Дробно-линейные функции

Рассмотрим некоторые вопросы поведения функций вида

где а, b, с и d - заданные числа, причем с отлично от нуля. Такие функции называются дробно-линейными (обычно, говоря о функциях вида (1), предполагают, что ad - bc \(\neq\) 0. Это условие мы заменяем здесь более простым условием с \(\neq\) 0.).

Прежде всего отметим, что дробно-линейная функция (1) определена при всех значениях аргумента х, кроме х = - ^d/_c .

Те значения аргумента, при которых функция определена, в математике принято называть областью определения этой фукции. Поэтому можно сказать, что областью определения дробно-линейной функции (1) служит множество всех чисел, кроме - ^d/_c.

Так, областью определения функции \(y=\frac{x-1}{3-7x}\) будет множествo всех чисел, кроме ³/₇; область определения функции \( y=\frac{2}{x-1} \) состоит из всех чисел, кроме 1.

Теперь на частном примере покажем, как можно выяснить, при каких значениях аргумента х дробно-линейная функция принимает положительные значения, при каких - отрицательные значения и при каких она обращается в нуль. Пусть

Рассмотрим отдельно числитель и знаменатель данной дроби. При х > 1 числитель х - 1 положителен, а при х < 1 - отрицателен. Этот факт отмечен на верхней прямой рисунка: заштрихованная область этой числовой прямой соответствует тем значениям аргумента х, при которых числитель х - 1 положителен, а незаштрихованная - тем значениям аргумента х, при которых числитель х - 1 отрицателен.

Решая неравенство

3 - 7х > 0,

получаем: х < ³/₇. Поэтому знаменатель 3 - 7х данной дроби будет положительным при х < ³/₇ ; этот факт отмечен с помощью штрихов на нижней числовой прямой рисунка 34. При х > ³/₇ знаменатель будет, очевидно, отрицательным.

Сравнение двух числовых прямых на рисунке дает: при ³/₇ < х < 1 знаки числителя и знаменателя данной дроби совпадают (оба «-»); при х < ³/₇ и при х > 1 они разные. Поэтому при ³/₇ < х < 1 данная функция \(y=\frac{x-1}{3-7x}\) принимает положительные значения, а при х < ³/₇ и при х > 1 - отрицательные значения. В точке х = 1 она обращается в нуль, а при х = ³/₇ вообще не определена (рис.).

Описанным способом можно решать и некоторые неравенства, содержащие дробно-линейные выражения. Покажем, например, как решается неравенство

Перенося 4 в левую часть, получаем эквивалентное неравенство

Числитель 6 - 4х полученной дроби положителен при х < ³/₂ и отрицателен при х > ³/₂ .

Знаменатель х- 1 положителен при х > 1 и отрицателен при х < 1 (рис.).

Поэтому дробь \( \frac{6-4x}{x-1} \) принимает отрицательные значения при х < 1 и при х > ³/₂.

Таким образом, неравенству \( \frac{2}{x-1} < 4 \) удовлетворяют все значения х < 1 и х > ³/₂

Подчеркнем, что данное неравенство нельзя решать путем почленного умножения на х - 1, так как в этом случае получилось бы неравенство, не эквивалентное, данному. В самом деле, мы имели бы

2 < 4(х-1),

6 < 4х,

х > ³/₂

Оказались потерянными решения х < 1.

Правильным является ответ: х < 1; х > ³/₂.