найти значение »
найти наименьшее значение выражения - страница 2
Найти наименьшее значение выражения (b^4-b^2+1)/(b^2+1)
Решение:Легко видеть (просто раскрыв скобки), что
$$ \frac{b^4-b^2+1}{b^2+1}=\sqrt{3}\left(\frac{b^2+1}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{b^2+1}\right)-3=\sqrt{3}(t+\frac{1}{t})-3, $$
где $$ t=(b^2+1)/\sqrt{3}. $$ Т.к. для любого t>0 верно неравенство t+1/t≥2, то наименьшее значение исходного выражения равно 2√3-3. Достигается оно при t=1, т.е при $$ b=\pm\sqrt{\sqrt{3}-1}. $$Найти наименьшее значение выражения: \( (1+cos^22\alpha)*(1+tg^2\alpha)+4sin^2\alpha \)
Решение: $$ (1+cos^22 \alpha )*(1+tg^2 \alpha )+4sin^2 \alpha =\\=(1+cos^22 \alpha )* \frac{1}{cos^2 \alpha } +4sin^2 \alpha = \\= \frac{1+cos^22 \alpha +4sin^2 \alpha cos^2 \alpha }{cos^2 \alpha } =\\= \frac{1+cos^22 \alpha +sin^22 \alpha }{cos^2 \alpha } =\\= \frac{2}{cos^2 \alpha } =2*(1+tg^2 \alpha )= \ 2+2tg^2 \alpha $$
так как $$ tg^2 \alpha $$ есть число неотрицательное, т. е. $$ tg^2 \alpha \geq 0 $$, то минимальное значение принимается, когда выражение равно нулю, тогда
$$ 2+2tg^2 \alpha =2+2*0=2 $$
Ответ: $$ 2 $$1.Найти наименьшее значение выражения
2а^2 - 2ab + b^2 - 2a + 2
2.Найти наибольшее значение выражения
2ab - a^2 - 2b^2 + 4b
Решение: $$ 2a^2 - 2ab + b^2 - 2a + 2=(a^2-2ab+b^2)+(a^2-2a+1)+1=\\=(a-b)^2+(a-1)^2+1 \geq 1 $$
(Комментарий: поскольку квадрат любого числа неотриц., значит
(a-b)^2≥0
(a-1)^2≥0
значит их сумма ≥0
минимальное значение достигается при равенстве нулю обеих скобок, т.е. наименьшее равно 1)
$$ 2ab - a^2 - 2b^2 + 4b=-(a^2-2ab+b^2)-(b^2-4b+4)+4=\\=-(a-b)^2-(b-2)^2+4 \leq 4 $$
Наибольшее 41) Найти наименьшее значение выражения: |x-2| + |x| + 1
2) Чему равно |x-y| + |2y-2x | если y = x-3
Решение: Модуль - это числовое значение. Если число положительное, так и оставляете, если отрицательное, просто убираете минус.
1) меньшее будет при х 0, 1 или 2. Подставь и посчитай - везде получится 3
2) |x-y| + |2y-2x | если y = x-3
|x-x-3| + |2(x-3)-2x |
х убирается в обоих модулях:
|-3|+ |2x-2x -6 |
3 + 6 = 9Нужно найти наименьшее значение выражения, если \( \frac{4x^{2}+6x+9}{3x} \), а x>0.
Решение: Находим производную
[(4x²+6x+9)`*3x-(3x)`*(4x²+6x+9)}/9x²=[(8x+6)*3x-3*(4x²+6x+9)}/9x²=
(24x²+18x-12x²-18x-27)/9x²=(12x²-27)/9x²
Приравниваем к 0,чтобы найти критические точки
12x²-27=0, 9x²>0при любом х
12х²=27
х²=9/4
х=-3/2 и х=3/2
исследуем на интервалах
+ _ +
----------------------------------------------
-3/2 3/2
max min
при х=3/2 выражение принимает наименьшее значение
(4*9/4+6*3/2+9)/(3*3/2)=(9+9+9)*2/9=27*2/9=6
решение прилагается