График квадратной функции

Покажем, как строится график квадратной функции у = ax² + bx + c. Наше рассмотрение придется разбить на ряд отдельных этапов.

1. График функции у = x².

Этот график строится «по точкам». Составим следующую таблицу значений функции:

x	-3	-2	-1	-1/2	0	1/2	1	2	3	...
\(y=x^2\)	9	4	1	1/4	0	1/4	1	4	9	...

Отметим соответствующие точки на плоскости координат и соединим их плавной кривой (рис.). Эта кривая называется параболой.На рисунке парабола у = x² начерчена лишь при -3 < х < 3. При |х| > 3 она уходит (и притом весьма круто) все выше и выше.

Парабола у = x² обладает следующими основными свойствами.

1. Она лежит целиком в верхней полуплоскости. Это соответствует тому, что функция у = x² принимает только неотрицательные значения. В начале координат парабола касается оси абсцисс. Это самая низкая точка графика; она называется вершиной параболы.
2. Парабола симметрична относительно оси ординат. Если перегнуть данный рисунок по оси у, то левая и правая части параболы совместятся. Это служит графической иллюстрацией того, что функция у = x² не меняет своих значений при изменении знака у аргумента:

   (- x)² = x²

Такие функции называются четными.

2. График функции у = αx².

График функции у = αx², так же как и график функции у = x², легко строится «по точкам».

Сначала рассмотрим случай, когда α > 0. На рисунке представлены графики функций у = αx² при α = ¹/₂; 1; 2.

Во всех этих случаях получаются кривые, симметричные относительно оси ординат и расположенные целиком в верхней полуплоскости. Каждая из этих кривых направлена вверх. Эти кривые, так же как и кривая у = x², называются параболами. Начало координат является их общей вершиной, а ось ординат - их общей осью симметрии. Из рисунка 65 видно, что, чем больше α, тем круче ветви параболы у = αx²; чем меньше α, тем они положе.

Теперь рассмотрим случай, когда α < 0. На рисунке представлены кривые у = αx² при α = - ¹/₂; -1; -2. Эти направленные вниз кривые также называются параболами. Общая вершииа -начало координат - является их наивысшей точкой. Ось ординат для каждой из этих кривых служит осью симметрии. Чем больше абсолютная величина α, тем круче ветви параболы; чем она меньше, тем положе ветви параболы.

3. График функции у = α(х - β)².

Сравним между собой две функции: у₁ = α(х - β)² и у₂ = αx², где β > 0.

Пусть М₁ -произвольная точка графика первой функции (рис.). Тогда ее координаты (x₀ , y₀) связаны соотношением у₀ = α(х₀ - β)².

Но это соотношение показывает, что точка М2 с координатами (х₀ - β, y₀) должна принадлежать графику второй функции. Значит, каждая точка кривой у = α(х - β)² получается из соответствующей точки кривой у = αx² (см. рис.) посредством переноса (или смещения) вправо по направлению оси х на расстояние β. Поэтому и вся кривая у = α(х - β)² получается посредством переноса кривой у = αx² вправо на β.

Например, кривая у = 2(х-1)² получается из кривой у = 2x², если последнюю сместить на 1 вправо (рис.).

кривая у = -0,5 (х-3)² получается смещением кривой у = -0,5 х² вправо на 3 единицы (рис.).

Вершиной параболы у = αx² является точка с координатами (0, 0), а осью симметрии - прямая х = 0. При смещении вправо по направлению оси х на расстояние β точка с координатами (0, 0) переходит в точку с координатами (β, 0), а прямая х = 0 - в прямую х = β (рис.). Поэтому вершиной параболы у = α(х - β)² будет точка с координатами (β, 0), а осью симметрии - прямая х = β.

Парабола у = αx² направлена вверх при α > 0 и вниз при α < 0. Поэтому такое же направление будет иметь и парабола у = α(х - β)².

Итак, графиком функции у = α(х - β)² является парабола, направленная вверх, если α > 0 и вниз при α < 0. Вершиной этой параболы является точка с координатами (β, 0), а осью симметрии - прямая х = β.

Точно так же может быть построен и график функции у = α(х + β)², где β > 0.

Он представляет собой параболу, которая получается посредством смещения параболы у = αx² влево на β . Эта парабола направлена вверх, если α > 0 (рис. а), и вниз, если α < 0 (рис. б). Вершина ее находится в точке с координатами (- β, 0); осью симметрии служит прямая х = - β.

На рисунке ниже вы видите график функции у = 2(х + 1)². Он получен посредством параллельного переноса параболы у = 2х² влево на 1.

График функции у = -0,5 (х + 3)² (рис.) получен посредством параллельного переноса параболы у =-0,5х² влево на 3.

4. График функции у = α(х - β)² + γ Этот график получается посредством смещения параболы у = α(х - β)² по направлению оси у вверх на расстояние γ , если γ > 0, и вниз на расстояние - γ , если γ < 0. В результате смещения получается парабола с вершиной в точке, координаты которой равны (β, γ ). Осью симметрии такой параболы служит прямая х = β.

При смещении вверх или вниз плраболу у = α(х - β)² не меняет своего направления. Поэтому параболы у = α(х - β)² + γ и у = α(х - β)² имеют одно и то же направление: при α > 0 - вверх, a при α < 0 - вниз.

В качестве примера на рисунке представлен график функции у = -0,5 (х + 3)² + 1, который получается смещением графика у = -0,5 (х + 3)² вверх на 1.

На рисунке ниже вы видите график функции у = 2(х + 1)² -3, полученный из графика у = 2(х + 1)² смещением вниз на 3 по оси симметрии.

5. График функции у = ax² + bx + c.

Как отмечалось ранее, квадратный трехчлен ax² + bx + c представим в виде

$$ ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} $$

Последнее выражение имеет вид у = α(х - β)² + γ , где

$$ \alpha=a \;\;\; \beta=\frac{b}{2a} \;\;\; \gamma = -\frac{b^2-4ac}{4a} $$

Поэтому графиком функции у = ax² + bx + c является парабола с вершиной в точке

$$ (-\frac{b}{2a}, \;\;\; -\frac{b^2 - 4ac}{4a}) $$

Осью симметрии этой параболы является прямая х = - ^b/_2a. При а > 0 парабола направлена вверх, а при а < 0 - вниз.

Примеры построения графика квадратной функции

Пример 1. Построить график функции

у = 2x² + 12х + 17.

Преобразуем квадратный трехчлен у = 2x² + 12х + 17, выделив полный квадрат:

2x² + 12х + 17 = 2 (x² + 6х + ¹⁷/₂) = 2 (x²+ 2•3•х + 9 ) - 9 + ¹⁷/₂ = 2 [(х + 3)² - ¹/₂] = = 2 (х + 3)²- 1.

Теперь построение графика можно выполнить в следующей последовательности.

1) «По точкам» строим график функции у = 2x² (I, рис.).

2) Смещаем этот график на 3 единицы влево.

В результате получаем кривую у = 2 (х + 3)² (II).

3) Эту кривую опускаем вниз на 1 (III, рис.).

Полученная парабола и есть график функции у = 2x² + 12х + 17.

Ее вершина имеет координаты (-3, -1), а осью симметрии является прямая х = -3.

Пример. 2. Построить график функции у =| -2x² + 3 |.

Сначала построим график функции у = - 2x² + 3 (рис. а). Затем ту часть этого графика, которая лежит выше оси х (для нее -2x² + 3 > 0), оставим без изменения, а ту часть графика, которая лежит ниже оси х (для нее -2x² + 3 < 0), отобразим симметрично относительно оси х. Полученная в результате этого кривая (рис. б, сплошная линия) и есть график функции у = |-2x² + 3|.

Характеристические точки параболы

Характеристическими точками параболы у = ax² + bx + c мы называем ее вершину и точки пересечения с осями координат.

Вершину имеет любая парабола у = ax² + bx + c . Координаты этой вершины легко найти, выделив в квадратном трехчлене ax² + bx + c полный квадрат (см. § 49). Например, для параболы у = x² + 4x +3 имеем:

x² + 4x +3 = (х + 2)² - 1.

Поэтому абсцисса вершины равна -2, а ордината -1 (рис.).

Точку пересечения с осью у имеет также любая парабола у = ax² + bx + c . Абсцисса точки пересечения равна, очевидно, нулю, а ордината с. Она получается, если в выражении ax² + bx + c положить х = 0.

Например, точка пересечения параболы у = x² + 4x +3 с осью ординат (рис.) имеет координаты (0,3).

Точки пересечения с осью х . имеет не всякая парабола у = ax² + bx + c. Если дискриминант D = b² - 4ас положителен, то уравнение ax² + bx + c = 0 имеет два различных действительных корня:

$$ x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}; \;\;\; x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a} $$

В этом случае парабола у = ax² + bx + c пересекает ось х в двух точках с абсциссами x₁ и x₂ соответственно.

Так, для квадратного трехчлена x² + 4x +3 D = 16 - 12 = 4 > 0. Этот квадратный трехчлен имеет два корня: x₁ = -1 , x₂ = -3. Поэтому парабола у = x² + 4x +3 пересекает ось x в двух точках (рис. 78), абсциссы которых равны - 1 и - 3.

Если D = b² - 4ас = 0, то уравнение ax² + bx + c = 0 имеет один действительным корень х = - ^b/_2a

В этом случае уравнений параболы можно записать в виде у = а (х + ^b/_2a )²

Такая парабола касается оси х в точке с абсциссой - ^b/_2a

Например, для квадратного трехчлена x² -2х + 1 D = 0. Уравнение x² -2х + 1 = 0 имеет один корень: х = 1. Поэтому парабола у = x² -2х + 1 касается оси х в точке с абсциссой 1 (рис.).

Если D = b² - 4ас < 0, то уравнение ax² + bx + c = 0 не имеет действительных корней. В этом случае парабола не пересекает оси х. Например, для квадратного трехчлена x² +2х+ 3 D = - 8 < 0. Уравнение x² +2х + 3 = 0 не имеет действительных корней. Парабола у = x² +2х+ 3 не пересекает оси х (рис.).

Характеристические точки параболы всегда полезно находить при построении графика функции у = ax² + bx + c . Это позволяет более точно построить график.

Экстремальное значение функции у = ах² + bх + с

Наименьшее, или минимальное, из всех значений, которые принимает квадратная функция у = ах²+ bх +с, геометрически можно истолковать как ординату самой низкой точки параболы у = ах²+ bх +с (рис.), а наибольшее, или максимальное, значение - как ординату самой высокой точки параболы у = ах²+ bх +с (рис.).

Если а > 0, то парабола у = ах²+ bх +с уходит неограниченно вверх (рис.). В этом случае самой высокой точки параболы не существует. Поэтому не существует и максимального значения функции у = ах²+ bх +с. Но в этом случае существует самая низкая точка параболы - ее вершина. Следовательно, существует минимальное значение функции. Это минимальное значение (мы будем его обозначать y_min) равно ординате вершины параболы. Абсцисса этой вершины (обозначим ее х_min дает то значение аргумента х, при котором достигается минимум функции у = ах² + bх + с.

Если а < 0, то парабола у = ах² + bх + с уходит неограниченно вниз (рис.). В этом случае самой низкой точки параболы не существует. Поэтому не существует и минимального значения функции у = ах²+ bх +с. Зато существует самая высокая точка параболы - ее вершина. Следовательно, существует максимальное значение данной функции. Это максимальное значение (мы будем обозначать его y_mах) равно ординате вершины параболы. Абсцисса этой вершины (обозначим ее х_mах) дает то значение аргумента х, при котором достигается максимум функции у = ах²+ bх +с.

Ранее было установлено, что вершина параболы у = ах² + bх + с независимо от того, положительно а или отрицательно, имеет координаты:

$$ x= -\frac{b}{2a}; \;\;\; y= -\frac{b^2 - 4ac}{4a} \;\;\; (1) $$

Поэтому можно сказать, что если а > 0, то функция у = ах²+ bх +с принимает наименьшее значение \( y_{min}= -\frac{b^2 - 4ac}{4a}\) при \( x_{min} = -\frac{b}{2a} \); наибольшего значения этой функции не существует.

Если а <. 0, то функция у = ах²+ bх +с принимает наибольшее значение

\( y_{max}= -\frac{b^2 - 4ac}{4a}\) при \( x_{max} = -\frac{b}{2a}\) наименьшего значения функции в данном случае не существует.

Минимальные и максимальные значения функции иначе называются экстремальными.

Пример 1. Найти экстремальное значение функции у = 2х² - 4х - 17 и указать, при каком значении х функция принимает это экстремальное значение.

Поскольку коэффициент при х² положителен, то данная функция имеет минимальное значение. Максимального значения она не имеет. Чтобы определить минимальное значение, найдем координаты вершины параболы у = 2х² - 4х - 17. Для этого выделим полный квадрат:

2х² - 4х - 17= 2 (х² - 2х - ¹⁷/₂ ) = 2[(х² - 2х + 1) -1-¹⁷/₂ ] = 2(х- 1 )² - 19.

Отсюда заключаем, что координаты вершины параболы таковы: х = 1, у = -19. (Эти координаты, конечно, можно было бы получить и по формулам (1), если в них положить а = 2, b = -4, с = -17.)

Следовательно, минимальное значение функции у = 2х² - 4х - 17 равно -19. Оно достигается при х = 1.

Пример 2. Найти экстремальное значение функции у = - х² - 4х + 6 и выяснить, при каком значении аргумента х оно достигается.

Поскольку коэффициент при х² отрицателен, то данная функция имеет максимальное значение. Минимального значения она не имеет. Чтобы найти максимальное значение, выделим полный квадрат:

- х² - 4х + 6 = - (х² + 4х² - 6) = - [(х² + 4х + 4) - 10] = - (х + 2)² + 10.

Отсюда заключаем, что максимальное значение данной функции равно 10. Оно достигается при х = - 2.