прогрессия »

разность членов арифметической прогрессии

  • Восьмой член арифметической прогрессии с ненулевой разностью равен 60. Известно, что 1, 7 и 25 члены составляют геометрическую прогрессию. Найдите знаменатель геометрической прогрессии


    Решение: a8=a1+7d=60

    a7/a1=a25/a7=q

    a1=60-d

    a7=60-d+6d=60+5d

    a25=60-d+24d=60+23d

    $$ \frac{60+5d}{60-d}=\frac{60+23d}{60+5d} $$

    $$ (60+5d)^{2}=(60+23d)(60-d) $$

    $$ 3600+600d+25d^{2}=3600+1380d-60d-23d^{2} $$

    $$ 48d^{2}-720d=0 $$

    $$ d^{2}-15d=d(d-15)=0 $$

    d не равно 0 по условию, значит d=15

    a1=60-15=45

    a7=60+5*15=60+75=135

    q=a7/a1=135/45=3

  • 1) найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии y(n)), первый член которой равен -2,8, а знаменатель равен 2.
    2) найдите сумму двадцати двух первых членов арифметической прогрессии, если её разность равна 2, а пятый член прогрессии в 4 раза меньше второго члена.
    3) найдите знаменатель геометрической прогрессии x(n)), если х(3)=-162, х(5)=-18


    Решение: №1.
    Sn=y1(1-q^n) / 1-q 
    S5=-2.8*(1-2^5) / 1-2 = -2.8*(1-32)/-1 = 2.8*(-33)/-1 = -92.4/-1=92.4
    №2.
    {а1+d=a2 {a1+d=4a5 {a1+2=4a5 {a1-4a5=-2 {a1-4a5=-2
    {a1+4d=a5 {a1+d=a5 {a1+8=a5 {a1-a5=-8 | (-4) {-4a1+4a5=32
      ____________
      -3a1=30
      a1=-10
    S22=2*(-10)+21*2/2 * 22 = -20+42/2 * 22 = (-20+42)*11 =  22*11=242
    №3.
    х5=х3*q²
    -162q²=-18
    q²=-18/-162
    q²=18/162
    q²=1/9
    q=1/3 или q=-1/3

  • Первый член арифметической прогрессии равен 1, а разность прогрессии равна 5. Какие из чисел 45,114,8306 являются членами этой прогрессии?


    Решение: a1=1

    d=5

    ______

    an=a1+(n-1)*d

    1) 45=1+(n-1)*5

    45=1+5n-5

    5n=49

    n=49/5

    n=9,8

    т. к. n- не целое число, 45 не явл членом ар. пр.

    2) 114=1+(n-1)*5

    114=1+5n-5

    -5n=-118

    n=118/5

    n=23,6

    т. к. n - не целое число, 114 не явл членом ар. пр

    3) 8306=1+(n-1)*5

    8306=1+5n-5

    -5n=-8310

    n=8310/5

    n=1662

    т. к. n- целое число, 8306 явл членом ар пр

    ответ: 8306

  • Первый член арифметической прогрессии равен 3, а разность прогрессии равна 4. Известно, что сумма первых n членов данной прогрессии равна 210. Найдите n.


    Решение: Решение:
    Согласно формулы суммы S=[2a1+d(n-1)]*n/2
    210=[2*3+4*(n-1)]|2
    420=6n+4n^2-4n
    4n^2+2n-420=0
    n1,2=[-2+-sqrt4-4*4*(-420)]/8=(-2+-82)/8
    n1=10
    n2=-84/8 (не подходит)

    Ответ: 10

    А_1 = 3, d = 4
    a_n = a_1+d*(n-1)
    a_n = 3 +4(n-1) =3+4n-4=4n-1
    S_n = [(a_1+a_n)/2 ]*n = [(3 + 4n - 1)/2]*n=(1+2n)*n=2n^2+n=210
    2n^2+n-210=0
    Решаем квадратное уравнение, получаем:
    n = 10
    n = -10.5 (не удовлетворяет условию)
    Ответ: 10

  • Первый член арифметической прогрессии равен 2, а разность арифметической прогрессии равна 2. Найдите сумму всех двухзначных членов прогрессии, не кратных 3.


    Решение: Данная последовательность чисел состоит из двух прогрессий: числа, которые при делении на 3 дают в остатке 1, и числа, которые при делении на 3 дают в остатке 2.

    У первой прогрессии первый член - 10,  последний  - 94 (всего 15 членов),

    у второй первый член - 14. последний - 98 (тоже 15 членов).

    Поэтому искомая сумма

    S = (10 + 94) / 2 * 15 + (14 + 98) / 2 * 15 = 780 + 840 = 1620

1 2 3 > >>