найти значение »
найти наименьшее значение выражения
Найти наименьшее значение выражения 4sin^2x+12sinx+tg^2y-6tgy
Решение: $$ 4\sin^2(x)+12\sin(x)=(4\sin^2(x)+12\sin(x)+9)-9=\\=(2\sin(x)+3)^2-9 $$
Наименьшее значение sin(x) равно -1
Наименьшее значение 2*sin(x) равно -1 * 2 = -2
Наименьшее значение 2*sin(x)+3 равно -2 + 3 = 1
Наименьшее значение $$ (2\sin(x)+3)^2-9 $$ равно 1 - 9 = -8
$$ \tan^2(y)-6\tan(y)=(\tan^2(y)-6\tan(y)+9)-9=\\=(\tan(y)-3)^2-9 $$
Наименьшее значение $$ (\tan(y)-3)^2 $$ равно 0
Наименьшее значение $$ (\tan(y)-3)^2-9 $$ равно 0 - 9 = -9
Ответ: наименьшее значение всего выражения равно -8-9 = -17Найти наименьшее значение выражения а^2 + 6ab + 10b^2 - 2b + 3.
Решение: а^2 + 6ab + 10b^2 - 2b + 3 =
(a^2 + 2*3*ab + 3*3*b^2) + (b^2 -2b + 1) +2 =
(a+3b)^2 + (b-1)^2 +2
Получишееся выражение всегда положительно, так как квадраты
любых чисел - положительные числа. Поэтому минимум возможен,
если обе скобки равны нулю, тогда получим b=1 (2-ая скобка
обнуляется), a=-3 (Обнуляется первая скобка), а минимум равен
(a+3b)^2 + (b-1)^2 +2 = (-3+3)^2 +(1-1)^2 +2 = 2Найти наименьшее значение выражения, где x и y – любые действительные числа:
4x^2+4y^2-8xy+6x-6y+4
Решение: Нужно представить это выражение в виде функции:
f = 4(x - y)^2 +6(x - y) + 4.
Приняв х - у = z, получим квадратичную функцию - f = 4z^2 + 6z + 4.
Для нахождения минимума этой функции необходимо взять её производную и приравнять её нулю:
8z + 6 = 0 z = -6 / 8 = -0.75.
Минимум функции будет - 4*(-0,75)^2 + 6*(-0.75) + 4 = 1.75.
Т.е. при любых значениях х и у при условии (х - у = 1,75) будет минимальное значение выражения 4x^2+4y^2-8xy+6x-6y+4, например:
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 2,75
y -5,75 -4,75 -3,75 -2,75 -1,75 -0,75 0,25 1,25 2,25 1
f = 26,75 26,75 26,75 26,75 26,75 26,75 26,75 26,75 26,75 26,75
Найти наименьшее значение выражения и значения х и у при которых оно достигается |3x-4y-2|+|x-5y+3|
Решение: 1) |3x - 4y -2 | + |x - 5y +3 | = 3х-4у-2+х-5у+3 = 4х-9у+1 при
3x - 4y -2 > 0 и x - 5y +3 > 0
2) |3x - 4y -2 | + |x - 5y +3 | = -3x+4y+2+x-5y+3 = -2x-y+5 при
при 3x - 4y -2 < 0 и x - 5y +3 > 0
3) |3x - 4y -2 | + |x - 5y +3 | = 3х-4у-2-х+5у-3 = 2x+y-5 при
3x - 4y -2 > 0 и x - 5y +3 < 0
4) |3x - 4y -2 | + |x - 5y +3 | = -3х+4у+2-х+5у-3 = -4х+9у-1при
3x - 4y -2 < 0 и x - 5y +3 < 0Найти наименьшее значение выражения:(7x-3y+10)^2+(5x-y-2)^2-3
Решение: Z= (7x-3y+10)² + (5x-y-2)² -3
Находим частные производные от z по x и по y .
dz/dx =7*2*(7x-3y+10) + 5*2*(5x-y-2) =
=98x - 42y +140 +50x -10y -20 =
= 148x -52y +120
dz/dy= -3*2*(7x-3y+10) -2(5x-y-2) =
= -42x +18y -60 -10x +2y+4=
= -52x +20y -56
Приравниваем частные производные к нулю и решаем систему уравнений:
148x - 52y +120 =0 *5
52x -20y +56 =0 *13
---------------------------
740x - 260 y +600=0 -
676x -260y + 728 =0
----------------------------
64x -128 =0 64x =128 -----> x=2
52*2 -20y +56=0
20y =160 ---> y = 8
z(2;8) - принимает минимальное значение:
(7*2-3*8 +10)² +(5*2-8-2)² -3= 0²+0² =0
Ответ zmin = 0