системы уравнений »

решите систему уравнений методом замены переменной

  • Решить систему уравнений

    x^3-3x=y^3-3y

    x^2012+y^2012=1

    Для каждого значения параметра а розвязать неравенство

    cos^2*3x+2a*sin3x-2a>a^2


    Решение: 1) Рассмотрим наше первое уравнение в системе

    $$ x^3-y^3=3(x-y) $$

    $$ (x-y)(x^2+xy+y^2)-(x-y)=0 $$

    $$ (x-y)(x^2+xy+y^2-3)=0 $$

    Первое случай: это x-y=0 ⇒ x=y, подставляя во второе, получим следующие ответы

    $$ x = ±\frac{1}{\sqrt[2012]{2}}, y = ±\frac{1}{\sqrt[2012]{2}} $$

    Из второго случая: $$ x^2+xy+y^2-3=0 $$

    Рассмотрим теперь наше другое уравнение:

    $$ x^{2012}+y^{2012}=1 $$

    отсюда можем сказать, что |x|≤1, |y|≤1 (учитывая, что их сумма в такой степени должна быть равна 1)

    Также можем утверждать, что x²+y²<2. (x и y одновременно не равны 1, не удовлетворяют второму уравнению системы)

    Далее

    $$ x^2+xy+y^2=\frac{3}{2}(x^2+y^2)-\frac{1}{2}(x-y)^2=3 $$

    т.е. (3/2)(x²+y²)≥3 ⇒ x²+y²≥2

    x²+y²≥2 и x²+y²<2 - что противоречит друг другу, т.е. в этом случае нет решений, иначе говоря, если x≠y то решений нет.

    2) 1 - Sin²3x + 2aSin3x - 2a - a² > 0

        Sin²3x - 2aSin3x + (a²+2a-1) < 0

    Sin3x = t (-1≤t≤1)

    t² - 2at + (a²+2a-1) < 0

    D = 4a² - 4(a²+2a-1) = -8a + 4

    при a ≤ 1/2 - нет решений

    D>0 ⇒ -8a + 4 > 0 ⇒ a < 1/2

    t1 = a - √(1-2a)

    t2 = a + √(1-2a)

    a - √(1-2a) < Sin3x < a + √(1-2a)

    Также рассмотрим систему:

    a - √(1-2a) ≥ -1

    a + √(1-2a) ≤ 1

    a < 1/2

    Заметим, что границы первых двух неравенств достигаются при a=0

    При a∈[0, 1/2) -

    a - √(1-2a) < Sin3x < a + √(1-2a)

    $$ \frac{(-1)^karcsin(a-\sqrt{1-2a})}{3}+\frac{\pi k}{3}

  • Решить систему уравнений: 3*x*y - x^2 - y^2 = 5
    7*x^2*y^2 - x^4 - y^4 = 155

    Должны получится ответы (2;3), (3,2), (-3,-2), (-2,-3)
    Сразу говорю, что дополнять до полного квадрата нет смысла, в итоге получится отрицательный дискриминант.


    Решение: Нужно заметить, что выражение $$ 7x^2y^2-x^4-y^4 $$ как-то разложить на множители, так как очевидно что это система не будет решаться не рациональным способом, т.е. подстановкой х через у 
    $$ 7x^2y^2-x^4-y^4 $$ можно конечно как-то преобразовывать это выражение
    $$ 7x^2y^2-x^4-y^4 \\ x^4+y^4-7x^2y^2 \\ x^4+y^4+2x^2y^2-9x^2y^2 \\ (x^2+y^2)^2-9x^2y^2 \\ (x^2+y^2)^2-(3xy)^2=(x^2+y^2-3xy)(x^2+y^2+3xy) $$
    то есть видим что один из сомножителей похож на первое уравнение  системы
    $$ -(x^2-3xy+y^2)(x^2+3xy+y^2)=155 \\ (3xy-x^2-y^2)(x^2+3xy+y^2)=155 \\ 3xy-x^2-y^2=5 \\ 5(x^2+3xy+y^2)=155 \\ x^2+3xy+y^2=31 \\ \left \{ {{3xy-x^2-y^2=5} \atop {x^2+3xy+y^2=31}} \right. \\ x^2+y^2+5+x^2+y^2=31 \\ x^2+y^2=13 $$

    Дальше решить не сложно ...

  • Решите систему уравнений: x²+y²=5; x+y=-3


    Решение: x²+y²=5

    x+y=-3


    x²+y²=5 (1)

    y=-3-х

    (1) x²+(-3-x)²=5

      x²-(3+x)²=5

      x²-9-6x-x²-5=0 квадраты уходят, получается линейное уравнение

      


    6x = 14

    x = 14/6 = 2 целые и 1/3

    y = -3-14/6 = -32/6 = 5 целых и 1/3

     

  • №1 решите систему уравнений a) {2x+y=7 {x в квадрате--y= 1 <=> б) {x-3y=2
    {xy+y=6 <=> B) {y-3x=2
    {x в квадрате -2x+ y в квадрате=9 <=> r) {2y-x=7
    {x в квадрате - xy- y в квадрате=29


    Решение: x+2y=1

    2x+ Y(в квадрате) = -1

    Решаем методом подстановки: 2y=1-x

      y=1-x / 2

    Подставляем во второе уравнение: 

     2x+(1-x/ 2)в квадрате=-1

    8x+2- x(в квадрате) =-1*4

    6x=-6

    x=-1

    y= 1

    х=2+3у 
    (2+3у)у+у=6 
    2У+6у+у=6 
    9у=6 
    у=2/3 
    х=4

  • 1) Решить систему уравнений x-y=4 x^2+2xy+y^2=4


    Решение: x=4+y; x=4+y; x=4+y;  x=4+y; x=4+y; y=0;

    (4+y)+2(4+y)y+y^2=4; 4+y+8y+2y^2+y^2=4; 3y^2+9y=0; 3y(y+3)=0; y=0; x=4;

      y=-3; y=-3;

      x=1.

1 2 3 > >>