разность членов арифметической прогрессии - страница 5
1. Дана арифметическая прогрессия 16,9; 15,6;. Найдите 11-й член и разность прогрессии.
2. Найдите 1-ый член арифметической прогрессии, если a3 = - 2,3; a8 = - 0,8
Решение: 1. Дано: a1=16.9, a2=15.6
Найти: a11
Решение:
Разность: d=a2-a1=15.6-16.9=-1.3
Член прогрессии:
a11=a1+10d=3.9
Ответ: 3,9.
2. Дано: a3=-2.3, a8=-0.8
Найти: a1.
Решение:
Разность: d=(an-am)/(n-m)=(a8-a3)/(8-3)=(-0.2+2.3)/5=0.3
Первый член прогрессии:
a1=an-(n-1)d=a3-2d=-2.9
Ответ: -2,9
Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна 5,3,a1=-2. Найдите сумму первых 9 ее членов
Решение: Сумма первых 9 членов арифметической прогрессии равна
2*(-2)+5,3*(9-1)/2 умножить на 9=172,8
Формула:Sn=2а первых +d*(n-1) *n
2
где:a-первое это первый член арифм. прогрессии
d-разность прогрессии
n-количество членов арифм. прогр.Дана арифметическая прогрессия, сумма её девяти первых членов равна 225. Найдите шестнадцатый член прогрессии, если её разность равна 3.
Решение: Вот примерно решение представляем сумму 9 первых по формуле суммы так найдем а1 ну а дальше также по формуле находим а16
Разность арифметической прогрессии равна 4. Сумма семи первых членов равна 651. Найдите первый член этой прогрессии.
Решение: У нас есть формула суммы арифметической прогрессии вида$$ S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n $$
В эту формулу мы подставляем данные нам значения и находим первый член этой прогрессии. с уже подставленными в формулу значениями.
Расписано:
х+х+4+х+4+4+х+4+4+4+х+4+4+4+4+х+4+4+4+4+4+х+4+4+4+4+4+4= 651
7x+84=651
7x=567
х=81
Ответ: 81
В арифметической прогрессии сумма первого и девятого членов равна 64. Найдите разность между суммой ее 9 первых членов и пятым членом прогрессии.
Решение: a1+a9 = 64a9 =a1 + (9-1) * d, a9 = a1 +8d, подставим в первую строчку вместо a 9
a1 + a1 + 8d =64
2a1 + 8d =64, разделим обе части равенства на 2. a1 + 4d =32
Найдем сумму девяти членов:
S9 = (2a1 + 8d) \2 *9= 64\2 * 9 =288
Найдем пятый член:
a5 = a1 +(5-1) * d = a1 + 4 d =32
Найдем разность между суммой девяти членов и пятым членом:
S9 - a5 = 288-32 = 256.
Ответ. 256
В арифметической прогрессии сумма шестого и десятого членов равна 5,9 а разность двенадцатого и четвёртого членов равна 2.Найдите двадцать пятый член этой прогрессии.
Решение: Распишем шестой, десятый, двенадцатый, четвертый члены арифметической прогрессии:$$ a_{6}=a_{1}+5d $$
$$ a_{10}=a_{1}+9d $$
$$ a_{12}=a_{1}+11d $$
$$ a_{4}=a_{1}+3d $$
Составим систему и подставим данные:
$$ \left \{ a_{6}+a_{10}=5,9 \atop a_{12}-a_{4}=2 \right.\\ \left \{ a_{1}+5d+a_{1}+9d=5,9 \atop a_{1}+11d-a_{1}-3d=2 \right. $$
Из второго уравнения найдём d:
11d-3d=2
8d=2
d=2/8=1/4
Подставим значение d в первое уравнение и найдём a1:
$$ 2a_{1}+14*1/4=5,9 $$
$$ 2a_{1}+3,5=5,9 $$
$$ 2a_{1}=2,4 $$
$$ a_{1}=2,4/2=1,2 $$
Запишем формулу 25-ого члена арифметической прогрессии:
$$ a_{25}=a_{1}+24d $$
Подставим данные:
$$ a_{25}=1,2+24*1/4=1,2+6=7,2 $$
Ответ:7,2
Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 295, а сумма следующих ее десяти равна 95. Определите разность этой прогрессии?
Решение: S₁₋₁₀ = 5(2a₁ + 9d) 5(2a₁+9d) = 295 2a₁+9d=59S₁-₂₀ = 10(2a₁ + 19d) 10(2a₁+19d) = 390 2a₁+19d=39
10d=-20
d=-2
{a1+a2+a3+a4.a10=295
{a11+a12+a13+a14.a20=95
{ 10a1+45d=295
{ 10a1+145d=95
{295-45d=95-145d
{200=45d-145d
{200=-100d
{d=-2
{a1 =77/2
Проверим
S10=(2*77/2-2*9)*5=295
В арифметической прогрессии 26членов, и разность это прогрессии равна 15. Сумма всех членов прогрессии в 5 раз больше, чем сумма членов, стоящих на нечётных местах. Найдите первый член этой прогрессии.
Решение: Первая арифметическая прогрессия:
$$ (a_{n} ) : $$
$$ a_{1}- $$? d=15
$$ S _{26} = \frac{2a _{1}+15*25 }{2} *26 $$
Вторая арифметическая прогрессия:
$$ b_{1} = a_{1} $$
d=30
$$ S’_{13} = \frac{2 a_{1} +30*12}{2} *13 $$
$$ S_{26}=5* S’_{13} $$
$$ \frac{2 a_{1}+15*25 }{2} *26=5* \frac{2 a_{1}+30*12 }{2}*13 $$
$$ 2*(2 a_{1} +25*15)=5*(2 a_{1} +30*12) $$
4a + 750 = 10a +1800
6a = 750 - 1800
6a = - 1050
a = - 175 Ответ: $$ a_{1}= - 175 $$Даны арифметическая и геометрическая прогрессии. Сумма их первых членов равна –3, сумма третьих членов равна 1, а сумма пятых членов равна 5. Найдите разность арифметической прогрессии.
Решение: $$ a_{1}+b_{1}=-3\\ a_{3}+b_{3}=1\\ a_{5}+b_{5}=5\\ \\ a_{1}+b_{1}=-3\\ a_{1}+2d+b_{1}q^2=1\\ a_{1}+4d+b_{1}q^4=5\\ \\ -3-b_{1}+2d+b_{1}q^2=1\\ -3-b_{1}+4d+b_{1}q^4=5\\ \\ 2d+b_{1}q^2-b_{1}=4\\ 4d+b_{1}q^4-b_{1}=8\\ $$
$$ 2d+b_{1}q^2-b_{1}=4\\ 4d+b_{1}q^4-b_{1}=8\\ \\ 4d=2(4-b_{1}q^2+b_{1})\\ 4d=8-b_{1}q^4+b_{1}\\ \\ 8-2b_{1}q^2+2b_{1}=8-b_{1}q^4+b_{1}\\ -2b_{1}q^2+2b_{1}=b_{1}-b_{1}q^4\\ -2q^2+2=1-q^4\\ q^4-2q^2+1=0\\ q=1\\ $$
тогда очевидно что
$$ a_{1}+2d+b_{1}q^2=1\\ a_{1}+2d+b_{1}=1\\ a_{1}+4d+b_{1}=5\\ \\ \\ 1-a_{1}-2d=5-a_{1}-4d\\ 1-2d=5-4d\\ -4=-2d\\ d=2 $$
Ответ разность именно арифметической равна 2Сумма первых 8 членов арифметической прогрессии равна 52, а разность между 4-м и 6-м членами равна 6. Найдите первый член этой прогрессии
Решение: Sn=((a1+an)/2)*nan=a1+(n-1)*d ⇒
S8=((a1+a8)/2)*8=((a1+a1+(8-1)*d)/2)*8=(2a1+7*d)*4;
a4=a1+(4-1)*d;
a6=a1+(6-1)*d;
a6-a4=(a1+3d)-(a1+5d)=a1+3d-a1-5d=-2d ⇒
-2d=6 ⇒d=-3
Пдставим в формулу суммы 8 членов прогрессии S8=(2a1+7*d)*4=52
значение d:
(2a1+7*(-3))*4=52
(2a1-21)*4=52
8a1-84=52
8a1=52+84
8a1=136
a1=17
Ответ: а1=17
