Среднее арифметическое и среднее геометрическое

Средним арифметическим любых n чисел a₁, a₂, ... , a_n называется число

$$ \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} $$

Средним геометрическим n положительных чисел a₁, a₂, ... , a_n называется число

$$ \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2\cdot ... a_n} $$

Например, для чисел 2 и 8 средним арифметическим будет число \(\frac{2+8}{2}=5\), а средним геометрическим — число \(\sqrt{2\cdot 8} = 4\). Среднее арифметическое чисел 10, 10 и 80 равно \( \frac{10+10+80}{3}=33\frac{1}{3}\), а среднее геометрическое \( \sqrt[3]{10\cdot 10\cdot 80} = \sqrt[3]{8000} = 20\)

Для чисел 5, 5 и 5 средним арифметическим будет число \( \frac{5+5+5}{3}=5 \), а средним геометрическим \(\sqrt[3]{5\cdot 5\cdot 5} = 5\).

Заметим, что во всех трех случаях среднее арифметическое оказалось не меньше их среднего геометрического, причем равными они получились лишь в третьем примере, где все рассматриваемые числа равны друг другу. И это не случайно. Имеет место следующая общая теорема.

Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом

Теорема. Среднее арифметическое n положительных чисел не меньше их среднего геометрического:

$$ \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2\cdot ... a_n} $$

Знак равенства в этой формуле имеет место тогда и только тогда, когда все n чисел a₁, a₂, ... , a_n равны между собой.

Ранее было показано, что для любых двух положительных чисел а и b справедливо неравенство

$$ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} $$

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда а = b. Тем самым была доказана теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух положительных чисел. В общем случае доказательство этой теоремы довольно грoмоздко и поэтому здесь не приводится.

Неравенство

$$ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} $$

верное для любых положительных чисел а и b, было известно еще в древние времена. Приведенный ниже рисунок можно считать геометрической интерпретацией данного неравенства. На рисунке

\( CD=\sqrt{AD\cdot DB}, \;\;\; CO = AO = \frac{AD+DB}{2} \)

Обобщение данного неравенства на случай произвольного числа положительных чисел (теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом) было получено французским математиком Коши (1789—1857).

Пример 1. Доказать, что для любых чисел a, b и с, имеющих одинаковые знаки,

^a/_b + ^b/_c + ^c/_a > 3

Действительно, по теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом

$$ \frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}{3} \geq \sqrt[3]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}} $$

откуда и вытекает требуемое соотношение.

Пример 2. Доказать, что для произвольного положительного числа а справедливо неравенство

$$ 99a + 1 \geq 100\sqrt[100]{a^{99}} $$

причем знак равенства имеет место только при a = 1.

Применяя теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом к 100 числам \(a, a, a, ... a, 1 \) получаем

$$ \frac{99a + 1}{100} \geq \sqrt[100]{a^{99}\cdot 1} $$

откуда вытекает требуемое соотношение. Знак равенства имеет место лишь в том случае, когда все 100 чисел равны между собой, то есть при a = 1.

Из теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом вытекает следующее важное следствие.

Следствие. Если произведение n положительных чисел равно 1, то их сумма не меньше n. Другими словами, если положительные числа a₁, a₂, ... , a_n удовлетворяют условию

a₁• a₂• ... • a_n= 1,

то

a₁+ a₂+ ... + a_n > n (1)

Действиательно,

$$ \frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2\cdot ... a_n} $$

откуда и получается неравенство (1).

На практике соотношение (1) особенно часто используется при n = 2. Сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше 2:

а + ¹/_a > 2 (а > 0).

Теоремы о постоянной сумме и постоянном произведении

Из теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом вытекают две важные теоремы, которые очень часто используются при решении практических задач.

Теорема о постоянной сумме. Если сумма двух положительных величин постоянна, то их произведение будет наибольшим тогда итолько тогда, когда эти величины примут равные значения.

Например, если сумма двух положительных величин а и b равна 10, то возможны случаи: а= 1, b= 9; а= 2, b= 8; а= 3,5, b= 6,5; а= 4,1, b= 5,9; а= 5, b= 5 и т.,д.

Этим случаям соответствуют следующие значения произведения ab: 9; 16; 22,75; 24,19; 25 Наибольшее произведение (25) будет при а= b =5.

Доказательство теоремы Пусть сумма двух положительных величин а и b равна с. Тогда по теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом получаем:

$$ \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}, \;\;\; или \;\;\; \sqrt{ab} \leq \frac{c}{2} $$

При этом, если а = b, то \(\sqrt{ab}\)= ^c/₂; если же а =/=b ,то \(\sqrt{ab}\)< ^c/₂

Следовательно, \(\sqrt{ab}\) будет наибольшим при а = b. Но тогда, очевидно, и подкоренное выражение ab будет наибольшим при а = b.

Задача. Какой наибольший по площади прямоугольный участок можно огородить забором длины l ?

Решение. Пусть длина участка равна х, а ширина у. Тогда площадь его будет равна ху. По условию задачи 2x + 2у = l , или х + у = ^l/₂. Так как

сумма х +у постоянна, то произведение ху будет наибольшим при х = у. Следовательно, если мы хотим забором длины lогородить наибольший по площади прямоугольный участок, то должны огораживать участок, имеющий форму квадрата. Сторона такого квадрата равна ^l/₄, а площадь l²/16

Теорема о постоянном произведении. Если произведение двух положительных величин постоянно, то их сумма будет наименьшей тогда и только тогда, когдa эти величины примут равные значения.

Например, если произведение двух положительных величин а и b равно 16, то возможны случаи: а= 1, b =16; а =2, b= 8; а =4, b= 4; а = 5, b= ¹⁶/₅и т . д. Этим случаям соответствуют суммы а + b: 17; 10; 8; 8 ¹/₅и т. д.

Наименьшая сумма (8) будет при а = b =4.

Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы о постоянной сумме. Предлагаем учащимся провести его самостоятельно.

Задача. Какую наименьшую длину должен иметь забор, чтобы им можно было огородить прямоугольный участок, площадь которого равна S?

Решение. Пусть длина прямоугольного участка равна х, а ширина у. Тогда длина забора будет равна 2(х + у). Площадь участка равна ху = S

Так как произведение ху постоянно, то сумма х + у будет наименьшей при х = у =\(\sqrt{S}\). Следовательно, наименьшая длина забора равна

2 (\(\sqrt{S}\)+ \(\sqrt{S}\)) = 4\(\sqrt{S}\)