найти значение »
при каком значении параметра
Найдите все значения параметра, при каждом из которых на интервале существует хотя бы одно число, не удовлетворяющее неравенству $$ a+ \sqrt{ a^{2}-2ax+ x^{2} } \leq 3x- x^{2} $$
Решение: 1) Фигурные скобки поставлены правильно, так как решение неравенства
$$ |x| \leq b $$ можно найти из двойного неравенства $$ -b \leq x \leq b $$ ,которое записывается в виде системы
$$ \left \{ {{x \leq b} \atop {x \geq -b}} \right. $$.
Действительно,
$$ |x| \leq b\\a)\; x \geq 0\; ,\; x \leq b\\b)\; x<0\; ,\; -x \leq b\; ,\; x \geq -b\\--------(-b)///////////////(b)-------- $$ $$ \; -b\leq x\leq b $$
Пересечением первого и второго множеств является промежуток между (-b) и (b).
А вот, если бы неравенство было обратное, то есть
|x|>b, то здесь не было бы пересечения множеств, а было бы объединение:
$$ |x|>b\\a)\; x \geq 0\; ,\; x>b\\b)\; x<0\; ,\; -x>b\; ,\; x<-b\\\; /////////////(-b)----------(b)/////////////\\\; x>b \; \; ili\; \; x<-b $$
В этой задаче неравенство получается более сложное, но принцип тот же: если |A|система {A>-B , A
Тогда решением будет интервал 0<=x<=2. Но это изменение х на числовой оси. На плоскости же равенства х=0 или х=2 геометрически представляют из себя
прямые, перпендикулярные оси ОХ, а значит, это двойное неравенство - часть плоскости, заключённая между двумя прямыми х=0 и х=2 ( пересечение множеств х>=0 и x<=2).
Найдите все значения параметра а , для каждого из которых существует хотя бы одна пара чисел х и y, удовлетворяющих неравенству
$$ 5|x-2| + 3|x+a| ≤ \sqrt{4- y^{2} } + 7 $$
Решение: Если неравенство справедливо при некотором y ≠ 0, то оно будет удовлетворяться при y = 0, так как $$ \sqrt{4-y^2}+7\leqslant\sqrt{4-0}+7 $$. Ну а если неравенство нарушается при всех y, то оно неверно и при y = 0 тоже.
Поэтому можно проверять условие при y = 0. Задача тогда переписывается в виде:
"Найдите все значения параметра а , для каждого из которых существует хотя бы одно число х, удовлетворяющее неравенству
$$ 5|x-2|+3|x+a|\leqslant 9 $$"
Заметим, что можно переформулировать неравенство как
$$ \min\limits_{x\in\mathbf R}5|x-2|+3|x+a|\leqslant 9 $$
Представим себе график функции y(x) = 5|x - 2| + 3|x + a|. Модули обнуляются при x = 2 и x = -a. При отдалении влево от min(2, -a) и вправо от max(2, -a) функция возрастает, а при min(2, -a) <= x <= max(2, -a) функция линейная.
Минимум на промежутке (-infty, min(2, -a)] достигается в точке x = min(2, -a).
Минимум на промежутке [max(2, -a), infty) достигается в точке x = max(2, -a)
Минимум на отрезке [min(2, -a), max(2, -a)] достигается в одном из концов (на этом отрезке функция линейна)
Таким образом,
$$ \min\limits_{x\in\mathbf R}y(x)=\min(y(-a),y(2)) $$
Нам нужно, чтобы выполнялось неравенство min y(x) <= 9. С учетом последнего наблюдения это неравенство равносильно совокупности
$$ \left[\begin{array}{l} y(2)\leqslant9\\ y(-a)\leqslant9 \end{array}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin{array}{l} 3|a+2|\leqslant9\\ 5|a+2|\leqslant9 \end{array}\right. \quad\Leftrightarrow\quad |a+2|\leqslant 3\quad\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow \boxed{-5\leqslant a\leqslant 1} $$
Ответ. -5 <= a <= 1.Укажите все значения параметра м при каждом из которых любое число является решением неравенства x^2-mx+25>0
Решение: X²-mx+25>0
y=x²-mx+25 - парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. коэффициент при х² равен 1(>0). По условию, при любом значении х∈R верно неравенство х²-mx+25 >0. Поэтому дискриминант должен быть меньше нуля. Найдём значения параметра m, при котором D<0.
D=(-m)²-4*1*25=m²-100=(m-10)(m+10)
D<0
(m-10)(m+10)<0
+ - +
___________ -10______________10__________
m ∈ (-10;10)Узнайте значение параметра m, для которого mz²-2(2+i)z-1+2i=0 имеет один корень, принадлежащий R.
Решение: Mz²-2(2+i)z-1+2i=0
a=m, b=-2(2+i), c=-1+2i, D=b²-4ac=0
(-2(2+i))²-4m(-1+2i)=0
4(4+4i-1)+4m-8mi=0 /:4
3+4i+m-2mi=0
m(1-2i)=-3-4i
m=(-3-4i)/(1-2i)
m=(-3-4i)(1+2i)/(1-2i)(1+2i)
m=(-3-6i-4i+8)/(1+4)
m=(5-10i)/5
m=1-2i
Решение в приложении.
Найдите все значения параметра а, при которых минимальное значение функции f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2 на отрезке х принадлежит 0;2 включительно и уравнение равно 3
Решение: F’(x)=8x-4a
x=a/2 0<=a/2<=2
0<=a<=4
f(a/2)=4*1/4-4a^2/2+a^2-2a+2=3-a^2-2a=3
a^2+2a=0 a=0 a=2Найдите все значения параметра а ,при которых минимальное значение функции f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2 на отрезке х принадлежит 0;2 включительно и уравнение равно 3
Уравнение f(x)=4x^2-4ax+a^2-2a+2 является параболой
Найдем значение х при котором парабола имеет минимальное значение
y’(x) = 8x-4a
y’(x) = 0 или 8x-4a =0
8х = 4а
х = (1/2)a
Минимум параболы вида ax^2+bx+с
можно найти по формуле
x = -b/(2a)
В нашем случае 4x^2-4ax+a^2-2a+2
a=4 b =-4а
x = 4a/(2*4) =(1/2)a
Так как отрезок минимума ограничен отрезком от 0 до 2 то можно записать неравенство
0 < х < 2 или 0 < (1/2)a < 2
0 < a < 4
Теперь осталось найти само значение а при котором минимум функции равен 3
Подставим значение х=(1/2)a в уравнение функции
y(a/2) = 4*a^2/4 - 4a*a/2 +a^2-2a+2 = a^2 - 2a^2 + a^2 - 2a + 2 = -2a + 2
-2a + 2 = 3
2a = -1
a =-1/2 =-0,5( не подходит так как0 < a < 4)
Поэтому решения нетНайдите все значения m, при которых выражение: а) x^3 + mx + 3, где x (принадлежит) Z, кратно 3;
б) x^2 + mx - 4, где x (принадлежит) Z, является четным числом.
Решение: А) используя метод математической индукции должны показать
что (x+1)^3+(x+1)m+3 кратно 3
x^3+mx+3 кратно 3 по предположению
если 1+m+3x+3 кратно 3 по индукции предположение верно
но 3х+3 кратно 3. значит нада что бы 1+m было кратон 3
m=3k-1 k-целое
б) (x+1)^2-4+m(x+1)=(x^2-4+mx)+2x+1+m
1+m-четное m=2k-1При каких значениях параметра a многочлен (a²-4)x⁴-2x³+(2a-1)x-4 будет:
а) приведенным многочленом
б) многочленом четвертой степени
в) многочленом третьей степени
г) принимать одинаковые значения в точке x=1 и x=-1
Решение: $$ p(x)=(a^2-4)x^4-2x^3+(2a-1)x-4 $$
а) многочлен является приведенным, если его старший коэффициент равен единице:
$$ a^2-4=1 \\ a^2=5 \\ a=\pm \sqrt5 $$
б) данный многочлен будет многочленом четвертой степени, если коэффициент при х⁴ не будет нулевым:
$$ a^2-4 = 0 \\\ a^2 = 4 \\\ a = \pm2 $$
в) коэффициент при х³ не равен нулю, поэтому данный многочлен будет многочленом третьей степени, если коэффициент при х⁴ будет равен нулю:
$$ a^2-4=0 \\\ a^2=4 \\\ a=\pm2 $$
г) найдем значения многочлена в точке х=1 и х=-1 и приравняем их:
$$ (a^2-4)\cdot1^4-2\cdot1^3+(2a-1)\cdot1-4= \\\ =(a^2-4)\cdot(-1)^4-2\cdot(-1)^3+(2a-1)\cdot(-1)-4 \\\ (a^2-4)-2+(2a-1)-4=(a^2-4)+2-(2a-1)-4 \\\ -2+2a-1=2-2a+1 \\\ 4a=6 \\\ a=1.5 $$
При каких значениях параметра a многочлен f(x)=(x^2-(3a-4)x-12a)(x^2-(a-3)x-3a)(x-4) имеет кратные корни. Найди эти к-ни
Решение: Корни кратные тогда и только тогда когда производные каждого многочлена то есть первая, вторая, третяя. будут равны 0
$$ f(x)=(x^2-(3a-4)x-12a)(x^2-(a-3)x-3a)(x-4) \\ f’(x)=5x^4+12x^3-16ax^3+9a^2*x^2-36ax^2-48x^2+18a^2x+128ax-96x-48a^2+192\\ \\. f’’’’(x)=120x-96a+72=0\\ x=\frac{96a-72}{120}\\ $$
ставим в начальное функцию и решим уравнение
$$ (x^2-(3a-4)x-12a)(x^2-(a-3)x-3a)(x-4) =0\\\\ $$
получим
$$ a=-\frac{17}{4}\\ a=-3\\ a=-\frac{3}{11}\\ a=\frac{23}{4} $$
