разность членов арифметической прогрессии - страница 4

Найдите сумму членов арифметической прогрессии с пятнадцатого по тридцатый включительно, если первый член равен 10 а разность 3

Формула общего члена арифметической прогрессии:
$$ a_n=a_1+d(n-1) $$

Формула суммы n первых членов прогрессии:

$$ S_n= \frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n \\ S=S₃₀-S₁₄=\frac{2\cdot 10+3\cdot(30-1)}{2}\cdot 30 - \frac{2\cdot 10+3(14-1)}{2}\cdot 14= \\ \\ =\frac{20+3\cdot29}{2}\cdot 30 - \frac{20+3\cdot13}{2}\cdot 14=107\cdot 15-59\cdot 7=1605-413=1192 $$

Сумма двадцати пяти членов арифметической прогрессии равна 525 найдите разность прогрессии если известно что её первый член равен -51

№185

Найдите сумму первых: а)8 членов; б)103 членов арифметической прогрессии:103;101;.

№186

Найдите An и Sn, если а)А₁=7,d=4, n=13; б)А₁=2,d=2,n=40; в)A₁=56,d=-3,n=11

№188

Найдите сумму первых : а)десяти членов; б)двадцати шести членов арифметической прогрессии {Yn}, если у₁=-32 и d=5

№189

Если первый член равен 25 и разность равна -4,5, то найдите суммы первых: а) шестнадцати членов; б)сорока членов арифметической прогрессии.

а) S(n) = (2a1+d(n-1))*n/2. Тогда:

S(8) = (206 - 14)*8/2 = 768

б) S(103) = (206 - 204)*103/2 = 103

186.

 а)А₁=7,d=4, n=13;

a(n) = a(1)+d(n-1) = 7+4n-4 = 4n+3 = 55

S(n) = (14+4(n-1))*n/2 = 403

б)А₁=2,d=2,n=40;

A(n) = 2+2*39 = 80;

S(n) = (4+2*39)*40/2 = 1640

в)A₁=56,d=-3,n=11

A(n) = 56 - 3*10 = 26

S(n) = (112-3*10)*11/2= 451

188. Y1= -32, d = 5

a) S(10) = (-64 + 5*9)*10/2 = -95

б) S(26) = (-64 + 5*25)*26/2 = 793

189. a1 = 25, d = -4,5

a) S(16) = (50-4,5*15)*16/2 = - 140

б) S(40) = (50 - 4,5*39)*40/2 = - 2510 

сумма пяти первых членов арифметической прогрессии равна 60, а разность четвертого и второго членов равна 8. тогда пятый член прогрессии равен.

(а+С+С+С) - четвертый член прогрессии

(а+С) - второй член прогрессии.

(а+3С)-(а-С)=8

2С=8

С=4 - шаг прогрессии

Сумму пяти членов можно записать:

а+ (а+С)+ (а+2С)+ (а+3С) + (а+4С)=60

5а+10С=60

5а+10*4=60

5а+40=60

5а=20

а=4 - первый член прогрессии

а+4С=4+4*4=4+16=20 - пятый член прогрессии

Ответ. 20

Решение:

S₅=(a₁+a₅)*5/2=60;

a₁+a₅=24;

a₁+a₁+4d=24;

2a₁+4d=24;

a₄-a₂=8;

a₁+3d-a₁+d=8;

a₁+3d-a₁-d=8;

2d=84;

d=4;

Отсюда нахдим а:

2a₁+4d=24;

2a₁+4*4=24;

2a₁+61=24;

2a₁=8;

а₁=4;

Получим, что a₅=a₁+4d;

а₅=4+4*4=4+16=20;

Ответ: а₅=20.

Первый член арифметической прогрессии равен 1, а разность этой прогрессии 4. Является ли число 10091 числом этой прогрессии?

A1=1 An=A1+d(n-1)

d=4 10091=1+4(n-1)

Найти: 4n=10086

явл-ся ли n=2521,5

число. Ответ: число 10091 не является членом ариф. прогрессии

  (так как порядковый номер не можется быть дробный числом) 

В арифметической прогрессии второй член равен 7, а 28-й член равен 111. Найдите разность этой прогрессии и сумму 28 первых ее членов.

$$ a_n=a_1+(n-1)d $$, где d-это разность арифметической прогрессии.

Из условий можно составить систему из 2х уравнений:

$$ \left \{ {{a_2=a_1+d} \atop {a_{28}=a_1+27 \cdot d}} \right. $$ 

нам известно что: $$ a_2=7 \\a_{28}=111 $$

Подставляем и получаем:

 $$ \left \{ {{7=a_1+d} \atop {111=a_1+27 \cdot d}} \right. $$

Решаем систему: из 1го уравнения выражаем ну хотя бы d:

 $$ d=7-a_1 $$

Подставляем во второе:

 $$ 111=a_1+27 \cdot (7-a_1) \\ 111=a_1+189-27a_1 \\26a_1=189-111 \\26a_1=78 \\ a_1=3 $$

Теперь найдем d:

 $$ d=7-3=4 $$

Разность прогрессии нашли, она равна 4.

Теперь сумма первых 28 членов:

По формуле сумма n членов арифметической прогрессии равна:

 $$ S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n $$ или $$ S_n=\frac{2\cdot a_1+(n-1) \cdot d}{2}\cdot n $$

Можно пользоваться любой формулой результат будет одинаковый, но воспользуемся все таки первой, она проще для вычислений и 28 член прогрессии нам известен.

$$ S_{28}=\frac{3+111}{2} \cdot 28=114 \cdot 14=1596 $$

(можно убедиться, что вторая формула даст такой же результат).

Ответ: 

Сумма первых 28 членов прогрессии \( S_{28}=1596 \)

Первый член арифметической прогрессии равен 40 а десятый член-1030 определите разность этой прогрессии

а10=1030

а10=а1+9*d

1030=40+9*d

9*d=1030-40

9*d=990

d=990/9

d=110

d= -1030 - 40/9 = - 158,9 вот так. разность здесь находиться так: из последующего вычесть предыдущее и разделить на 9 (разность между коэфицентами)

1) найдите сумму 5 первых членов геометрической прогрессии, если b1 = 5; b3 = 80

2)найдите разность арифметической прогрессии -12; -14;.

3) найдите сумму всех нечетных натуральных чисел от 37 до 113 включительно.

4) Между числами -10 и -810 вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными образовали геометрическую прогрессию.

Даны арифметическая прогрессия, в которой разность отлична от 0, и геометрическая прогрессия. Известно, что 1-й, 2-й и 10-й члены арифметической прогрессии совпадают, соответственно, с 2-м, 5-м и 8-м членами геометрической прогрессии. Найдите отношение суммы 8 первых членов геометрической прогрессии к сумме 8 первых членов арифметической прогрессии.

1. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с 15-го по 30-й включительно, если а 1 = 9 и а 26 = 44
.2. Последовательность Yn – арифме­тическая прогрессия. Докажите, чтоy 17 + y 5 = y 10 + y 12.
3. Найдите сумму всех нечётных натуральных чисел от 40 до 160 включительно.
4. Запишите формулу n – го члена арифметической прогрессии Xn, если х1= 32, а разность равна - 2,7. Найдите первый отрицательный член этой прогрессии?