системы уравнений » решите систему уравнений методом замены переменной
  • Решить систему уравнений

    x^3-3x=y^3-3y

    x^2012+y^2012=1

    Для каждого значения параметра а розвязать неравенство

    cos^2*3x+2a*sin3x-2a>a^2


    Решение: 1) Рассмотрим наше первое уравнение в системе

    $$ x^3-y^3=3(x-y) $$

    $$ (x-y)(x^2+xy+y^2)-(x-y)=0 $$

    $$ (x-y)(x^2+xy+y^2-3)=0 $$

    Первое случай: это x-y=0 ⇒ x=y, подставляя во второе, получим следующие ответы

    $$ x = ±\frac{1}{\sqrt[2012]{2}}, y = ±\frac{1}{\sqrt[2012]{2}} $$

    Из второго случая: $$ x^2+xy+y^2-3=0 $$

    Рассмотрим теперь наше другое уравнение:

    $$ x^{2012}+y^{2012}=1 $$

    отсюда можем сказать, что |x|≤1, |y|≤1 (учитывая, что их сумма в такой степени должна быть равна 1)

    Также можем утверждать, что x²+y²<2. (x и y одновременно не равны 1, не удовлетворяют второму уравнению системы)

    Далее

    $$ x^2+xy+y^2=\frac{3}{2}(x^2+y^2)-\frac{1}{2}(x-y)^2=3 $$

    т.е. (3/2)(x²+y²)≥3 ⇒ x²+y²≥2

    x²+y²≥2 и x²+y²<2 - что противоречит друг другу, т.е. в этом случае нет решений, иначе говоря, если x≠y то решений нет.

    2) 1 - Sin²3x + 2aSin3x - 2a - a² > 0

        Sin²3x - 2aSin3x + (a²+2a-1) < 0

    Sin3x = t (-1≤t≤1)

    t² - 2at + (a²+2a-1) < 0

    D = 4a² - 4(a²+2a-1) = -8a + 4

    при a ≤ 1/2 - нет решений

    D>0 ⇒ -8a + 4 > 0 ⇒ a < 1/2

    t1 = a - √(1-2a)

    t2 = a + √(1-2a)

    a - √(1-2a) < Sin3x < a + √(1-2a)

    Также рассмотрим систему:

    a - √(1-2a) ≥ -1

    a + √(1-2a) ≤ 1

    a < 1/2

    Заметим, что границы первых двух неравенств достигаются при a=0

    При a∈[0, 1/2) -

    a - √(1-2a) < Sin3x < a + √(1-2a)

    $$ \frac{(-1)^karcsin(a-\sqrt{1-2a})}{3}+\frac{\pi k}{3}

  • Решить систему уравнений: 3*x*y - x^2 - y^2 = 5
    7*x^2*y^2 - x^4 - y^4 = 155

    Должны получится ответы (2;3), (3,2), (-3,-2), (-2,-3)
    Сразу говорю, что дополнять до полного квадрата нет смысла, в итоге получится отрицательный дискриминант.


    Решение: Нужно заметить, что выражение $$ 7x^2y^2-x^4-y^4 $$ как-то разложить на множители, так как очевидно что это система не будет решаться не рациональным способом, т.е. подстановкой х через у 
    $$ 7x^2y^2-x^4-y^4 $$ можно конечно как-то преобразовывать это выражение
    $$ 7x^2y^2-x^4-y^4 \\ x^4+y^4-7x^2y^2 \\ x^4+y^4+2x^2y^2-9x^2y^2 \\ (x^2+y^2)^2-9x^2y^2 \\ (x^2+y^2)^2-(3xy)^2=(x^2+y^2-3xy)(x^2+y^2+3xy) $$
    то есть видим что один из сомножителей похож на первое уравнение  системы
    $$ -(x^2-3xy+y^2)(x^2+3xy+y^2)=155 \\ (3xy-x^2-y^2)(x^2+3xy+y^2)=155 \\ 3xy-x^2-y^2=5 \\ 5(x^2+3xy+y^2)=155 \\ x^2+3xy+y^2=31 \\ \left \{ {{3xy-x^2-y^2=5} \atop {x^2+3xy+y^2=31}} \right. \\ x^2+y^2+5+x^2+y^2=31 \\ x^2+y^2=13 $$

    Дальше решить не сложно ...

  • Решите систему уравнений: x²+y²=5; x+y=-3


    Решение: x²+y²=5

    x+y=-3


    x²+y²=5 (1)

    y=-3-х

    (1) x²+(-3-x)²=5

      x²-(3+x)²=5

      x²-9-6x-x²-5=0 квадраты уходят, получается линейное уравнение

      


    6x = 14

    x = 14/6 = 2 целые и 1/3

    y = -3-14/6 = -32/6 = 5 целых и 1/3

     

  • №1 решите систему уравнений a) {2x+y=7 {x в квадрате--y= 1 <=> б) {x-3y=2
    {xy+y=6 <=> B) {y-3x=2
    {x в квадрате -2x+ y в квадрате=9 <=> r) {2y-x=7
    {x в квадрате - xy- y в квадрате=29


    Решение: x+2y=1

    2x+ Y(в квадрате) = -1

    Решаем методом подстановки: 2y=1-x

      y=1-x / 2

    Подставляем во второе уравнение: 

     2x+(1-x/ 2)в квадрате=-1

    8x+2- x(в квадрате) =-1*4

    6x=-6

    x=-1

    y= 1

    х=2+3у 
    (2+3у)у+у=6 
    2У+6у+у=6 
    9у=6 
    у=2/3 
    х=4

  • 1) Решить систему уравнений x-y=4 x^2+2xy+y^2=4


    Решение: x=4+y; x=4+y; x=4+y;  x=4+y; x=4+y; y=0;

    (4+y)+2(4+y)y+y^2=4; 4+y+8y+2y^2+y^2=4; 3y^2+9y=0; 3y(y+3)=0; y=0; x=4;

      y=-3; y=-3;

      x=1.

  • 1) Один лилипут весит миллипуд, а Гулливер весит 100 кг. Зная, что пуд - 16 кг, определите, сколько лилипутов весят столько же, сколько и Гулливер.
    2) Решите систему уравнений: в первой строке (х-у+1) в третьей степени +у=28
    во второй строке (х-у+1) в третьей степени +х=30
    3) по контракту продавцу молока причитается 400 руб. за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с него взыскивается 100 руб. Через 30 дней продавец узнал, что ему ничего не причитается. Сколько дней работал продавец в течении 30 дней?


    Решение:

    1) Один лилипут весит миллипуд, а Гулливер весит 100 кг. Зная, что пуд - 16 кг, определите, сколько лилипутов весят столько же, сколько и Гулливер.
      ответ: миллипуд = 0,016кг. 100/0,016 =6250 лилипутов.
    _________________________________________________
    2) Решите систему уравнений: в первой строке (х-у+1) в третьей степени +у=28
    во второй строке (х-у+1) в третьей степени +х=30
    Ответ: Из второй строки вычесть первую. Тогда X-Y=2.
    Вставляем это значение в обе строчки и имеем:
    (2+1)³+Y=28
    (2+1)³+Х=30 Отсюда Х=3, Y=1.
    ___________________________________________________
    3) по контракту продавцу молока причитается 400 руб. за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с него взыскивается 100 руб. Через 30 дней продавец узнал, что ему ничего не причитается. Сколько дней работал продавец в течении 30 дней?
    Ответ: работал Х дней, тогда  400*Х-100*(30-Х)=0. Отсюда Х=6дней. Продавец работал 6 дней.

  • Решить 3 системы уравнений. 1. x + y = -2
    x^2 + y^2 = 100

    2. x^2 + y^2 + x + y =18
    x^2 - y^2 +x - y = 6

    3. x^2 + xy + y^2 = 13
    x + y = 4


    Решение: 1. x + y = -2⇒x=-2-y
    x^2 + y^2 = 100
    4+4y+y²+y²-100=0
    2y²+4y-96=0
    y²+2y-48=0
    y1+y2=-2 U y1*y2=-48
    y1=-8⇒x1=-2+8=6
    y2=6⇒x2=-2-6=-8
    (6;-8) :(-8;6)

    2. x^2 + y^2 + x + y =18
    x^2 - y^2 +x - y = 6
    прибавим
    2x²+2x=24
    2x²+2x-24=0
    x²+x-12=0
    x1+x2=-1 U x1*x2=-12
    x1=-4 U x2=3
    16+y²-4+y-18=0  U  9+y²+3+y-18=0
    y²+y-6=0  U  y²+y-6=0
    y1+y2=-1 U y1*y2=-6
    y1=-3 U y2=2
    (-4;-3);(-4;2);(3;-3);(3;2)

    3. x^2 + xy + y^2 = 13
    x + y = 4
    ⇒x=4-y
    16-8y+y²+4y-y²+y²-13=0
    y²-4y+3=0
    y1+y2=4 U y1*y2=3
    y1=1⇒x1=4-1=3
    y2=3⇒x2=4-3=1
    (3;1);(1;3)


  • 1. Решите уравнение: 1) в скобках дробь 1.5 а степени 2-3х = 25; 2) 4 в степени х +2 в степени х - 20=0. 2.решить неравенство в скобках дробь 3.4 в степени х больше 1 целой одной треть. 3. Решить систему уравнений : ставим систему,вверху пишем х-y=4 ,внизу 5 в степени х+y=25.


    Решение: 1) 1)5^(3x-2)=5^2

      3x-2=2

      3x=4 

      x=4/3 

      2)4^x+2^x-20=0

      2^2x+2^x-20=0

      квадратное уравнение

    2) (3/4)^x>4/3

     (3/4)^x>(3/4)^(-1)

    x<-1

    3)решаем 2 систему

    5^(x+y)=5^2

    x+y=2

    имеем систему

    |x+y=2

    +

    |x-y=4

    --------

    2x=6

    x=3

    y=-1

  • 1. Реши систему уравнений:

    х-5у=9

    х^2+3ху-у^2=3

    2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь равна 42 см в квадрате. Н/и стороны прямоугольника.

    4. Яв-ся ли число 30,4 членом арифмет. прогрессии, в которой а1= 11,6 и а15=17,2?

    6. Упростить

    1/ctga+ cosa/1+sina


    Решение: 1

    $$ x=5y+9 $$ - подставим во второе уравнение:

    $$ (5y+9)^2+3(5y+9)y-y^2=3 $$

    $$ 25y^2+90y+81+15y^2+27y-y^2=3 $$

    $$ 39y^2+117y+78=0 $$ - поделим на 39

    $$ y^2+3y+2 $$

    $$ y_1=-1, y_2 = -2 $$

    Подставим в первое, получим $$ x_1=4, x_2=-1 $$

    Ответ: $$ (4,1) или (-1,2) $$

    2. Запишем условие в виде системы

    $$ \left \{ {{2(a+b)=26} \atop {ab=42}} \right. $$

    Делаем то же самое:

    $$ b=13-a $$

    $$ a(13-a) = 42 $$

    $$ a^2-13a+42 \ a_1=6, a_2=7 $$

    То есть стороны прямоугольника равны 6 и 7

    Ответ: 6,7

    3. Знаем из арифметической прогрессии:

    $$ a_n = a_{1}+(n-1) \cdot d $$

    Значит $$ a_{15} = a_{1}+14d, d = \frac{a_{15}-a_{1}}{14} $$

    Имеем $$ d = \frac{17.2-11.6}{14} = 0.4 $$

    Составим уравнение:

    $$ 11,6 + (n-1)0,4 = 30,4, \ n \in Z $$, откуда n=48

    Ответ: является.

    4. Будь внимательна со скобками, условие твоё очень тяжело понять.

    Я его понял вот так:

    $$ \frac{1}{ctg \ a} + \frac{cos a}{1+sin a} $$

    Тогда имеем:

    $$ . = \frac{sina}{cosa} + \frac{cosa}{1+sina} = \frac{sina(1+sina)+cosa \cdot cosa}{cosa(1+sina)} =. $$

    $$ . = \frac{sin^2a+cos^2a+sina}{cosa(1+sina)} = \frac{1+sina}{cosa(1+sina)} = \frac{1}{cosa} $$

    Ответ: $$ \frac{1}{cosa} $$

  • 1 Решить уравнение: *это квадрат

    1)3x*=0

    2)(x+1)(x-1)=0

    3)4x*-1=0

    4)3x*=5x

    5)4x*-4x+1=0

    6)x*-16x-17=0

    7)0,3x*+5x=2

    8)x*-4x+5=0
    2 Разложить на мноители:

    1)x*+x-6; 2)2x*-x-3

    3 Решить задачу:

    Расстояние между селами 36км один велосипедист преодолевает на 1 ч быстрее другого. Найти скорость каждого велосипидиста, ЕСЛИ известно, что скорость одного на 3км/ч больше скорости другого

    4 Решить систему уравнений

    x*-y*=72

    x+y=9


    Решение: 1.x=0

    2.x=+-1

    3.x=+-sqrt(1/2)

    4.x=5/3

    5.(2x-1)^2=0

    x=1/2

    6. По теореме обратной теореме Виета x1=17 x2=-1

    8. x=5 x=-1

    2. x=-3 x=2 x^2+x-6=(x+3)(x-2)

    2)D=25

    sqrt=5 x1=-1 x2=3/2 2x*-x-3=(x+1)(2x-3)

    3.

    36/(x+1)-36/x=3

    36x-36x-36-3x^2-3x=0

    3x^2+3x+36=0

    x^2+x+12=0

    x=-4 x=3

    Время больше 0 значит x=3

    36/3=12 км/ч и 36/4=9 км/ч

1 2 > >>