найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку - страница 2

Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [-π;π). Уравнение уже решено: КАК НАЙТИ КОРНИ ИМЕННО ЭТОГОПРОМЕЖУТКА?
cos(4x+π/4)=-корень из 2/2
4x+π/4=±(π-π/4)+2πn,n∈ℤ
4x=±3π/4-π/4+2πn,n∈ℤ
x=±3π/16-π/16+πn2,n∈ℤ

Перебираем все целые числа n

если n=0, то x= п/8 (корень подходит)

если n=1, то x= 5п/8 (корень подходит)

если n=2, то x= 9п/8 (корень не подходит, потому что больше п), следовательно, все n, которые больше 2, не будут удовлетворять условию. Переходим на отрицательные.

если n=-1, то x= -3п/8 (корень подходит)

если n=-2, то x= -7п/8 (корень подходит)

если n=-3, то x= -11п/8 (корень не подходит, потому что меньше -п), следовательно, все n, которые меньше -3, не будут удовлетворять условию.

х = -п/4 + пn/2 

Перебираем все целые числа n

если n=0, то x= -п/4 (корень подходит)

если n=1, то x= п/4 (корень подходит)

если n=2, то x= 3п/4 (корень подходит)

если n=3, то х= 5п/4 (корень не подходит, потому что больше п), следовательно, все n, которые больше 3, не будут удовлетворять условию. Переходим на отрицательные.

если n=-1, то x= -3п/4 (корень подходит)

если n=-2, то x= -5п/4 (корень не подходит, потому что меньше -п), следовательно, все n, которые меньше -2, не будут удовлетворять условию.

Найдите корни уравнение, принадлежащие промежутку [0;2pi] Указать наименьший корень.
Ответ указать в градусах.
Уравнение: $$ tgx*cosx+sinx*cosx=0 $$

Найдите корни уравнения принадлежащие промежутку [0;2pi]
Укажите наибольший корень.
Ответ указать в градусах. (1 + cos x)(√2sin x - 1) = 0

А) Решите уравнение. 2cos2x-4cosx-1=0
Б) Найдите все корни, принадлежащие промежутку {-5п/2; -п}

1)Решите уравнение: sin2x=cos(3п/2+x)

2) Найдите все корни, принадлежащие промежутку (4п/3; 4п]

1)
$$ \sin2x=\cos(\frac{3\pi}{2}+x); \\ 2\sin x\cos x=\cos\frac{3\pi}{2}\cdot\cos x-\sin\frac{3\pi}{2}\cdot\sin x;\\ |\sin\frac{3\pi}{2}=-1;\\ \cos\frac{3\pi}{2}=0;| \\ 2\sin x\cos x=0\cdot\cos x-(-1)\cdot\sin x;\\2\sin x\cos x=\sin x; \\ 2\sin x\cos x-\sin x=0;\\sin x(2\cos x-1)=0;\\1) \sin x=0\ \\ \ x=\pi n, n\in Z;\\2) 2\cos x-1=0;\\2\cos x=1;\\\cos x=\frac12;\\x=\pm\arccos\frac12+2\pi k=\pm\frac\pi3+2\pi k. k\in Z\\ \left[ {{x=\pi n} \atop {x=\pm\frac\pi3+2\pi k}} \right.\ \\ \ n,k\in Z $$
2)
$$ x\in(\frac{4\pi}{3};4\pi]=(\pi+\frac{\pi}{3};4\pi] \\ 1) x=\pi n;\ \\ \=1:x=\piotin(\frac{4\pi}{3};4\pi];\=2:x=2\pi\in(\frac{4\pi}{3};4\pi];\=3:x=3\pi\in(\frac{4\pi}{3};4\pi];\=4:x\in(\frac{4\pi}{3};4\pi];\=5:xotin(\frac{4\pi}{3};4\pi];\ $$
$$ 2) x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k;\\ k=0:x=\pm\frac\pi3otin(\frac{4\pi}{3};4\pi]; \\ k=1:x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi= \left[ {x=\frac{5\pi}{3}\in(\frac{4\pi}{3};4\pi];} \atop {x=\frac{7\pi}{3}\in(\frac{4\pi}{3};4\pi];} \right. \\k=2:x=\pm\frac\pi3+4\pi= \left[ {x=\frac{11\pi}{3}\in(\frac{4\pi}{3};4\pi]} \atop {x=\frac{13\pi}{3}otin(\frac{4\pi}{3};4\pi]} \right. $$
имеем такие ответы
$$ 2) x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k; \\ k=0:x=\pm\frac\pi3otin(\frac{4\pi}{3};4\pi]; \\ k=1:x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi= \left[ {x=\frac{5\pi}{3}\in(\frac{4\pi}{3};4\pi];} \atop {x=\frac{7\pi}{3}\in(\frac{4\pi}{3};4\pi];} \right. \\ k=2:x=\pm\frac\pi3+4\pi= \left[ {{x=\frac{11\pi}{3}\in(\frac{4\pi}{3};4\pi]} \atop {x=\frac{13\pi}{3}otin(\frac{4\pi}{3};4\pi]}} \right. \\ x=\frac{5\pi}{3};2\pi; \frac{7\pi}{3}; 3\pi; \frac{11\pi}{3}; 4\pi $$

Решите уравнение 2sin^2(П/2-х) = -√3cosx
Найдите его корни, принадлежащие промежутку -3П ; -3П/2

П/2 - следовательно, меняем sin на cos. Четверть I, значит, знак +.

2cos^2x=√3cosx;

Переносим:

2cos^2x - √3cosx = 0;

Выносим cos:

cosx(2cosx -√3) = 0;

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, другой, при этом определен:

cosx = 0 или 2cosx = √3;

x=+-П/2 + 2ПK, K c Z. cosx = √3/2;

  x = +- П/6 +2Пn, n c Z;

2) Не точно указали промежуток. Корни: -5П/2; -13П/6; -11П/6; Если дан отрезок - еще -3п/2. Если интервал - только те 3 корня.

Решите уравнение 3cosx + cos^2(3pi/2-x)=0 и найдите все корни, принадлежащие промежутку [-5pi/4;8pi/3]

cos2x=sin(x+pi/2) Найдите корни этого уравнения,принадлежащие промежутку [-2pi;-pi]

cos2x=cosx

2cos^2x-1-cosx=0

пусть cosx=t? -1<=t<=1

2t^2-t-1=0

D=1+8=9, d=3

t=-1/2

t=1

cosx=-1/2 cosx=1

x=+-pi/3+2pi*n, n принадлежит z x=2pi*n, n принадлежит z

1. -2pi<=pi/3+2pi*n<=-pi (умножаем на 3)

  -6pi<=pi+6pi*n<=-3pi (переносим pi)

  -5pi<=6pi*n<=-4pi (делим на 6pi)

  -5/6<=n<=-4/6

корней нет

2. -2pi<=-pi/3+2pi*n<=-pi (умножаем на 3)

  -6pi<=-pi+6pi*n<=-3pi (переносим pi)

  -5pi<=6pi*n<=-2pi (делим на 6pi)

  -5/6<=n<=-2/6

  корней нет

3. -2pi<=2pi*n<=-pi (делим на 2pi)

  -1<=n<=-1/2

n=-1, корень: -2pi

n=0, корень 0

По данному значению одной из тригонометрических функций и промежутку, которому принадлежит альфа, найдите значения остальных трёх основных тригонометрических функций: в) тангенс альфа=1/2, П < альфа < 3П/2
б) катангенс альфа = -3,3П/2 < альфа < 2П

1)tga=1/2
cos²a=1:(1+tg²a)=1:(1+1/4)=1:5/4=4/5
cosa=-2/√5=-2√5/5
sina=-√1-4/5=-1/√5=-√5/5
ctga=1/tga=2
2)ctga=-3
sin²a=1:(1+ctg²a)=1:(1+9)=1/10
sina=-√10/10
cosa=√1-1/10=3/√10=3√10/10
tga=1/ctga=-1/3

Определите число корней уравнения, принадлежащие промежутку [0;2π], используя график функции y=cosx.

$$ \cos2x=\dfrac15\\2\cos^2x-1=\dfrac15\\\cos^2x=\dfrac35\\\cos x=\pm\dfrac{\sqrt{15}}5 $$

Cмотрим на рисунок - видим 4 корня.