Линейные функции и их графики
Рассмотрим равенство
у = 2х + 1. (1)
Каждому значению буквы х это равенство ставит в соответствие вполне определенное значение буквы у. Если, например, x = 0, то у = 2 • 0 + 1 = 1; если х = 10, то у = 2 • 10 + 1 = 21; при х = - 1/2 имеем у = 2 • (- 1/2 ) + 1= 0 и т. д. Обратимся к еще к одному равенству:
у = х 2 (2)
Каждому значению х это равенство, как и равенство (1), ставит в соответствие вполне определенное значение у. Если, например, х = 2, то у = 4; при х = - 3 получаем у = 9 и т. д. Равенства (1) и (2) связывают между собой две величины х и у так, что каждому значению одной из них (х) ставится в соответствие вполне определенное значение другой величины (у).
Если каждому значению величины х соответствует вполне определенное значение величины у, то эта величина у называется функцией от х. Величина х при этом называется аргументом функции у.
Таким образом, формулы (1) и (2) определяют две различные функции аргумента х.
Функция аргумента х , имеющая вид
у = ах + b, (3)
где а и b - некоторые заданные числа, называется линейной. Примером линейной функции может служить любая из функций:
у = х + 2 (а = 1, b = 2);
у = - 10 (а = 0, b = - 10);
у = - 3х (а = - 3, b = 0);
у = 0 (а = b = 0).
Как известно из курса VIII класса, графиком функции у = ах + b является прямая линия. Поэтому-то данная функция и называется линейной.
Напомним, как строится график линейной функции у = ах + b.
График функции у = b
При a = 0 линейная функция у = ах + b имеет вид у = b. Ее графиком служит прямая, параллельная оси х и пересекающая ось у в точке с ординатой b. На рисунке вы видите график функции у = 2 (b > 0), а на другом - график функции у = - 1 (b < 0).
Если не только а, но и b равно нулю, то функция у= ах+ b имеет вид у = 0. В этом случае ее график совпадает с осью х (нижний рисунок)
График функции у = ах
При b = 0 линейная функция у = ах + b имеет вид у = ах.
Если а \(\neq\) 0, то графиком ее является прямая, проходящая через начало координат и наклоненная к оси х под углом φ, тангенс которого равен а (рис. 4). Для построения прямой у = ах достаточно найти какую-нибудь одну ее точку, отличную от начала координат. Полагая, например, в равенстве у = ах х = 1, получим у = а. Следовательно, точка М с координатами (1; а) лежит на нашей прямой (рис.). Проводя теперь прямую через начало координат и точку М, получаем искомую прямую у = аx.
На рисунке слева для примера начерчена прямая у = 2х (а > 0), а на правом рисунке - прямая у = - х (а < 0).
График функции у = ах + b
Пусть b > 0. Тогда прямая у = ах + b получается посредством параллельного сдвига прямой у = ах на b единиц вверх. В качестве примера на рисунке слева показано построение прямой у = x/2 + 3.
Если b < 0, то прямая у = ах + b получается посредством параллельного сдвига прямой у = ах на - b единиц вниз. В качестве примера на рисунке справа показано построение прямой у = x/2 - 3
Прямую у = ах + b можно построить и другим способом.
Любая прямая полностью определяется двумя своими точками. Поэтому для построения графика функции у = ах + b достаточно найти какие-нибудь две его точки, а затем провести через них прямую линию. Поясним это на примере функции у = - 2х + 3.
При х = 0 у = 3, а при х = 1 у = 1. Поэтому две точки: М с координатами (0; 3) и N с координатами (1;1) - лежат на нашей прямой. Отметив эти точки на плоскости координат и соединив их прямой линией, получим график функции у = - 2х + 3.
Вместо точек М и N можно было бы взять, конечно, и другие две точки. Например, в качестве значений х мы могли бы выбрать не 0 и 1, как выше, а - 1 и 2,5. Тогда для у мы получили бы соответственно значения 5 и - 2. Вместо точек М и N мы имели бы точки Р с координатами (- 1; 5) и Q с координатами (2,5; - 2). Эти две точки, так же как и точки М и N, полностью определяют искомую прямую у = - 2х + 3.
Как найти координаты точки пересечения графиков двух линейных функций?
Чтобы найти координаты точки пересечения графиков двух линейных функций, следует приравнять выражения y в этих функциях.
Решив уравнение, найдем абсциссу точки пересечения, а подставив значение x в любую из формул, найдем y.
Для проверки подставьте в обе формулы, чтобы убедиться, что результаты одинаковые.
