найти значение функции
Найти значение функции, если аргумент равен: 1) у=4х - 2 у = 0, -4
2) у = (2х - 3) * х
3) у = х - 1/х^{2} + 5 / - дробь ^{2} - степень 4) у = х + 2/х^{2} + 5
Решение: 1)4x-2=0
4x=2
x=2/4
x=1/2
4x-2=-4
4x=-4+2=-2
x=-2/4
x=-1/2
2)x(2x-3)=0
x1=0
2x2-3=0
2x2=3|:2
x2=1,5
x(2x-3)=-4
2x²-3x+4=0
D=(-3)²-4*2*4=9-32=-23-решений нет.
3)x-1/х²+5=0 |*x² не=0 х не=0 х-1+5х²=0 D=1²-4*5*(-1)=1+20=21=√21 x1=(-1+√21)/2*5 x1=(√21-1)/10 x2=(-1-√21)/10 x-1/x²+5=-4 x-1+5x²=-4x² 9x²+x-1=0 D=1²-4*9*(-1)=1+36=37=√37 x1=(-1+√37)/18 x2=(-1-√37)/18 4)x+2/x²+5=0|* x² не=0 х не =0 х+2+5х²=0 D=1²-4*5*2=1-40=-39-нет решения D<0 х+2+5х²=-4х² х+2+9х²=0 D=1²-4*9*2=1-72=-71-решений нет D<0Найти значение функции у в точке максимума \( y=-x*e ^{1-2x^2} \)
Решение: $$ y=-xe ^{1-2x^2} \\ y’=-e^{1-2x^2}+(-x \cdot e^{1-2x^2} \cdot (-4x)) \\ y’=-e^{1-2x^2}+4x^2e^{1-2x^2} \\ y’=e^{1-2x^2}(4x^2-1) \\ e^{1-2x^2}({4x^2}-1)=0 \\ 4x^2-1=0 \\ 4x^2=1 \\ x^2=\frac{1}{4} \\ x=-\frac{1}{2} \vee x=\frac{1}{2} \\ \forall_{x\in(-\infty,-\frac{1}{2})} \\ y’>0 \Rightarrow y earrow \\ \forall_{x\in(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})} \\ y’<0 \Rightarrow y \searrow $$
$$ y_{max}=y(-\frac{1}{2}) \\ y_{max}=-(-\frac{1}{2})e ^{1-2(-\frac{1}{2})^2} \\ y_{max}=\frac{1}{2}e ^{1-2\cdot\frac{1}{4}} \\ y_{max}=\frac{1}{2}e ^{1-\frac{1}{2}} \\ y_{max}=\frac{1}{2}e ^{\frac{1}{2}} \\ y_{max}=\frac{\sqrt{e}}{2} $$Найти значение функции y=11+48x-x в кубе на отрезке -4;4
Решение: $$ \bf y=11+48x-x ^3 \\ y’=48-3x^2 \\ 48-3x^2=0 \\16-x^2=0 \\x=\pm4\\y(-4)=-117\quad(min) \\y(4)=139\quad(max) $$Найдем производную этой функции $$ y’=48-3x^2 $$
Приравняем ее к нулю и найдем критические точки.
$$ 48-3x^2=0\\ 3(16-x^2)=0\\ 3(4-x)(4+x)=0\\ x=б4 $$
Эти точки входят в наш данный отрезок.
Найдем теперь значение функции в точках -4 и 4.
$$ y(-4)=11+48*(-4)-(-4)^3=11-192+64=-117\\ y(4)=11+48*4-4^3=11+192-64=139 $$
Наименьшее при х=-4, у=-245
Наибольшее при х=4, у = 139.
Найти значение функции \( 5^{log_5*(X+4)-log_\frac{1}{5}*(\frac{X^3-9X}{X+4})} \) в точке максимума.
Решение: $$ \displaystyle y=5^{log_5{(x+4)-log_{ \frac{1}{5}}( \frac{x^3-9x}{x+4})}} $$
ОДЗ:
$$ \displaystyle \left \{ {{ \frac{x^3-9x}{x+4} > 0 } \atop {x+4 > 0}} \right. $$
$$ \left \{ {{x > -4} \atop {x:(-oo;-4)(-3;0)(3;+oo)}} \right. \\ x:(-3;0)(3;+oo) $$
преобразуем показатель степени
$$ \displaystyle log_5(x+4)-log_{5^{-1}}( \frac{x^3-9x}{x+4})=log_5(x+4)+log_5( \frac{x^3-9x}{x+4})= $$
$$ \displaystyle =log_5(x+4)* \frac{x^3-9x}{x+4}=log_5(x^3-9x) $$
$$ \displaystyle 5^{log_5(x^3-9x)}=x^3-9x $$
Найдем производную
$$ \displaystyle (x^3-9x)`=3x^2-9 $$
Найдем критические точки
$$ \displaystyle 3x^2-9=0 \\ 3x^2=9 \\ x^2=3 \\ x_1= \sqrt{3} \\ x_2=- \sqrt{3} $$
___+_________-___________+____
-√3 √3
Значит функция на промежутке (-3;0) имеет максимум х=-√3
а на промежутке (3;+oo), бесконечно возрастает
А значит найти максимум функции на всей области определения невозможно
значение в y(-√3)=6√3
5^[log(5)(x+4)*log(5)[(x³-9x)/(x+4)]]=5^log(5)[(x+4)(x³-9x)/(x+4)]= =5^log(5)(x³-9x)=x³-9x,x≠-4 ОДЗ {x+4>0 {x(x-3)(x+3)/(x+4)>0 + _ + _ + ---------(-4)-----------(-3)----------(0)------------(3)----------------- x<-4 U -33 x∈(-3;0) U (3;∞) (x³-9x)`=3x²-9=3(x-√3)(x+√3)=0 + _ + ---------------(-√3)--------------(√3)---------- max (-√3)³-9*(-√3)=-3√3+9√3=6√3 значение функции в точке максимумаТема "наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке".
1) Найти наибольшее значение функции: у=2х²-15х²+24х+3 на отрезке [2;3]
2) найти наименьшее значение функции: у=2х³+3х²+2 на отрезке [-2;1]
3) найти наименьшее значение функции: у= -х³+3х²+4 на отрезке [-3;3]
4) найти наибольшее значение функции: у=х³-2х²+х-3 на отрезке [1/2;2]
Решение: ...у=2х³+3х²+2 [-2;1]
1) у(производная)=6х²+6х
2) 6х²+6х=0
6х(х+1)=0
х=0 х=-1
3) у(0)=2
у(1)=7
у(-2)=8
у(1)=7
Ответ: 2
3) у=х³-2х²+х-3 [1/2;2]
1)у( производная)=3х²-4х+1
2)3х²-4х+1=0
Д=16-12=√4=2
х1=1 х2=1/3
3) у(1)=-3
у(1/2)=-2.875
у(2)=-1
ответ: -1
у=-х³+3х²+4 [-3;3]
1)у(производная)=-3х²+6х
2)-3х²+6х=0
3х²-6х=0
3х(х-2)=0
х=0 х=2
3) у(0)=4
у(2)=8
у(-3)=58
у(3)=4
ответ:4f(x) = x^3-6x^2+1 на [-2;1] Найти наибольшое и наименьшие значение функции.
Решение: Стрелочка вверх степень1. D(f)= [-2;1]
2.F’(x)=3x^2-12x
3.F’(x)=0
3x^2-12x=0
x=0
x=4
критические точки 4 и 0
4.0є[-2;1]
4 не пренадлежит промежутку [-2;1]
не пренадлежит промежутку пишется как зачёркнутое Є
5. F(-2)=(-8)-12+1=-19
F(0)=0-0+1=1
F(1)=1-6+1=-4
Ответ:
max F(x)=F(-2)=-19
min F(x)=F(0)=1
Найти наибольшее наименьшее значение функции f(x)=x^3-9x^2+24x-1
Решение: f(х)=x^3-9x^2+24x-1.Найдем производную:
f`(х)=3х^2 -18х+24
Разделю все коэффициенты на 3,получится:
f`(х)=х^2-6х+8
D=(-6)^2-4 х(умножить) на 1 (х)умножить на 8 =36-32=4=2 ^2
х1=6-2/2=2
х2=6+2/2=4
уmax=2
ymin=4
Подставим найденные значения в начальное уравнение
у(2)=8-36+48-1=19
у(4)= 64-144+96-1=15
Ответ:унаиб.=19,унаим.=15
найти наибольшее наименьшее значение функции f(x)=x^3-9x^2+24x-1 на отрезке [3;5]
Решение: f(x)=x^3-9x^2+24x-1f ’ (x) = 3x^2-18x+24
крит. точки
3x^2-18x+24 = 0
x^2 -6x + 8=0
D=36-32=4
x= (6+2)/2 = 4∈ [3;5]
x= (6-2)/2 = 2∉ [3;5]
y(3) = 27-81+72-1 = 17
y(4) = 64-144+96-1 = 15 ----> ymin
y(5) = 19 ----> ymax
f’(x)=3x^2-18x+24
f’=0 x^2-6x+8=0
x1=2 x2=4
x1-не принадлежит отрезку
f(3)=27-81+72-1=17
f(4)=64-144+96-1=15 минимум
f(5)=125-225+120-1=19 максимум
Найти наибольшее,наименьшее значение функции на отрезке y=2x^3+6x^2 [-1;1]
Решение: Решение
Находим первую производную функции:
y’ = 6x² + 12x
или
y’ = 6x*(x+2)
Приравниваем ее к нулю:
6x*(x+2) = 0
6x = 0
x₁ = 0
x + 2 = 0
x₂ = - 2
Вычисляем значения функции на концах отрезка
f(- 2) = 8
f(0) = 0
f(- 1) = 4
f(1) = 8
Ответ: fmin = 0, fmax = 8Найти наибольшее наименьшее значение функции на отрезке: y=x^5 - 5x^4 + 5x^3 + 3 на отрезке [-1;2]
Решение: Находим первую производную функции:
y’ = 5x⁴ - 20x³ + 15x²
или
y’ = 5x²(x² - 4x + 3)
Приравниваем ее к нулю:
5x²(x² - 4x + 3) = 0
x₁ = 0
x₂ = 1
x₃ = 3
Вычисляем значения функции на концах отрезка
f(0) = 3
f(1) = 4
f(3) = -2 4
f(-1) = - 8
f(2) = - 5
Ответ: fmin = - 8, fmax = 4
