решение уравнений »
найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку - страница 2
3 tgx - 3 sin 2x = 0 решите уравнение и найдите корни, принадлежащие промежутку [п; 5п/2]
Решение: $$ 3tgx-2\sin2x=0;\\x eq \frac{\pi}{2} +\pi n, n \in Z $$
так как в Этих точках косинус равен 0, а тангенс, это синус делённый на косинус
$$ x\in(- \frac{\pi}{2}+\pi n; +\ \frac{\pi}{2}+\pi n), n\in Z\\3 \frac{\sin x}{\cos x}-3\cdot2\sin x\cos x=0;\\6\sin x( \frac{1}{2\cos x}-\cos x)=0\\ 6\frac{\sin x( \frac{1}{2}-\cos x) }{\cos x}=0\\ \left[ {{\sin x=0;} \atop {\cos x=\frac{1}{2}}} \right. =\\= \left[ {{x=\pi n, n \in Z} \atop {x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi m, m\in Z }} \right. \\ x\in[\pi; \frac{5\pi}{2}]\\x=\pi,2\pi;\\x=(2\pi+2 \frac{\pi}{3}); (2\pi- \frac{\pi}{3}); $$
Решите уравнение: 2 sin2x + 3cos²x·ctgx = (1 - 2cosx)ctgx. Найдите корни, принадлежащие промежутку (-π;π/2]
Решение: Запишем уравнение так 4*sin^2(x)*cos(x)+ 3*cos^2(x)·ctgx = (1 - 2cosx)ctgx Убеждаемся, что один из корней при cos(x) = 0. Далее, умножаем обе части уравнения на tg(x). Получаем: 2*sin(2*x)*tg(x) +3*cos^2(x) = 1 – 2*cos(x) 4*sin^2(x) +3*cos^2(x) = cos^2(x) – 2*cos(x) – 3 = 0 Корень cos(x) = 3 – не подходит. Остаётся cos(x) = - 1 Итак х = pi/2 +pi*n и х = pi+2*pi*n. Но при cos(x) = -1 sin(x) = 0 – это не входит в область определения уравнения. Таким образом, окончательный ответ: в данный промежуток входят точки: -pi/2 и pi/2 – это решение.А) Решите уравнение $$ 8^{x} -7*4 ^{x}- 2^{x+4}+112=0 $$
б) Найдите корни, принадлежащие промежутку $$ [ log_{2}5; log_{2}11] $$
Решение: Сделаем некоторые преобразования:8ˣ=2³ˣ,4ˣ=2²ˣ,2ˣ⁺⁴=16*2ˣ. Тогда имеем: 2³ˣ -7*2²ˣ - 16*2ˣ +112=0. Пусть 2ˣ =t, тогда имеем:
t³-7*t²-16t +112=0. (t³-7²t)-(16t -112)=0,
t^2(t-7)-16(t-7)=0 ,(t-7)(t² -16)=0. (t-7)( t-4)((t+4)=0
Тогда t₁=-4, t[₂=4, t₃=7.
2ˣ=-4-нет корней, 2ˣ=4, 2ˣ=2² или х=2
2ˣ=7 или log log₂2ˣ=log₂7 основание , х= log₂7
б). log₂7 ∈[log₂5 ;log₂11]
Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [-2П;П] 1+2sinx=0
Решение: 1+2sinx=0
2sinx=-1
sinx= -1/2
x=(-1)^(n+1) * (π/6) +πn, n∈Z
[-2π; π]
1) n= -2 x=(-1)⁻²⁺¹ * (π/6) - 2π = -π/6 - 2π = -2 ¹/₆ π ∉[-2π; π]
не подходит.
2) n= -1 x=(-1)⁻¹⁺¹ * (π/6) - π = π/6 - π = -5π/6 ∈[-2π; π]
подходит;
3) n=0 x=(-1)¹ * (π/6) = -π/6 ∈[-2π; π]
подходит
4) n=1 x=(-1)² * (π/6)+π = π/6 + π = 1 ¹/₆ π∉[-2π; π]
не подходит
Ответ: -5π/6; -π/6.Найдите корни уравнения, принадлежащие промежутку [0;2п] x=(-1)^к+1 п/6+пк, к принадлежит z
Решение: X = (-1)^(k + 1) π/6 + πk, k ∈Z, [0; 2π]
1) k = 0
x = (-1)^1 π/6 + 0 = -π/6 ( не входит в указанный промежуток)
2) к = 1
х = (-1)^2 ·π/6 + π = π/6 + π = 7π/6 ( входит в указанный промежуток)
3) к = 2
х = (-1)^3·π/6 + 2π = -π/6 + 2π = 11π/6 ( входит в указанный промежуток)
4) к = 3
х = (-1)^4 ·π/6 + 3π = π/6 + 3π = 19π/6 (не входит в указанный промежуток)
