Линейное уравнение с одной переменной

Практика часто ставит перед нами задачу выяснить, при каких допустимых значениях буквы (или нескольких букв) обе части того или иного равенства принимают одинаковые числовые значения. На равенство в этом случае мы смотрим как на уравнение относительно указанной неизвестной величины.

Так, если равенство,

а + 4 = 5 (1)

рассматривать как уравнение относительно величины а, то легко сообразить, что обе его части принимают одинаковые числовые значения только при а = 1. Действительно, если а = 1, то а + 4 = 5; если же а =/=1, то а + 4 =/= 5. Число 1 называется корнем уравнения (1).

Корнем уравнения относительно одной неизвестной величины называется каждое числовое значение этой величины, при котором обе части уравнения принимают одинаковые числовые значения.

То же самое определение иначе формулируют следующим образом: корнем уравнения относительно одной неизвестной величины называется такое значение этой величины, при котором уравнение обращается в числовое равенство (или которое удовлетворяет данному уравнению).

Выше мы привели уравнение (а + 4 = 5), которое имеет лишь один корень. Существуют уравнения, которые имеют более одного корня. Например, уравнение a2 = 1 имеет два корня: 1 и -1; уравнение а + 2 = 2 + а имеет бесконечно много корней: каждое число является его корнем. (В этом случае уравнение является тождеством.) Наконец, можно указать и такие уравнения, которые совсем не имеют корней. Примером может служить хотя бы уравнение a2 + 1 = -3.

Решить уравнение - это значит:

  1. выяснить, имеет ли оно корни
  2. если имеет, то найти каждый из них.

Отметим (хотя это и несущественно), что в равенствах, рассматриваемых как уравнения, неизвестные величины обычно обозначаются не начальными буквами латинского алфавита (а, b, с, . . .), а конечными буквами (х, у, z). Например, вместо а + 4 = 5 пишут x + 4 = 5; вместо a2 + 1 = -3 пишут x2 + 1 = -3 и т. д.

Два уравнения относительно одной и той же неизвестной называются эквивалентными (или равносильными), если каждый корень первого уравнения является вместе с тем и корнем второго уравнения, а каждый корень второго уравнения является вместе с тем и корнем первого уравнения.

Эквивалентными будут, например, уравнения х + 4 = 5 и х -1 = 0, каждое из которых имеет единстенный корень 1. Эквивалентными являются и уравнения x2 = 4 и 2x2 = 8. Каждое из них имеет два корня: 2 и -2.

Уравнения, не имеющие корней, считаются также эквивалентными (например, x2 = -1 и x2 + 1 = -3).

Для решения уравнений оказываются важными следующие свойства эквивалентных уравнений:

  1. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, эквивалентное данному.
  2. Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, поменяв при этом его знак на противоположный, то получится уравнение, эквивалентное данному.

Например, в уравнении

2x -1 = 5 -x.

-1 можно перенести из левой части в правую, а -x, наоборот, из правой части в левую. В результате получим

2x + x = 5 + 1,

или

3x = 6.

Очевидно, что единственным корнем этого (а следовательно, и исходного) уравнения служит число 2.


Уравнение называется линейным, если левая и правая части его представляют собой линейные функции Относительно неизвестной величины.

К таким уравнениям относится, например, любое из уравнений:

2x - 1 = 3x - 5; 4x = 6 - 7x; 8x - 9 = 0.

Общий вид линейного уравнения таков:

ах + b = сx + d, (1)

где а, b, с и d - заданные числа, ах - неизвестная величина.

Если в уравнении (1) коэффициенты а и с отличны друг от друга, то уравнение называется также уравнением 1-й степени. Так, каждое из приведенных выше линейных уравнений является вместе с тем и уравнением 1-й степени. Уравнение 0 • x - 1 (это тоже уравнение!) является линейным, но не является уравнением 1-й степени. Очевидно, что каждое уравнение 1-й степени можно назвать и линейным уравнением. Однако не каждое линейное уравнение будет уравнением 1-й степени.

Как же решаются линейные уравнения?

Перенося сx из правой части уравнения (1) в левую, а b из левой части в правую, получим эквивалентное уравнение (а - с) x = d - b. Таким образом, всякое линейное уравнение эквивалентно уравнению вида

tx = n, (2)

где т и п - некоторые заданные числа, а х - неизвестная величина. Если т =/= 0, то уравнение (2) имеет, очевидно, один корень

x = n/m

Если t = 0, а n =/= 0, то уравнение (2) обращается в

0 • x = n.

Такое равенство не может выполняться ни при каких значениях x. Следовательно, в этом случае уравнение (2) не имеет корней.

Наконец, при t = n = 0 уравнение (2) принимает вид 0 • x =0. Это равенство верно при любых значениях x. Поэтому в данном случае уравнение (2) имеет бесконечное множество корней: любое число является его корнем.


Уравнения, сводящиеся к линейным

К решению линейных уравнений сводится решение и некоторых других уравнений.

Поясним это на примере уравнения

$$ \frac{m+x}{n+x} = \frac{m}{n} \;\;\; (1)$$

где m и n — заданные числа, а x — неизвестная величина. Это уравнение нельзя назвать линейным, поскольку его левая часть не является линейной функцией относительно x. Но такое уравнение легко сводится к линейному. Прежде всего заметим, что п=/=0, иначе правая часть данного уравнения не имела бы смысла.

Теперь воспользуемся свойством пропорций: если a/b = c/d, то ad = bc. Применяя это свойство пропорций к равенству (1), получаем

(m + х) n = (n + х) m,

откуда

mn + nx = nm + mx,

или

(n — m) x = 0. (2)

Итак, исходя из нелинейного уравнения (1), мы пришли к линейному уравнению (2). Из него получаем: если m =/= n, то x = 0; если же m = n, то x — любое число.

Не будем торопиться с ответом. Переход от уравнения (1) к уравнению (2) фактически свелся к тому, что обе части уравнения (1) мы умножили на выражение n (n + х). Но в таком случае уравнение (2) может оказаться и неэквивалентным уравнению (1). Очевидно, что потерять корней при переходе от (1) к (2) мы не могли. Но как знать, может быть, мы получили посторонние корни? Вот почему теперь необходимо сделать проверку полученных корней.

Сначала проверим корень x = 0, который получен из уравнения (2) в предположении, что m =/= n. Если в уравнении (1) положить x = 0, то получим m/n = m/n. Следовательно, при m =/= п и n =/= 0 x = 0 — действительно корень уравнения (1). Теперь проверим, будет ли любое число при m = п =/= 0 корнем уравнения (1). При m = n это уравнение принимает вид

$$ \frac{n+x}{n+x} = 1 \;\;\;(3) $$

Любое число, кроме — n, удовлетворяет уравнению (3) и, следовательно, является его корнем. Но x = — n нельзя считать корнем этого уравнения, поскольку при x = — n левая часть равенства (3) не определена. Таким образом, при m = п =/= 0 корнем уравнения (1) является не любое число, как это было для уравнения (2), а лишь любое число, отличное от — n.

Теперь можно дать ответ: если n =/= 0 и m =/= п, то уравнение (1) имеет единственный корень x = 0; если же m = n =/= 0, то корнем его является любое число, кроме — n.



« назад