решение уравнений »
найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку
Найдите решения неравенства 3x^2≥-5x+8 , принадлежащие промежутку {-2;6} 2)Найдите решения неравенства 8x^2≥-3x+5 , принадлежащие промежутку {-5;0}
Решение: 3х² ≥ -5x + 8 или 3х² + 5x - 8 ≥ 0
Решим методом интервалов: D = 5²-4·3·(-8)=25+96=121,
√D=11, x₁=(-5+11)/6=1,
x₂=(-5-11)/6=-16/6=-8/3
(x+8/3)(x-1) ≥ 0
Ответ:[1;6 }
2)Найдите решения неравенства 8x²≥-3x+5 , принадлежащие промежутку {-5;0}
8x²≥-3x+5 или 8x²+3x-5≥0
D=3²-4·8·(-5)=9+160=169,√D=13
x₁=(-3+13)/16=10/16=5/8
x₂=(-3-13)/16=-1, (x+1)(x-5/8) ≥0
Ответ:{-5;-1]
1) Укажите корни уравнения cos^2x-7cos2x= 8+sin^2x принадлежащие промежутку [-2pi;2pi]
2) Решить уравнение cos3x-sinx=(sqrt 3)(cosx-sin3x)
3) Решить систему неравенств: sinx<1/2
tg2x>(sqrt2)
Решение: Использована формула косинуса суммы двух углов, формула разности косинусов, формула косинуса двойного угла
а)решить б)укажите корни,принадлежащие промежутку [3п/2;5п/2]корень из 2 cos^2 x = sin(x-п/2)
Решение: 2cos²x=-cosx
2cos²x+cosx=0
cosx(2cosx+1)=0
cosx=0⇒x=π/2+πn
3π/2≤π/2+πn≤5π/2
3≤1+2n≤5
2≤2n≤4
1≤n≤2
n=1⇒x=π/2+π=3π/2
n=2⇒x=π/2+2π=5π/2
cosx=-1/2⇒x=+-2π/3+2πn
3π/2≤-2π/3+2πn≤5π/2
9≤-4+12n≤15
13≤12n≤19
13/12≤n≤19/12
нет решения на промежутке
3π/2≤2π/3+2πn≤5π/2
9≤4+12n≤15
5≤12n≤11
5/12≤n≤11/12
нет решения на промежутке
Ответ х=3π/2,х=5π/2Решите уравнение и найдите корни принадлежащие промежутку от 2 до бесконечности. $$ \frac{cos2x + 3\sqrt{2}sinx - 3}{\sqrt{cosx}} = 0 $$
Решение: Сos x>0, т.е. -пи/2+2пи
cos 2x+3V2sinx-3=0, где V - корень квадратный.
Воспользуемся тригонометрической формулой
cjs2x=1-(sinx)^2
Подставим 1-(sinx)^2 в уравнение и выразим sinx через у.
Получим квадратное уравнение
1-у^2+3V2у-3=0.
Далее решаем квадратное уравнение.
Выбираем подходящий корень этого уравнения у1 или у2, далее получаем sinx=у1 или у2 и находим все х, принадлежащие заданному промежутку.
Решите уравнения √2 sinx= cosxsinx. найдите корни, принадлежащие промежутку [п;3п]
Решение: √2 · sinx=cosx·sinx
cosx·sinx-√2·sinx=0
sinx(cosx-√2)=0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
sinx=0
x=π*n, n∈Z
cosx-√2=0
cosx=√2
Уравнение не имеет решения, т.к. косинус может принимать значения в промежутке [-1;1]
Корни принадлежащие промежутку [π;3π]:
n=1; x=π
n=2; x=2π
n=3; x=3π3 tgx - 3 sin 2x = 0 решите уравнение и найдите корни, принадлежащие промежутку [п; 5п/2]
Решение: $$ 3tgx-2\sin2x=0;\\x eq \frac{\pi}{2} +\pi n, n \in Z $$
так как в Этих точках косинус равен 0, а тангенс, это синус делённый на косинус
$$ x\in(- \frac{\pi}{2}+\pi n; +\ \frac{\pi}{2}+\pi n), n\in Z\\3 \frac{\sin x}{\cos x}-3\cdot2\sin x\cos x=0;\\6\sin x( \frac{1}{2\cos x}-\cos x)=0\\ 6\frac{\sin x( \frac{1}{2}-\cos x) }{\cos x}=0\\ \left[ {{\sin x=0;} \atop {\cos x=\frac{1}{2}}} \right. =\\= \left[ {{x=\pi n, n \in Z} \atop {x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi m, m\in Z }} \right. \\ x\in[\pi; \frac{5\pi}{2}]\\x=\pi,2\pi;\\x=(2\pi+2 \frac{\pi}{3}); (2\pi- \frac{\pi}{3}); $$
Решите уравнение: 2 sin2x + 3cos²x·ctgx = (1 - 2cosx)ctgx. Найдите корни, принадлежащие промежутку (-π;π/2]
Решение: Запишем уравнение так 4*sin^2(x)*cos(x)+ 3*cos^2(x)·ctgx = (1 - 2cosx)ctgx Убеждаемся, что один из корней при cos(x) = 0. Далее, умножаем обе части уравнения на tg(x). Получаем: 2*sin(2*x)*tg(x) +3*cos^2(x) = 1 – 2*cos(x) 4*sin^2(x) +3*cos^2(x) = cos^2(x) – 2*cos(x) – 3 = 0 Корень cos(x) = 3 – не подходит. Остаётся cos(x) = - 1 Итак х = pi/2 +pi*n и х = pi+2*pi*n. Но при cos(x) = -1 sin(x) = 0 – это не входит в область определения уравнения. Таким образом, окончательный ответ: в данный промежуток входят точки: -pi/2 и pi/2 – это решение.А) Решите уравнение $$ 8^{x} -7*4 ^{x}- 2^{x+4}+112=0 $$
б) Найдите корни, принадлежащие промежутку $$ [ log_{2}5; log_{2}11] $$
Решение: Сделаем некоторые преобразования:8ˣ=2³ˣ,4ˣ=2²ˣ,2ˣ⁺⁴=16*2ˣ. Тогда имеем: 2³ˣ -7*2²ˣ - 16*2ˣ +112=0. Пусть 2ˣ =t, тогда имеем:
t³-7*t²-16t +112=0. (t³-7²t)-(16t -112)=0,
t^2(t-7)-16(t-7)=0 ,(t-7)(t² -16)=0. (t-7)( t-4)((t+4)=0
Тогда t₁=-4, t[₂=4, t₃=7.
2ˣ=-4-нет корней, 2ˣ=4, 2ˣ=2² или х=2
2ˣ=7 или log log₂2ˣ=log₂7 основание , х= log₂7
б). log₂7 ∈[log₂5 ;log₂11]
Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [-2П;П] 1+2sinx=0
Решение: 1+2sinx=0
2sinx=-1
sinx= -1/2
x=(-1)^(n+1) * (π/6) +πn, n∈Z
[-2π; π]
1) n= -2 x=(-1)⁻²⁺¹ * (π/6) - 2π = -π/6 - 2π = -2 ¹/₆ π ∉[-2π; π]
не подходит.
2) n= -1 x=(-1)⁻¹⁺¹ * (π/6) - π = π/6 - π = -5π/6 ∈[-2π; π]
подходит;
3) n=0 x=(-1)¹ * (π/6) = -π/6 ∈[-2π; π]
подходит
4) n=1 x=(-1)² * (π/6)+π = π/6 + π = 1 ¹/₆ π∉[-2π; π]
не подходит
Ответ: -5π/6; -π/6.Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [0;2п] x=(-1)^к+1 п/6+пк, к принадлежит z
Решение: X = (-1)^(k + 1) π/6 + πk, k ∈Z, [0; 2π]
1) k = 0
x = (-1)^1 π/6 + 0 = -π/6 ( не входит в указанный промежуток)
2) к = 1
х = (-1)^2 ·π/6 + π = π/6 + π = 7π/6 ( входит в указанный промежуток)
3) к = 2
х = (-1)^3·π/6 + 2π = -π/6 + 2π = 11π/6 ( входит в указанный промежуток)
4) к = 3
х = (-1)^4 ·π/6 + 3π = π/6 + 3π = 19π/6 (не входит в указанный промежуток)
