График квадратной функции

Покажем, как строится график квадратной функции у = ax2 + bx + c. Наше рассмотрение придется разбить на ряд отдельных этапов.

1. График функции у = x2.

Этот график строится «по точкам». Составим следующую таблицу значений функции:

x -3 -2 -1 -1/2 0 1/2 1 2 3 ...
\(y=x^2\) 9 4 1 1/4 0 1/4 1 4 9 ...

Отметим соответствующие точки на плоскости координат и соединим их плавной кривой (рис.). Эта кривая называется параболой.На рисунке парабола у = x2 начерчена лишь при -3 < х < 3. При |х| > 3 она уходит (и притом весьма круто) все выше и выше.

парабола <b><i>у </i></b>= <b><i>x</i></b><sup>2</sup> начерчена при -3 < <b><i>х</i></b> < 3

Парабола у = x2 обладает следующими основными свойствами.

  1. Она лежит целиком в верхней полуплоскости. Это соответствует тому, что функция у = x2 принимает только неотрицательные значения. В начале координат парабола касается оси абсцисс. Это самая низкая точка графика; она называется вершиной параболы.
  2. Парабола симметрична относительно оси ординат. Если перегнуть данный рисунок по оси у, то левая и правая части параболы совместятся. Это служит графической иллюстрацией того, что функция у = x2 не меняет своих значений при изменении знака у аргумента:

    (- x)2 = x2

Такие функции называются четными.

2. График функции у = αx2.

График функции у = αx2, так же как и график функции у = x2, легко строится «по точкам».

Сначала рассмотрим случай, когда α > 0. На рисунке представлены графики функций у = αx2 при α = 1/2; 1; 2.

На рисунке представлены графики функций <b><i>у </i>= α<i>x</i></b><sup>2</sup> при <b>α</b> = <sup>1</sup>/<sub>2</sub>; 1; 2

Во всех этих случаях получаются кривые, симметричные относительно оси ординат и расположенные целиком в верхней полуплоскости. Каждая из этих кривых направлена вверх. Эти кривые, так же как и кривая у = x2, называются параболами. Начало координат является их общей вершиной, а ось ординат - их общей осью симметрии. Из рисунка 65 видно, что, чем больше α, тем круче ветви параболы у = αx2; чем меньше α, тем они положе.

Теперь рассмотрим случай, когда α < 0. На рисунке представлены кривые у = αx2 при α = - 1/2; -1; -2. Эти направленные вниз кривые также называются параболами. Общая вершииа -начало координат - является их наивысшей точкой. Ось ординат для каждой из этих кривых служит осью симметрии. Чем больше абсолютная величина α, тем круче ветви параболы; чем она меньше, тем положе ветви параболы.

3. График функции у = α(х - β)2.

Сравним между собой две функции: у1 = α(х - β)2 и у2 = αx2, где β > 0.

График функции у = α(х - β)<sup>2</sup>

Пусть М1 -произвольная точка графика первой функции (рис.). Тогда ее координаты (x0 , y0) связаны соотношением у0 = α(х0 - β)2.

Но это соотношение показывает, что точка М2 с координатами (х0 - β, y0) должна принадлежать графику второй функции. Значит, каждая точка кривой у = α(х - β)2 получается из соответствующей точки кривой у = αx2 (см. рис.) посредством переноса (или смещения) вправо по направлению оси х на расстояние β. Поэтому и вся кривая у = α(х - β)2 получается посредством переноса кривой у = αx2 вправо на β.

Например, кривая у = 2(х-1)2 получается из кривой у = 2x2, если последнюю сместить на 1 вправо (рис.).

Например, кривая <b><i>у</i></b> = 2(<b><i>х</i></b>-1)<sup>2</sup> получается из кривой <b><i>у</i></b> = 2<b><i>x</i></b><sup>2</sup>, если последнюю сместить на 1 вправо

кривая у = -0,5 (х-3)2 получается смещением кривой у = -0,5 х2 вправо на 3 единицы (рис.).

Вершиной параболы <b><i>у</i></b> = <b>α<i>x</i></b><sup>2</sup> является точка с координатами (0, 0)

Вершиной параболы у = αx2 является точка с координатами (0, 0), а осью симметрии - прямая х = 0. При смещении вправо по направлению оси х на расстояние β точка с координатами (0, 0) переходит в точку с координатами (β, 0), а прямая х = 0 - в прямую х = β (рис.). Поэтому вершиной параболы у = α(х - β)2 будет точка с координатами (β, 0), а осью симметрии - прямая х = β.

Парабола <b><i>у</i></b> = <b>α<i>x</i></b><sup>2</sup> направлена вверх при <b>α </b>> 0 и вниз при <b>α </b>< 0

Парабола у = αx2 направлена вверх при α > 0 и вниз при α < 0. Поэтому такое же направление будет иметь и парабола у = α(х - β)2.

Итак, графиком функции у = α(х - β)2 является парабола, направленная вверх, если α > 0 и вниз при α < 0. Вершиной этой параболы является точка с координатами (β, 0), а осью симметрии - прямая х = β.

Точно так же может быть построен и график функции у = α(х + β)2, где β > 0.

Он представляет собой параболу, которая получается посредством смещения параболы у = αx2 влево на β . Эта парабола направлена вверх, если α > 0 (рис. а), и вниз, если α < 0 (рис. б). Вершина ее находится в точке с координатами (- β, 0); осью симметрии служит прямая х = - β.

Эта парабола направлена вверх, если <b>α </b>> 0

На рисунке ниже вы видите график функции у = 2(х + 1)2. Он получен посредством параллельного переноса параболы у = 2х2 влево на 1.

На рисунке ниже вы видите график функции <b><i>у</i></b> = 2(<b><i>х</i></b> + 1)<sup>2</sup>

График функции у = -0,5 (х + 3)2 (рис.) получен посредством параллельного переноса параболы у =-0,5х2 влево на 3.

График функции <b><i>у</i></b> = -0,5 (<b><i>х</i></b> + 3)<sup>2</sup>

4. График функции у = α(х - β)2 + γ Этот график получается посредством смещения параболы у = α(х - β)2 по направлению оси у вверх на расстояние γ , если γ > 0, и вниз на расстояние - γ , если γ < 0. В результате смещения получается парабола с вершиной в точке, координаты которой равны (β, γ ). Осью симметрии такой параболы служит прямая х = β.

При смещении вверх или вниз плраболу у = α(х - β)2 не меняет своего направления. Поэтому параболы у = α(х - β)2 + γ и у = α(х - β)2 имеют одно и то же направление: при α > 0 - вверх, a при α < 0 - вниз.

В качестве примера на рисунке представлен график функции у = -0,5 (х + 3)2 + 1, который получается смещением графика у = -0,5 (х + 3)2 вверх на 1.

график функции <b><i>у</i></b> = -0,5 (<b><i>х</i></b> + 3)<sup>2 </sup>+ 1, который получается смещением графика <b><i> у</i></b> = -0,5 (<b><i>х</i></b> + 3)<sup>2</sup> вверх на 1

На рисунке ниже вы видите график функции у = 2(х + 1)2 -3, полученный из графика у = 2(х + 1)2 смещением вниз на 3 по оси симметрии.

график функции <b><i>у</i></b> = 2(<b><i>х</i></b> + 1)<sup>2 </sup>-3, полученный из графика <b><i>у</i></b> = 2(<b><i>х</i></b> + 1)<sup>2</sup> смещением вниз на 3 по оси симметрии

5. График функции у = ax2 + bx + c.

Как отмечалось ранее, квадратный трехчлен ax2 + bx + c представим в виде

$$ ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} $$

Последнее выражение имеет вид у = α(х - β)2 + γ , где

$$ \alpha=a \;\;\; \beta=\frac{b}{2a} \;\;\; \gamma = -\frac{b^2-4ac}{4a} $$

Поэтому графиком функции у = ax2 + bx + c является парабола с вершиной в точке

$$ (-\frac{b}{2a}, \;\;\; -\frac{b^2 - 4ac}{4a}) $$

Осью симметрии этой параболы является прямая х = - b/2a. При а > 0 парабола направлена вверх, а при а < 0 - вниз.


Примеры построения графика квадратной функции

Пример 1. Построить график функции

у = 2x2 + 12х + 17.

Преобразуем квадратный трехчлен у = 2x2 + 12х + 17, выделив полный квадрат:

2x2 + 12х + 17 = 2 (x2 + 6х + 17/2) = 2 (x2+ 2•3•х + 9 ) - 9 + 17/2 = 2 [(х + 3)2 - 1/2] = = 2 (х + 3)2- 1.

Теперь построение графика можно выполнить в следующей последовательности.

построение графика можно выполнить в следующей последовательности

1) «По точкам» строим график функции у = 2x2 (I, рис.).

2) Смещаем этот график на 3 единицы влево.

В результате получаем кривую у = 2 (х + 3)2 (II).

3) Эту кривую опускаем вниз на 1 (III, рис.).

Полученная парабола и есть график функции у = 2x2 + 12х + 17.

Ее вершина имеет координаты (-3, -1), а осью симметрии является прямая х = -3.

Пример. 2. Построить график функции у =| -2x2 + 3 |.

график функции <b><i>у</i></b> = - 2<b><i>x</i></b><sup>2</sup> + 3

Сначала построим график функции у = - 2x2 + 3 (рис. а). Затем ту часть этого графика, которая лежит выше оси х (для нее -2x2 + 3 > 0), оставим без изменения, а ту часть графика, которая лежит ниже оси х (для нее -2x2 + 3 < 0), отобразим симметрично относительно оси х. Полученная в результате этого кривая (рис. б, сплошная линия) и есть график функции у = |-2x2 + 3|.


Характеристические точки параболы

Характеристическими точками параболы у = ax2 + bx + c мы называем ее вершину и точки пересечения с осями координат.

Вершину имеет любая парабола у = ax2 + bx + c . Координаты этой вершины легко найти, выделив в квадратном трехчлене ax2 + bx + c полный квадрат (см. § 49). Например, для параболы у = x2 + 4x +3 имеем:

x2 + 4x +3 = (х + 2)2 - 1.

Поэтому абсцисса вершины равна -2, а ордината -1

Поэтому абсцисса вершины равна -2, а ордината -1 (рис.).

Точку пересечения с осью у имеет также любая парабола у = ax2 + bx + c . Абсцисса точки пересечения равна, очевидно, нулю, а ордината с. Она получается, если в выражении ax2 + bx + c положить х = 0.

Например, точка пересечения параболы у = x2 + 4x +3 с осью ординат (рис.) имеет координаты (0,3).

Точки пересечения с осью х . имеет не всякая парабола у = ax2 + bx + c. Если дискриминант D = b2 - 4ас положителен, то уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет два различных действительных корня:

$$ x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}; \;\;\; x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} $$

В этом случае парабола у = ax2 + bx + c пересекает ось х в двух точках с абсциссами x1 и x2 соответственно.

Так, для квадратного трехчлена x2 + 4x +3 D = 16 - 12 = 4 > 0. Этот квадратный трехчлен имеет два корня: x1 = -1 , x2 = -3. Поэтому парабола у = x2 + 4x +3 пересекает ось x в двух точках (рис. 78), абсциссы которых равны - 1 и - 3.

Если D = b2 - 4ас = 0, то уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет один действительным корень х = - b/2a

В этом случае уравнений параболы можно записать в виде у = а (х + b/2a )2

Такая парабола касается оси х в точке с абсциссой - b/2a

Например, для квадратного трехчлена x2 -2х + 1 D = 0. Уравнение x2 -2х + 1 = 0 имеет один корень: х = 1. Поэтому парабола у = x2 -2х + 1 касается оси х в точке с абсциссой 1 (рис.).

парабола <b><i>у</i></b> = <b><i>x</i></b><sup>2 </sup>-2<b><i>х</i></b> + 1 касается оси <b><i>х</i></b> в точке с абсциссой 1

Если D = b2 - 4ас < 0, то уравнение ax2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. В этом случае парабола не пересекает оси х. Например, для квадратного трехчлена x2 +2х+ 3 D = - 8 < 0. Уравнение x2 +2х + 3 = 0 не имеет действительных корней. Парабола у = x2 +2х+ 3 не пересекает оси х (рис.).

Парабола <b><i>у </i></b>= <b><i>x</i></b><sup>2</sup> +2<b><i>х</i></b>+ 3 не пересекает оси <b><i>х</i></b>

Характеристические точки параболы всегда полезно находить при построении графика функции у = ax2 + bx + c . Это позволяет более точно построить график.


Экстремальное значение функции у = ах2 + bх + с

Наименьшее, или минимальное, из всех значений, которые принимает квадратная функция у = ах2+ bх +с, геометрически можно истолковать как ординату самой низкой точки параболы у = ах2+ bх +с (рис.), а наибольшее, или максимальное, значение - как ординату самой высокой точки параболы у = ах2+ bх +с (рис.).

ординату самой низкой точки параболы <b><i>у = ах</i></b><sup>2</sup><b><i>+ bх +с</i></b> (рис.), а наибольшее, или максимальное, значение - как ординату самой высокой точки параболы <b><i>у = ах</i></b><sup>2</sup><b><i>+ bх +с</i></b>

Если а > 0, то парабола у = ах2+ bх +с уходит неограниченно вверх (рис.). В этом случае самой высокой точки параболы не существует. Поэтому не существует и максимального значения функции у = ах2+ bх +с. Но в этом случае существует самая низкая точка параболы - ее вершина. Следовательно, существует минимальное значение функции. Это минимальное значение (мы будем его обозначать ymin) равно ординате вершины параболы. Абсцисса этой вершины (обозначим ее хmin дает то значение аргумента х, при котором достигается минимум функции у = ах2 + bх + с.

Если а < 0, то парабола у = ах2 + bх + с уходит неограниченно вниз (рис.). В этом случае самой низкой точки параболы не существует. Поэтому не существует и минимального значения функции у = ах2+ bх +с. Зато существует самая высокая точка параболы - ее вершина. Следовательно, существует максимальное значение данной функции. Это максимальное значение (мы будем обозначать его ymах) равно ординате вершины параболы. Абсцисса этой вершины (обозначим ее хmах) дает то значение аргумента х, при котором достигается максимум функции у = ах2+ bх +с.

Ранее было установлено, что вершина параболы у = ах2 + bх + с независимо от того, положительно а или отрицательно, имеет координаты:

$$ x= -\frac{b}{2a}; \;\;\; y= -\frac{b^2 - 4ac}{4a} \;\;\; (1) $$

Поэтому можно сказать, что если а > 0, то функция у = ах2+ bх +с принимает наименьшее значение \( y_{min}= -\frac{b^2 - 4ac}{4a}\) при \( x_{min} = -\frac{b}{2a} \); наибольшего значения этой функции не существует.

Если а <. 0, то функция у = ах2+ bх +с принимает наибольшее значение

\( y_{max}= -\frac{b^2 - 4ac}{4a}\) при \( x_{max} = -\frac{b}{2a}\) наименьшего значения функции в данном случае не существует.

Минимальные и максимальные значения функции иначе называются экстремальными.

Пример 1. Найти экстремальное значение функции у = 2х2 - 4х - 17 и указать, при каком значении х функция принимает это экстремальное значение.

Поскольку коэффициент при х2 положителен, то данная функция имеет минимальное значение. Максимального значения она не имеет. Чтобы определить минимальное значение, найдем координаты вершины параболы у = 2х2 - 4х - 17. Для этого выделим полный квадрат:

2х2 - 4х - 17= 2 (х2 - 2х - 17/2 ) = 2[(х2 - 2х + 1) -1-17/2 ] = 2(х- 1 )2 - 19.

Отсюда заключаем, что координаты вершины параболы таковы: х = 1, у = -19. (Эти координаты, конечно, можно было бы получить и по формулам (1), если в них положить а = 2, b = -4, с = -17.)

Следовательно, минимальное значение функции у = 2х2 - 4х - 17 равно -19. Оно достигается при х = 1.

Пример 2. Найти экстремальное значение функции у = - х2 - 4х + 6 и выяснить, при каком значении аргумента х оно достигается.

Поскольку коэффициент при х2 отрицателен, то данная функция имеет максимальное значение. Минимального значения она не имеет. Чтобы найти максимальное значение, выделим полный квадрат:

- х2 - 4х + 6 = - (х2 + 4х2 - 6) = - [(х2 + 4х + 4) - 10] = - (х + 2)2 + 10.

Отсюда заключаем, что максимальное значение данной функции равно 10. Оно достигается при х = - 2.



« назад