разность членов арифметической прогрессии - страница 2
Алгебра, арифметическая прогрессия.
1. Первый член арифметической прогрессии равен 360, а ее разность равна -6. С какого номера члены этой прогрессии меньше 100?
2. В арифметической прогрессии а8=152, а9=148. Найдите номер первого отрицательного члена этой прогрессии.
3. Найдите разность арифметической прогрессии (Рn), в которой р1=-50, р9=4.
Варианты ответа: 1) 6,75 2)5,75 3)8 4)4/27
Решение:1.
$$ a_{n} =a _{1} +(n-1)d $$
$$ 360 +(n-1)(-6)<100 $$
$$ 360-6n+6<100 $$
$$ 6n>266 $$
$$ n>44 \frac{1}{3} $$
ответ начиная с 45 номера
2.
$$ a_{9} =a_{8}+d $$
$$ d=a_{9}-a_{8}=148-152=-4 $$
$$ a_{8} =a _{1} +(8-1)(-4)=152 $$
$$ a _{1} -28=152 $$
$$ a _{1}=180 \\ 180+(n-1)(-4)<0 \\ 4n>184$$
n>46
$$ n_{47} =180+(47-1)(-4)=-4$$
3.$$p_{n} =p _{1} +(n-1)d \\ 4 =-50 +(9-1)d$$ 8d=54
d=6.751. Ответ: начиная с 45 номера
2. n>46
3.
8d=54
d=6.75
Первый член арифметической прогрессии равен 376, а её разность равна -6. Начиная с какого номера члены этой прогрессии меньше 100?
Решение: Сначала составим формулу n-го члена арифметической прогрессии. Для этого используем известное соотношение:a(n) = a1 + (n-1)d
Подставляя первый член и разность в это выражение, получаем:
a(n) = 376 -6(n-1) = 376 - 6n + 6 = 382 - 6n
Теперь воспользуемся нашим условием. По условию все члены нашей прогрессии должны быть меньше 100, отсюда:
382 - 6n < 100
-6n < -282
n > 47
Отсюда следует, что при всех членах, номера которых больше 47, будут меньше 100, а первый номер, при котором выполняется это условие: 48.
1)Сумма трех положительных чисел, обращающих арифметическую прогрессию, равна 15. Если к ним прибавить соответственно 1;4 и 19, то получится геометрическая прогрессия. Найдите данные числа
2)Четвертый член арифметической прогрессии равен 1. При какой значении разности прогрессии сумма попарных произведений первого, второго и третьего членов прогрессии будет наименьшей ?
Решение: 1)d -разность прогрессии
a1=x
a2=x+d
a3=x+2d
сумма =15
x+x+d+x+2d=15
3x+3d=15
x+d=5
Если к ним прибавить соответственно 1;4 и 19, то получится геометрическая прогрессия
b1=x+1
b2=x+d+4
b3=x+2d+19
q -знаменатель прогрессии
q = x+d+4 / x+1 = 5+4 / x+1 = 9 / x+1
q = x+2d+19 / x+d+4 = x+2d+19 / 9
9 / x+1 = x+2d+19 / 9
81 =( x+1) (x+2d+19)=( x+1) (x+d+d+19)=( x+1) (5+d+19)=( x+1) (d+24)
подставим вместо d=5-x
81 =( x+1) (5-x+24) =(x+1)(29-x)
квадратное уравнение
x^2 -28x+52 =0
x1 =2 d=5-2=3
арифметическая прогрессия 2 ; 5 ; 8
сумма 2+5+8=15
геометрическая прогрессия 3 ; 9 ; 27
q=9/3=27/9=3
x=2 ПОДХОДИТ
x2 =26
d=5-26=-21
арифметическая прогрессия 26 ; 5 ; -16
НЕ ПОДХОДИТ
по условию все числа положительные
ответ 2 ; 5 ; 8
9. Найдите четвертый член арифметической прогрессии: 13, 9,
10. Дана арифметическая прогрессия -3,5; -2, Найдите номер члена этой прогрессии, равного 59,5.
11. Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии, заданной формулой An=6n+2.
12. Сумма второго и третьего членов арифметической прогрессии равна 16, а разность прогрессии равна 4. Найдите первый член прогрессии.
13. Найдите первый член арифметической прогрессии: A1, A2, 4, 8,
14. Дана арифметическая прогрессия 8,2; 6,6;. Найдите номер члена этой прогрессии, равного -15,8.
15. Найдите сумму первых четырнадцати членов арифметической прогрессии, заданной формулой An=5n-1.
16. Третий член арифметической прогрессии равен 6, а пятый равен 10. Найдите первый член прогрессии.
Решение: 9. а₁=13, а₂=9, а₄=? Решение: д=а₂ - а₁, д = 9-13 = -4. а₄ = а₁ + 3д, а₄ = 13 + 3 * (-4) = 13 - 12 = 1. Ответ: а₄ = 1
11.a1=8;a2=14;d=6;
s=((2*8+6*15)/2)*16=848
12. а3 + а2 = 16
а3 - а2 = 4
Складываем уравнения
2*а3 = 20
а3 = 10
Первый член
а1 = а3 - 2*d = 10 - 2*4 = 2
13.4.
14.a1=8.2, a2=6.6
d=a2-a1=6.6-8.2=-1.6
-15.8=a1+(n-1)d
-15.8=8.2+(n-1)*(-1.6)
(n-1)*(-1.6)=-24
n-1=15
n=16
15.a1=5-1=4, a2=10-1=9
d=a2-a1=9-4=5
a14=a1+13d=4+13*5=4+65=69
S=(a1+a14)/2 *14=(a1+a14)*7=(4+69)*7=73*7=511
16.a3=a1+2d=6 => 2a1+4d=12
a5=a1+4d=10
2a1+4d-a1-4d=12-10
a1=2А1. Какое число не является членом арифметической прогрессии 2; 5; 8; 11.
1) 26
2) 30
3) 44
4) 122
А2. Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?
1) последовательность чисел, обратных натуральным
2) последовательность натуральных степеней чисел 3
3) последователь натуральных чисел, кратких 8
4) последовательность кубов натуральных чисел
А3. Последовательность задана формулой an=1-n(в квадрате).
Какое из указанных чисел является членом этой последовательности
1)-2
2)-3
3)-4
4)3
А4. Из арифметических прогрессий выберите ту, среди членов которой есть число 8
1) an=2n+6
2) an=3n
3) an= -3n-5
4) an=3n-5
B1. Первый член арифметической прогрессии равен 6, а её разность равна 4. С какого номера член этой прогрессии больше 260?
С1. В арифметической прогрессии а6=-147, а7=-144. Найдите номер первого положительного члена этой прогрессии.
Решение: А1
2) 30
Проверить можно так: от числа отнять 2 и разделить на3. Если целое получается, то является
А2
1) последовательность чисел, обратных натуральным
-2;-1;0;1;2
d=1
А3
2)-3
А4
1) an=2n+6
a1=2+6=8
D1
6+4(n-1)>260
4(n-1)>254
n-1>63,5
n=64,5
n=65
C1
d=a7-a6=-144+147=3
a1=a6-5d=-147-15=-162
-162+3(n-1)>0
3(n-1)>162
n-1>54
n>55
n=56В арифметической прогрессии пятый член равен 2. при каком значении разности прогрессии сумма всевозможных попарных произведений четвертого, седьмого и восьмого членов прогрессии будет наименьшей?
Решение: В рекурентной форме пятый член арифметической прогресси выглядит как: a5=a1+4d=2, выразим а1: a1=2-4dТеперь в рекурентной форме выразим a4, a7, a8:
a4=a1+3d; a7=a1+6d; a8=a1+7d
Составим всевозможные попарные произведения этих членов прогрессии:
1) a4*a7=(a1+3d)(a1+6d)=(2-4d+3d)(2-4d+6d)=(2-d)(2+2d)=-2d^2+2d+4
2)a4*a8=(a1+3d)(a1+7d)=(2-4d+3d)(2-4d+7d)=(2-d)(2+3d)=-3d^2+4d+4
3)a7*a8=(a1+6d)(a1+7d)=(2-4d+6d)(2-4d+7d)=(2+2d)(2+3d)=6d^2+10d+4
Найдем сумму этих произведений:
S=a4*a7+ a4*a8+a4*a8=-2d^2+2d+4-3d^2+4d+4+6d^2+10d+4=d^2+16d+12
Зададим формулу суммы в виде функции:
y(d)=d^2+16d+12, это функция квадратичная её графиком является парабола, т. к. коэффициент при d^2 положительный, то минимальное значение функция будет принимать в вершине параболы=> для того чтобы найти нужное нам значение d (такое чтобы сумма была минимальной), нам необходимо найти координату вершины параболы на оси Ох, для этого воспользуемся формулой х0=-(b/2a), т. к. у нас d вместо х, то d0=-(b/2a)=-(16/2)=-8, это и есть то значение разности прогрессии при котором, сумма всевозможных попарных произведений чевертого, седьмого и восьмого членов прогрессии будет наименьшей. Можно даже вычислить его, для этого подставляем d0 в уравнение функции, получаем:
yнаим.=(-8)^2-128+12=-52, т. е. Sнаим.=-52.
Ответ: d=-8; Sнаим.=-52
В арифметической прогрессии второй член равен 3, а сумма 18 первых членов равна 1539. Найдите разность этой прогрессии.
Решение: В арифметической прогрессии второй член равен 3, а сумма 18 первых членов равна 1539. Найдите разность этой прогрессии.
a2=a1+d=3 a1+d=3
S18=[(2·a1+17·d)/2]·18 =1539 ⇒ 18·a1+153d=1539
18·a1+18·d=54
18·a1+153d=1539 ⇒135·d=1485 ⇒ d=1485/135 d=11
В арифметической прогрессии третий член равен 9, а разность равна 20. найдите тридцатый член этой прогрессии
Решение: a3=9d=20
a30-
an=a1+d(n-1)
a3=a1+20*2
a1+40=9
a1=9-40
a1=-31
a30=a1+29d=-31+29*20=-31+580=549
====================================
Запишем формулу для нахождения тридцатого члена арифметической прогрессии:
a30 = a1 + 29d
Мы не знем лите первый член прогрессии. Найдём его, зная третий член:
a3 = a1 + 2d
a1 = a3 - 2d = 9 - 40 = -31
Теперь без проблем ищем тридцатый член:
a30 = -31 + 29 * 20 = -31 + 580 = 549
Задача решена.
В арифметической прогрессии второй член равен 4, разность рав-на 3, а сумма первых n членов прогрессии равна 376. Найдите n.
Решение: Если второй член = 4 и разность равна 3, то цепочка выглядит так:
1, 4, 7, 10, 13.
=> по формуле (прикреплена) получаем n = 16
Найдите разность арифметической прогрессии, первый член которой равен 10, а сумма первых пятнадцати членов равна 1200.
Решение: S15=2a1+d(15-1)
_________________x15
2
S=20+14d
__________x15
2
S=2(10+7d)
_________x15
2
S=(10+7d)x15=1200
150+105d=1200
105d=1050
d=10
