Решение уравнений с модулем методом интервалов

При решении некоторых уравнений, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величины, часто используют так называемый метод интервалов. Продемонстрируем этот метод на примере уравнения

|x + 1| + |x - 2| = 3 (1)

Это уравнение содержит две абсолютные величины: | х + 1 | и | х - 2|. Первая из них обращается в нуль при х = - 1, а вторая - при х = 2. На числовой прямой отметим две точки: А с абсциссой - 1 и В с абсциссой 2. Тем самым числовая прямая разобьется на три интервала.

Первый (бесконечный) интервал включает в себя все точки, лежащие левее А, Второй (конечный) интервал содержит в себе точки А и В, а также все точки, лежащие между ними. Третий (бесконечный) интервал состоит из всех точек, лежащих правее В. В любом из этих трех интервалов каждое из выражений | х + 1 | и | х - 2| легко записывается без знака абсолютной величины. Так,

$$ |х + 1| = \begin{cases} -х - 1 \;\;в \;\;первом\;\; интервале;\\ х + 1 \;\;во\;\; втором\;\; и \;\;в \;\;третьем\;\; интервалах.\end{cases} $$

Аналогично,

$$ |х - 2| = \begin{cases} -х + 2 \;\;в \;\;первом \;\; и \;\;во \;\;втором \;\;интервалах;\\ х - 1 \;\; в \;\;третьем\;\; интервале.\end{cases} $$

Поэтому левая часть уравнения (1) представляется следующим образом:

в первом интервале (- х - 1) + (- х +2) = - 2х + 1;
во втором интервале (х + 1) + ( - х + 2) = 3;
в третьем интервале (х + 1) + (х - 2) = 2х - 1.

Теперь нетрудно найти все корни уравнения (1). Сразу же замечаем, что любое число из второго интервала

- 1 < х < 2

является корнем: ведь при любом значении х из этого интервала левая и правая части уравнений (1) принимают одно и то же числовое значение 3.

Обратимся к первому интервалу. Если в нем имеются корни, то они должны, очевидно, совпадать с корнями уравнения

- 2х + 1 = 3.

Это уравнение имеет единственный корень х = - 1, который мы уже получили раньше и который, кстати, не попадает в первый интервал. (Значение х = -1 принадлежит второму интервалу.) Таким образом, в первом интервале уравнение (1) не имеет корней.

Аналогично можно установить, что уравнение (1) не имеет корней и в третьем интервале. Предлагаем учащимся убедиться в этом самостоятельно.

Итак, уравнение (1) имеет бесконечное множество корней. Каждое число, заключенное в интервале

- 1 < х < 2,

является его корнем. Никаких других корней это уравнение не имеет.



« назад