найти значение »

найти наименьшее значение выражения - страница 2

  • Найти наименьшее значение выражения (b^4-b^2+1)/(b^2+1)


    Решение:

    Легко видеть (просто раскрыв скобки), что
    $$ \frac{b^4-b^2+1}{b^2+1}=\sqrt{3}\left(\frac{b^2+1}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{b^2+1}\right)-3=\sqrt{3}(t+\frac{1}{t})-3, $$
    где $$ t=(b^2+1)/\sqrt{3}. $$ Т.к. для любого t>0 верно неравенство t+1/t≥2, то наименьшее значение исходного выражения равно 2√3-3. Достигается оно при t=1, т.е при $$ b=\pm\sqrt{\sqrt{3}-1}. $$

  • Найти наименьшее значение выражения: \( (1+cos^22\alpha)*(1+tg^2\alpha)+4sin^2\alpha \)


    Решение: $$ (1+cos^22 \alpha )*(1+tg^2 \alpha )+4sin^2 \alpha =\\=(1+cos^22 \alpha )* \frac{1}{cos^2 \alpha } +4sin^2 \alpha = \\= \frac{1+cos^22 \alpha +4sin^2 \alpha cos^2 \alpha }{cos^2 \alpha } =\\= \frac{1+cos^22 \alpha +sin^22 \alpha }{cos^2 \alpha } =\\= \frac{2}{cos^2 \alpha } =2*(1+tg^2 \alpha )= \ 2+2tg^2 \alpha $$

    так как $$ tg^2 \alpha $$ есть число неотрицательное, т. е. $$ tg^2 \alpha \geq 0 $$, то минимальное значение принимается, когда выражение равно нулю, тогда
    $$ 2+2tg^2 \alpha =2+2*0=2 $$
     
    Ответ: $$ 2 $$

  • 1.Найти наименьшее значение выражения
    2а^2 - 2ab + b^2 - 2a + 2
    2.Найти наибольшее значение выражения
    2ab - a^2 - 2b^2 + 4b


    Решение: $$ 2a^2 - 2ab + b^2 - 2a + 2=(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2a+1)+1=\\=(a-b)^2+(a-1)^2+1 \geq 1 $$
    (Комментарий: поскольку квадрат любого числа неотриц., значит 
    (a-b)^2≥0
    (a-1)^2≥0
    значит их сумма ≥0
    минимальное значение достигается при равенстве нулю обеих скобок, т.е. наименьшее равно 1)

    $$ 2ab - a^2 - 2b^2 + 4b=-(a^2-2ab+b^2)-(b^2-4b+4)+4=\\=-(a-b)^2-(b-2)^2+4 \leq 4 $$
    Наибольшее 4

  • 1) Найти наименьшее значение выражения: |x-2| + |x| + 1
    2) Чему равно |x-y| + |2y-2x | если y = x-3


    Решение: Модуль - это числовое значение. Если число положительное, так и оставляете, если отрицательное, просто убираете минус.

    1) меньшее будет при х 0, 1 или 2. Подставь и посчитай - везде получится 3
    2) |x-y| + |2y-2x | если y = x-3
    |x-x-3| + |2(x-3)-2x |
    х убирается в обоих модулях:
    |-3|+ |2x-2x -6 |
    3 + 6 = 9

  • Нужно найти наименьшее значение выражения, если \( \frac{4x^{2}+6x+9}{3x} \), а x>0.


    Решение: Находим производную
    [(4x²+6x+9)`*3x-(3x)`*(4x²+6x+9)}/9x²=[(8x+6)*3x-3*(4x²+6x+9)}/9x²=
    (24x²+18x-12x²-18x-27)/9x²=(12x²-27)/9x²
    Приравниваем к 0,чтобы найти критические точки
    12x²-27=0, 9x²>0при любом х
    12х²=27
    х²=9/4
    х=-3/2 и х=3/2
    исследуем на интервалах
       +  _  +
    ----------------------------------------------
       -3/2  3/2
       max  min
    при х=3/2 выражение принимает наименьшее значение
    (4*9/4+6*3/2+9)/(3*3/2)=(9+9+9)*2/9=27*2/9=6

    решение прилагается

<< < 12 3 > >>