Дробно-линейные функции

Рассмотрим некоторые вопросы поведения функций вида

$$ y=\frac{ax+b}{cx+d} \;\;\;(1) $$

где а, b, с и d - заданные числа, причем с отлично от нуля. Такие функции называются дробно-линейными (обычно, говоря о функциях вида (1), предполагают, что ad - bc \(\neq\) 0. Это условие мы заменяем здесь более простым условием с \(\neq\) 0.).

Прежде всего отметим, что дробно-линейная функция (1) определена при всех значениях аргумента х, кроме х = - d/c .

Те значения аргумента, при которых функция определена, в математике принято называть областью определения этой фукции. Поэтому можно сказать, что областью определения дробно-линейной функции (1) служит множество всех чисел, кроме - d/c.

Так, областью определения функции \(y=\frac{x-1}{3-7x}\) будет множествo всех чисел, кроме 3/7; область определения функции \( y=\frac{2}{x-1} \) состоит из всех чисел, кроме 1.

Теперь на частном примере покажем, как можно выяснить, при каких значениях аргумента х дробно-линейная функция принимает положительные значения, при каких - отрицательные значения и при каких она обращается в нуль. Пусть

$$ y=\frac{x-1}{3-7x} $$

Рассмотрим отдельно числитель и знаменатель данной дроби. При х > 1 числитель х - 1 положителен, а при х < 1 - отрицателен. Этот факт отмечен на верхней прямой рисунка: заштрихованная область этой числовой прямой соответствует тем значениям аргумента х, при которых числитель х - 1 положителен, а незаштрихованная - тем значениям аргумента х, при которых числитель х - 1 отрицателен.

заштрихованная область этой числовой прямой соответствует тем значениям аргумента <b><i>х</i></b>, при которых числитель <b><i>х</i></b> - 1 положителен, а незаштрихованная - тем значениям аргумента <b><i>х</i></b>, при которых числитель <b><i>х</i></b> - 1 отрицателен.

Решая неравенство

3 - 7х > 0,

получаем: х < 3/7. Поэтому знаменатель 3 - 7х данной дроби будет положительным при х < 3/7 ; этот факт отмечен с помощью штрихов на нижней числовой прямой рисунка 34. При х > 3/7 знаменатель будет, очевидно, отрицательным.

Сравнение двух числовых прямых на рисунке дает: при 3/7 < х < 1 знаки числителя и знаменателя данной дроби совпадают (оба «-»); при х < 3/7 и при х > 1 они разные. Поэтому при 3/7 < х < 1 данная функция \(y=\frac{x-1}{3-7x}\) принимает положительные значения, а при х < 3/7 и при х > 1 - отрицательные значения. В точке х = 1 она обращается в нуль, а при х = 3/7 вообще не определена (рис.).

принимает положительные значения, а при <b><i>х </i></b>< <sup>3</sup>/<sub>7</sub> и при <i><b>х</b></i> > 1 - отрицательные значения

Описанным способом можно решать и некоторые неравенства, содержащие дробно-линейные выражения. Покажем, например, как решается неравенство

$$ \frac{2}{x-1} < 4 $$

Перенося 4 в левую часть, получаем эквивалентное неравенство

$$ \frac{2}{x-1} - 4 < 0, \;\;\; или \;\;\; \frac{6-4x}{x-1} < 0 $$

Числитель 6 - 4х полученной дроби положителен при х < 3/2 и отрицателен при х > 3/2 .

Знаменатель х- 1 положителен при х > 1 и отрицателен при х < 1 (рис.).

Знаменатель <b><i>х</i></b>- 1 положителен при <b><i>х</i></b> > 1 и отрицателен при <b><i>х </i></b>< 1

Поэтому дробь \( \frac{6-4x}{x-1} \) принимает отрицательные значения при х < 1 и при х > 3/2.

Таким образом, неравенству \( \frac{2}{x-1} < 4 \) удовлетворяют все значения х < 1 и х > 3/2

Подчеркнем, что данное неравенство нельзя решать путем почленного умножения на х - 1, так как в этом случае получилось бы неравенство, не эквивалентное, данному. В самом деле, мы имели бы

2 < 4(х-1),

6 < 4х,

х > 3/2

Оказались потерянными решения х < 1.

Правильным является ответ: х < 1; х > 3/2.



« назад