найти значение »

найти наибольшее и наименьшее значение

  • Найти наибольшее и наименьшее значение функцииf(x) = 2x^9 - 7x^6 - x^3 - 6 на [ -2 ; 1 ]


    Решение: Находим производную, приравниваем к нулю, решаем получившееся уравнение.
    18х^8 -42x^5 - 3x^2=0
     x^2(18x^6 - 42x^3 -3) = 0
    x = 0 или 18x^6 - 42x^3 -3=0
      6x^6 - 14x^3 -1 =0
       x^3 =t
     6t^2 -14t -1 = 0 Корни этого уравнения не входят в указанный промежуток. Остаётся вычислить значения функции в точках х = 0, -2,1
    f(0)= -6(наибольшее значение)
    f(-2) = 2·(-2)^9 -7·(-2)^6 -(-2)^3 -6 = -1024 +448+8 -6 = -574 (Наименьшее значение)
    f(1) = 2 - 7 -1 -6 = -12

  • Найти наибольшее и наименьшее значение функции F(x)=x^5+2x^3+2x-10 на отрезке [-1;1]


    Решение: Y = (x^5)+2*(x^3)+(2*x)-10 [-1;1]
    Находим первую производную функции:
    y’ = 5*(x^4) + 6*(x^2) + 2
    Приравниваем ее к нулю:
    5*(x^4) + 6*(x^2) + 2 = 0
    D = 36 - 4*5*2 - 4 < 0 
    Глобальных экстремумов нет
    Находим стационарные точки:
    Вычисляем значения функции на концах отрезка
    f(-1) = -15
    f(1) = -5
    Ответ:
    Имеются только локальные экстремумы (на заданном интервале)
    fmin = -15, fmax = -5


  • Найти наибольшее и наименьшее значение функции F ( x ) = 6x^2-x^3 [-1;5]


    Решение:

    Находим
     F`(x)=12x-3x²
    Приравниваем
    F`(x)=0
    12x-3x²=0
    3x(4-x)=0
    x=0  или  х=4
    Обе точки принадлежат указанному отрезку.
    Располагаем точки отрезка на числовой прямой и находим знаки производной на каждом отрезке:
       -  +  -
    [-1]------(0)---------------(4)------[5]
       min  max
    F(0)=6·0²-0³=0 -  наименьшее значение функции F(x) на [-1;5]
    F(4)=6·4²-4³ =32  -  наибольшее значение функции F(x) на [-1;5]


  • Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x+1 / x^2+3 на отрезке {-4;2}


    Решение: $$ y’ = \frac{x^2 + 3 - 2x^2 - 2x}{(x^ 2 + 3)^ 2} = \frac{4-(x + 1)^2}{(x^2 + 3)^2} $$

      + + - + + 
    -------------------[----------------------|---------------|--------------------]---------------------->x
      возрастает -4 возрастает -3 убывает 1 возрастает 2 возрастает
    y(1) = 0.5
    y(-4) = -3/19
    Значит наименьшее значение = -3/19
    y(-3) = -1/6
    y(2) = 3/7
    Значит наибольшее значение = 3/7

  • Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=3x^4-4x^3+1 на отрезке [0;3]


    Решение: Y = 3*(x^4) - 4*(x^3) + 1 
    Решение
    Находим первую производную функции:
    y’ = 12x3-12x2
    или
    y’ = 12x2(x-1)
    Приравниваем ее к нулю:
    12x2(x-1) = 0
    x1 = 0
    x2 = 1
    Вычисляем значения функции 
    f(0) = 1
    f(1) = 0
    Ответ:
    fmin = 0, fmax = 1
    Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
    y’’ = 36x2-24x
    или
    y’’ = 12x(3x-2)
    Вычисляем:
    y’’(0) = 0=0 - значит точка x = 0 точка перегиба функции.
    y’’(1) = 12>0 - значит точка x = 1 точка минимума функции.

1 2 3 > >>