найдите наименьшее значение y
Найдите наименьшее значение функции F(x)´=2^x^2+2x -2 минус 2 не входит в степень
Решение: Находим точки экстремума. Для этого вычисляем производную и приравниваем ее к 0
$$ F’=(2^{x^2+2x-2}-2)’=2^{x^2+2x-2}*ln2*(x^2+2x-2)’= \\ =2^{x^2+2x-2}*ln2*(2x+2) \\2^{x^2+2x-2}*ln2*(2x+2)=0 $$
Поскольку ни 2 в любой степени, ни ln2 нулю не равны, то
2x+2=0
x=-1
Знак производной зависит тоже только от множителя (2x+2)
При x<-1 производная отрицательна, при x>-1 положительна.
Значит, в точке х=-1 имеется минимум
$$ F_{min}=2^{(-1)^2+2(-1)-2}-2=2^{-3}-2= \frac{1}{8} -2=-1 \frac{7}{8} $$
Ответ:
$$ -1 \frac{7}{8} $$
Найдите наименьшее значение функции у=7х-7ln(x+5)+3,8 на отрезке [-4,9; 0]
Решение:Для того чтобы найти наименьшее значение функции на каком то промежутке, для начала нужно найти значение функции на концах данного нам отрезка,т.е мы ищем y(-4,9) и y(0), в данном случае нам делать этого не нужно,т.к у нас функция содержит натуральный логариф, а ln0,1 и ln5 без помощи калькулятора мы вычислить не сможем. Так, мы сразу ищем производную функции: y’=7- 7/(x+5), после того,как нашли производную мы приравниваем ее к 0,чтобы найти стационарные точки: 7/(x+5)=7 7=7x+35 x=-4, теперь,после того, как нашли корни, мы подставляем значение х в данную нам изначально функцию: у=-28-7*0+3,8 у=-24,2(это и есть наше требуемое наименьшее значение функции. Ответ:-24,2
Y`=7-7/(x+5)=7(x+5-1)/(x+5)=7(x+4)/(x+5)=0
x+4=0⇒x=-4∈[-4,9;0]
y(-4,9)=7*(-4,9)-7ln(-4,9+5)+3,8=-34,3-7*(-2,3)+3,8=-14,4
y(-4)=-28-7*0+3,8=-24,2 min
y(0)=0-7*1,6+3,8=-7,4
Найдите наименьшее значение функции f(x)=x^3+3x^2-3 [-2;1]
Решение: f(x)=x³+3x²-3 на итервале [-2;1]Возьмем производную от функции f(x):
f’(x)=3x²+6x
Найдем нули функции-f’(x)=0:
3x²+6x=0
3x(x+2)=0
x₁=0;x₂=-2
Узнаем наименьшее значение функции:
f(0)=-3 => Отсюда видно что наитменьшее значение функции будет -3.
f(1)=1 Отв:-3
f(-2)=1
найдите наименьшее значение выражения и значения x и y при которых достигается|6x+5y+7|+|2x+3y+1|
Решение: По основному свойству модуля |a|≥0. Отсюда следует, что наименьшее значение, которое может принимать модуль - это 0. Также и сумма модулей может принимать наименьшее значение, равное 0. Для этого необходимо, чтобы каждое слагаемое было равно 0. В данном случае |6x+5y+7|+|2x+3y+1|=0 ⇒ |6x+5y+7|=0 и |2x+3y+1|=0 ⇒ 6x+5y+7=0 и 2x+3y+1=0. То есть, получили систему линейных уравнений:
$$ \left \{ {{6x+5y+7=0} \atop {2x+3y+1=0}} \right. $$
Решением данной системы уравнений является пара (-2;1).
Ответ: наименьшее значение выражения равно 0 при x=-2, y=1.Найдите наименьшее значение функции у=х^2-8х+7.
Решение: Так как ветви вверх то наименьшее значение в точке x-вершины.ПО формуле найдем x(в)=-b/2a
x=8/2=4
Ответ:4.
у = х² - 8х +7
Приравниваем к нолю
получаем, х² - 8х + 7 =0
Решаем через дискриминант
Д = 64 - 4 *7 = 36= 6²
Имеет два корня
х₁ = 1
х₂ = 7
Найдите наименьшее значение функции: y = 3 + 2 cosx
Решение: Решение.
Находим первую производную функции:
y’ = -2sin(x)
Приравниваем ее к нулю:
-2sin(x) = 0
x1 = 0
Вычисляем значения функции
f(0) = 5
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y’’ = -2cos(x)
Вычисляем:
y’’(0) = -2<0 - значит точка x = 0 точка максимума функции.
Найдите наименьшее значение функцииy=x-tgx+4 на отрезке [-П/4;0]
Решение: Находим первую производную функции:
y’ = -tg^2(x)
Приравниваем ее к нулю:
-tg^(x) = 0
x1 = 0
Вычисляем значения функции
f(0) = 4
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y’’ = -(2tg^2(x)+2)•tg(x)
или
y’’ = -2tg(x)/co^2(x)
Вычисляем:
y’’(0) = 0 - значит точка x = 0 точка перегиба функции.Найдите наименьшее значение ф-ции y=6x-x sqrt x на отрезке [9;49]
Решение: Находим производную: она равна 6-3/2*√х. приравниваем ее к нулю. решаем уравнение 6-3/2*√х=0, ответ х=16. чертим координатную прямую, обозначаем на ней 9, 16, 49. Берем число правее 16, например, 25 и подставляем в производную, получается отрицательное число, ставим в промежутке 16-49 знак минус, значит левее в промежутке 9-16 будет плюс. это значит, что до х=16 функция возрастает, а после 16 убывает, т.е. 16 - точка максимума. тогда наименьшее значение функция будет принимать в одном из концов промежутка. подставляем 9 и 49 в формулу функции у(9)=6*9-9*3=54-27=27, у(49)=6*49-49*7=294-343=-49. -49 меньше 27, поэтому ответ -49.Найдите наименьшее значение функции у=х^3+6х^2+9х+8 на отрезке [-2:0].
Решение: Y = x^3 + 6x^2 + 9x + 8 [-2;0]
Находим первую производную функции:
y’ = 3x2+12x+9
Приравниваем ее к нулю:
3x2+12x+9 = 0
x1 = -3
x2 = -1
Вычисляем значения функции
f(-3) = 8
f(-1) = 4
Ответ:
fmin = 4, fmax = 8
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y’’ = 6x+12
Вычисляем:
y’’(-3) = -6<0 - значит точка x = -3 точка максимума функции.
y’’(-1) = 6>0 - значит точка x = -1 точка минимума функции.Найдите наименьшее значение функции:y=x^2+400/2 на отрезке (-28;-2)
Решение: Решение
у = (х∧2 + 400) / 2 = (x∧2) / 2 + 400/2 = (x∧2) / 2 + 200
Производная равна: (2x/2) = x
Приравняем производную к нулю: х = 0 ∉ [-28;-2]
Найдём значения функции на концах промежутка [-28;-2]
y(-28) = ((-28)∧2) + 400) / 2 = (784 + 400) / 2 = 1184/2 = 592 max
y(-2) = ((-2)∧2) + 400) / 2 = (4 + 400) / 2 = 404 / 2 = 202 min
Наименьшее значение функции ymin (-2) = 202
