первообразная »

найдите первообразную для функции - страница 6

  • Вычислить первообразную от данной в интеграле функции \( \int^{\sqrt2}_{0}{\sqrt{2-x^2}}dx\)


    Решение: Обратим внимание что ОДЗ: х∈[-√2;√2]
    Тогда можем сделаем замену: х=√2·sinω, где ω=arcsin(x/√2) и dx=√2·cosω dω
    Получим: √(2-2sin²ω)=√(2(1-sin²ω))=√(2cos²ω)=√2·cosω
    а в итоге с заменой на dx будет: 2cos²ω используя формулу понижения степени получим: 2cos²ω=cos2ω+1
    по правилу: интеграл суммы равен сумме интегралов получим:
    {cos2ω dω+{1 dω
    Для первого интеграла сделаем замену: 2ω=s и ds=2dω
    Получим: {(coss)/2 ds+{1 dω
    В итоге найдем интеграл (первообразную):
    (sins)/2+ω+C
    Вернем замену s=2ω
    Получим после применения формулы двойного аргумента: sinω·cosω+ω+C
    Вернем замену: ω=arcsin(x/√2)
    В конце концов получим: 1/2·(√(2-x²))·x+arcsin(x/√2) +C

<< < 456