найти значение »

найти наименьшее значение выражения

  • Найти наименьшее значение выражения 4sin^2x+12sinx+tg^2y-6tgy


    Решение: $$ 4\sin^2(x)+12\sin(x)=(4\sin^2(x)+12\sin(x)+9)-9=\\=(2\sin(x)+3)^2-9 $$
    Наименьшее значение sin(x) равно -1
    Наименьшее значение 2*sin(x) равно -1 * 2 = -2
    Наименьшее значение 2*sin(x)+3 равно -2 + 3 = 1
    Наименьшее значение $$ (2\sin(x)+3)^2-9 $$ равно 1 - 9 = -8

    $$ \tan^2(y)-6\tan(y)=(\tan^2(y)-6\tan(y)+9)-9=\\=(\tan(y)-3)^2-9 $$
    Наименьшее значение $$ (\tan(y)-3)^2 $$ равно 0
    Наименьшее значение $$ (\tan(y)-3)^2-9 $$ равно 0 - 9 = -9

    Ответ: наименьшее значение всего выражения равно -8-9 = -17

  • Найти наименьшее значение выражения а^2 + 6ab + 10b^2 - 2b + 3.


    Решение: а^2 + 6ab + 10b^2 - 2b + 3 =
    (a^2 + 2*3*ab + 3*3*b^2) + (b^2 -2b + 1) +2 =
    (a+3b)^2 + (b-1)^2 +2
    Получишееся выражение всегда положительно, так как квадраты
    любых чисел - положительные числа. Поэтому минимум возможен,
    если обе скобки равны нулю, тогда получим b=1 (2-ая скобка
    обнуляется), a=-3 (Обнуляется первая скобка), а минимум равен
    (a+3b)^2 + (b-1)^2 +2 = (-3+3)^2 +(1-1)^2 +2 = 2

  • Найти наименьшее значение выражения, где x и y – любые действительные числа:
    4x^2+4y^2-8xy+6x-6y+4


    Решение: Нужно представить это выражение в виде функции:
    f = 4(x - y)^2 +6(x - y) + 4.
    Приняв х - у = z, получим квадратичную функцию - f = 4z^2 + 6z + 4.
    Для нахождения минимума этой функции необходимо взять  её производную и приравнять её нулю:
     8z + 6 = 0       z = -6 / 8 = -0.75.
    Минимум функции будет - 4*(-0,75)^2 + 6*(-0.75) + 4 = 1.75.
    Т.е. при любых значениях х и у при условии (х - у = 1,75) будет минимальное значение выражения 4x^2+4y^2-8xy+6x-6y+4, например:

    x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2,75
    y -5,75 -4,75 -3,75 -2,75 -1,75 -0,75 0,25 1,25 2,25 1
    f = 26,75 26,75 26,75 26,75 26,75 26,75 26,75 26,75 26,75 26,75



  • Найти наименьшее значение выражения и значения х и у при которых оно достигается |3x-4y-2|+|x-5y+3|


    Решение: 1) |3x - 4y -2 | + |x - 5y +3 | = 3х-4у-2+х-5у+3 = 4х-9у+1 при

    3x - 4y -2 > 0 и x - 5y +3 > 0

    2) |3x - 4y -2 | + |x - 5y +3 | = -3x+4y+2+x-5y+3 = -2x-y+5 при

    при 3x - 4y -2 < 0 и x - 5y +3 > 0

    3) |3x - 4y -2 | + |x - 5y +3 | = 3х-4у-2-х+5у-3 = 2x+y-5 при

    3x - 4y -2 > 0 и x - 5y +3 < 0

    4) |3x - 4y -2 | + |x - 5y +3 | = -3х+4у+2-х+5у-3 = -4х+9у-1при

    3x - 4y -2 < 0 и x - 5y +3 < 0

  • Найти наименьшее значение выражения:(7x-3y+10)^2+(5x-y-2)^2-3


    Решение: Z= (7x-3y+10)² + (5x-y-2)² -3
    Находим частные производные от z по x и по  y .
    dz/dx =7*2*(7x-3y+10) + 5*2*(5x-y-2) =
      =98x - 42y +140 +50x -10y -20 = 
      = 148x -52y +120
    dz/dy= -3*2*(7x-3y+10) -2(5x-y-2) =
      = -42x +18y -60 -10x +2y+4=
      = -52x +20y -56
    Приравниваем частные производные к нулю и решаем систему уравнений:
    148x - 52y +120 =0 *5
    52x -20y +56 =0 *13
    ---------------------------
    740x - 260 y +600=0 -
    676x -260y + 728 =0
    ----------------------------
    64x -128 =0 64x =128 -----> x=2
    52*2 -20y +56=0
    20y =160 ---> y = 8
    z(2;8) - принимает минимальное значение:
    (7*2-3*8 +10)² +(5*2-8-2)² -3= 0²+0² =0
    Ответ zmin = 0


  • Найти наименьшее значение выражения (b^4-b^2+1)/(b^2+1)


    Решение:

    Легко видеть (просто раскрыв скобки), что
    $$ \frac{b^4-b^2+1}{b^2+1}=\sqrt{3}\left(\frac{b^2+1}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{b^2+1}\right)-3=\sqrt{3}(t+\frac{1}{t})-3, $$
    где $$ t=(b^2+1)/\sqrt{3}. $$ Т.к. для любого t>0 верно неравенство t+1/t≥2, то наименьшее значение исходного выражения равно 2√3-3. Достигается оно при t=1, т.е при $$ b=\pm\sqrt{\sqrt{3}-1}. $$

  • Найти наименьшее значение выражения: \( (1+cos^22\alpha)*(1+tg^2\alpha)+4sin^2\alpha \)


    Решение: $$ (1+cos^22 \alpha )*(1+tg^2 \alpha )+4sin^2 \alpha =\\=(1+cos^22 \alpha )* \frac{1}{cos^2 \alpha } +4sin^2 \alpha = \\= \frac{1+cos^22 \alpha +4sin^2 \alpha cos^2 \alpha }{cos^2 \alpha } =\\= \frac{1+cos^22 \alpha +sin^22 \alpha }{cos^2 \alpha } =\\= \frac{2}{cos^2 \alpha } =2*(1+tg^2 \alpha )= \ 2+2tg^2 \alpha $$

    так как $$ tg^2 \alpha $$ есть число неотрицательное, т. е. $$ tg^2 \alpha \geq 0 $$, то минимальное значение принимается, когда выражение равно нулю, тогда
    $$ 2+2tg^2 \alpha =2+2*0=2 $$
     
    Ответ: $$ 2 $$

  • 1.Найти наименьшее значение выражения
    2а^2 - 2ab + b^2 - 2a + 2
    2.Найти наибольшее значение выражения
    2ab - a^2 - 2b^2 + 4b


    Решение: $$ 2a^2 - 2ab + b^2 - 2a + 2=(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2a+1)+1=\\=(a-b)^2+(a-1)^2+1 \geq 1 $$
    (Комментарий: поскольку квадрат любого числа неотриц., значит 
    (a-b)^2≥0
    (a-1)^2≥0
    значит их сумма ≥0
    минимальное значение достигается при равенстве нулю обеих скобок, т.е. наименьшее равно 1)

    $$ 2ab - a^2 - 2b^2 + 4b=-(a^2-2ab+b^2)-(b^2-4b+4)+4=\\=-(a-b)^2-(b-2)^2+4 \leq 4 $$
    Наибольшее 4

  • 1) Найти наименьшее значение выражения: |x-2| + |x| + 1
    2) Чему равно |x-y| + |2y-2x | если y = x-3


    Решение: Модуль - это числовое значение. Если число положительное, так и оставляете, если отрицательное, просто убираете минус.

    1) меньшее будет при х 0, 1 или 2. Подставь и посчитай - везде получится 3
    2) |x-y| + |2y-2x | если y = x-3
    |x-x-3| + |2(x-3)-2x |
    х убирается в обоих модулях:
    |-3|+ |2x-2x -6 |
    3 + 6 = 9

  • Нужно найти наименьшее значение выражения, если \( \frac{4x^{2}+6x+9}{3x} \), а x>0.


    Решение: Находим производную
    [(4x²+6x+9)`*3x-(3x)`*(4x²+6x+9)}/9x²=[(8x+6)*3x-3*(4x²+6x+9)}/9x²=
    (24x²+18x-12x²-18x-27)/9x²=(12x²-27)/9x²
    Приравниваем к 0,чтобы найти критические точки
    12x²-27=0, 9x²>0при любом х
    12х²=27
    х²=9/4
    х=-3/2 и х=3/2
    исследуем на интервалах
       +  _  +
    ----------------------------------------------
       -3/2  3/2
       max  min
    при х=3/2 выражение принимает наименьшее значение
    (4*9/4+6*3/2+9)/(3*3/2)=(9+9+9)*2/9=27*2/9=6

    решение прилагается

1 2 > >>