.2

    отв:-7.4;-5.6;-3.8;-2;-0.2

    Нам известен первый член арифметической прогрессии a1=-7,4.

    Нам известна разность d=1,8. (Это из условия).

    Теперь запишем формулу для нахождения n-ого члена прогрессии:

    $$ a(n)=a(1)+d*(n-1);\\ $$

    Данные нам известны, считаем:
    a(2)=-7,4+1,8*(2-1)=-7,4+1,8*1=-7,4+1,8=-5,6.

    a(3)=-7,4+1,8*(3-1)=-7,4+1,8*2=-3,8.

    a(4)=-7,4+1,8*(4-1)=-7,4+1,8*3=-2.

    a(5)=-7,4+1,8*(5-1)=-7,4+1,8*4=-0,2.

    Мы нашли первые пять членов данной прогрессии.

    Ответ: a(1)=-7,4;a(2)=-5,6;a(3)=-3,8;a(4)=-2;a(5)=-0,2.

  • первый член арифметической прогрессии равен 1, а разность прогрессии равна 4. какое из чисел 24, 55, 4757 является членом этой прогрессии?


    Решение: a(n)= a(1)+ d(n-1)

    проверяем:

    1) 24=1+d(n-1)?

      23=4(n-1)

      n-1= 23/4=5.75=> n=6,75 (исключаем по смыслу)

    2) 55=1 + d(n-1)

      54=4(n-1)

      n-1= 54/4=13.5=>n=14.5(исключаем по смыслу)

    3) 4757= 1 +d(n-1)

      4756= 4(n-1)

      n-1=4756/4=1189=> n=1190 (число целое=> вот это и ответ)

    По формуле для n-го члена: $$ a_{n}=a_{1}+d(n-1) $$

    Сразу подставим а1 и d: $$ a_{n}=1+4(n-1) $$

    Далее просто перебираем данные числа, учитывая, что n - целое число, решаем уравнение

    24: 1+4(n-1)=24

    1+4n-4=24

    4n=27 

    24 не является членом этой прогрессии

    55: 1+4(n-1)=55

    1+4n-4=55

    4n=58 

    55 не является членом этой прогрессии

    4757: 1+4(n-1)=4757

    1+4n-4=4757

    4n=4760

    n=1190 

    4757 является 1190-м членом этой прогрессии

1 2 3 > >>