Квадратный трехчлен

Уравнения вида

ax² + bx + c = 0, (1)

где х - неизвестная величина, а, b, с - данные числа (а \(\neq\) 0), называются квадратными.

Выделяя в левой части квадратного уравнения полный квадрат, получаем:

$$ a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} = 0 $$ или $$ a(x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \;\;\; (2)$$

Очевидно, что уравнение (2) эквивалентно уравнению (1). Уравнение (2) может иметь действительные корни только тогда, когда \( \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \geq 0 \) или b² - 4ас > 0 (поскольку 4а² > 0).

Ввиду той особой роли, которую играет выражение D = b² - 4ас при решении уравнения (1), этому выражению дано специальное название - дискриминант квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 (или дискриминант квадратного трехчлена ax² + bx + c ). Итак, если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то уравнение не имеет действительных корней.

Если же D =b² - 4ас > 0, то из (2) получаем:

$$ x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} = \pm \sqrt{\frac{b^2 -4ac}{2a}} $$ или $$ x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} $$

Если дискриминант квадратного уравнения неотрицателен, то это уравнение имеет действительные корни. Они записываются в виде дроби, в числителе которой стоит коэффициент уравнения при х, взятый с противоположным знаком, плюс-минус корень квадратный из дискриминанта, а в знаменателе - удвоенный коэффициент при х².

Если дискриминант квадратного уравнения положителен, то уравнение имеет два различных действительных корня:

$$ x_1 = \frac{-b +\sqrt{D}}{2a} \;\;\; и \;\;\; x_2 = \frac{-b -\sqrt{D}}{2a} $$

Если дискриминант квадратного уравнения равен нулю, то уравнение имеет один действительный корень:

х = - ^b/_2a

(В этом случае иногда говорят, что уравнение имеет два равных корня: x₁ = x₂ = -^b/_2a )

Примеры.

1) Для уравнения 2х² - х - 3 = 0 дискриминант D = (- 1)² - 4 • 2 • (- 3) = 25 > 0. Уравнение имеет два различных корня:

$$ x_1 = \frac{1+\sqrt{25}}{4}=\frac{3}{2} \\ x_2 = \frac{1-\sqrt{25}}{4}= -1 $$

2) Для уравнения 3х² - 6х + 3 = 0 D = (- 6)² - 4 • 3 • 3 = 0. Это уравнение имеет один действительный корень

$$ x=\frac{6}{2\cdot 3}=1 $$

3) Для уравнения 5х² + 4х + 7 = 0 D = 4² - 4 • 5 • 7 = - 124 < 0. Это уравнение не имеет действительных корней.

4) Выяснить, при каких значениях а квадратное уравнение х² + ах + 1 = 0:

а) имеет один корень;

б) имеет два разных корня;

в) вообще не имеет корней,

Дискриминант данного квадратного уравнения равен

D = а² - 4.

Если | а | = 2, тo D = 0; в этом случае уравнение имеет один корень.

Если | а | > 2, то D > 0; в этом случае уравнение имеет два разных корня.

Наконец, если | а | < 2, то данное уравнение не имеет корней.

Частные виды квадратных уравнений

В этом параграфе мы изучим некоторые наиболее важные частные виды квадратных уравнений. При этом каждый раз, не оговаривая это специально, мы будем предполагать, что дискриминант рассматриваемого квадратного уравнения неотрицателен.

1. Уравнение с «четным коэффициентом при х». Если в уравнении ax² + bx + c 0 коэффициент при х имеет вид b = 2k (например, b = 4, b = 2\(\sqrt2\) и т. д.), то формула для корней этого уравнения несколько упрощается. Подставив в соотношение

$$ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ вместо b число 2k, получим: $$ x=\frac{-2k + \sqrt{4k^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-k\pm \sqrt{k^2-ac}}{a} $$

Таким образом, корни квадратного уравнения ax² + 2kx + с = 0 можно записать в виде дроби, в числителе которой - половина коэффициента при х, взятого с противоположным знаком, плюс- минус корень квадратный из квадрата этой половины без произведения коэффициента при x² и свободного члена, а в знаменателе - коэффициент при x².

Например, чтобы решить уравнение

5x² - 16х + 3 = 0,

нет необходимости применять общую формулу

$$ x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

В данном случае следует отдать предпочтение доказанной выше формуле

$$ x=\frac{-k\pm \sqrt{k^2-ac}}{a} $$

Используя ее, получаем:

$$ x=\frac{8\pm\sqrt{64-15}}{5}=\frac{8\pm\sqrt{49}}{5}=\frac{8\pm 7}{5} \\ x_1=\frac{1}{5}; \;\;\; x_2=3 $$

2. Приведенное квадратное уравнение. Квадратное уравнение называется nриведенным, если коэффициент при x² равен 1. Общий вид приведенного квадратного уравнения таков:

x² + px + q = 0, (1)

где р и q - некоторые числа.

Полагая в общей формуле для корней квадратного уравнения

$$ x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

а = 1, b = р, с = q , получим формулу для корней приведенного квадратного уравнения:

$$ x=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}= -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2-4q}{4}} = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q} $$ Таким образом, $$ x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q} $$

Корни приведенного квадратного уравнения равны половине коэффициента при х, взятогo с противоположным знаком, плюс-минус корень квадратный из квадрата этой половины без свободного члена.

Пример.

Пусть x² + 4x - 12 = 0.

Тогда

х = - 2 ± √4 + 12 = - 2 ± 4,

или

x₁ = 2; x₂ = - 6.

Замечание. Любое квадратное уравнение ax² + bx + c = 0 можно свести к приведенному квадратному, уравнению посредством деления на а:

ax² + bx + c = 0, x² + ^b/_a x + ^c/_a = 0.

Теорема Виета

Ранее мы получили следующие формулы для корней приведенного квадратного уравнения с неотрицательным дискриминантом:

$$ x_1 =-\frac{p}{2}+\sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q} \;\;\; x_2 =-\frac{p}{2}-\sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q} $$

Из них вытекает, что

$$ x_1+x_2 = -p, \\ x_1\cdot x_2 = \left(\begin{array}{c}-\frac{p}{2}+\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}-\frac{p}{2}-\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\end{array}\right) $$

Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел. Поэтому

$$ x_1\cdot x_2 =\left(\begin{array}{c}-\frac{p}{2}\end{array}\right)^2-\left(\begin{array}{c}\sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}\end{array}\right)^2 = q $$

Итак,

x₁ + x₂ == - р,

x₁ • x₂ = q.

Если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, то сумма их равна коэффициенту при х, взятому с противоположным знаком, а произведение-свободному члену этого уравнения.

Это свойство корней приведенного квадратного уравнения носит название теоремы Виета. (Виет (1540-1603) - французский математик)

Пример. Для уравнения x² - 7х - 8 = 0 D = 81 > 0. Поэтому уравнение имеет два различных действительных корня x₁ и x₂. По теореме Виета

x₁ + x₂ = 7, x₁ • x₂ = - 8.

Предлагаем учащимся решить данное уравнение и убедиться в справедливости полученных нами соотношений.

Квадратное уравнение общего вида ax² + bx + c = 0 делением на а сводится к приведенному квадратному уравнению

x² + ^b/_a x + ^c/_a = 0

Если исходное уравнение ax² + bx + c = 0 имеет действительные корни x₁ и x₂, то и уравнение x² + ^b/_a x + ^c/_a = 0 должно иметь те же самые корни x₁ и x₂. При этом по теореме Виета должно быть

x₁ + x₂ = - ^b/_a, x₁ • x₂ = ^c/_a

Пример. Уравнение 2x² - 2х - 3 = 0 имеет дискриминант D = 28 > 0. Поэтому оно имеет два действительных корня x₁ и x₂, причем

x₁ + x₂ = - ^-2/₂ = 1 , x₁ • x₂ =^-3/₂ = - ³/₂

Предлагаем учащимся решить данное уравнение и убедиться в справедливости полученных соотношений.

В дальнейшем нам потребуется теорема, обратная теореме Виета. Формулируется она следующим образом.

Если существуют действительные числа x₁ и x₂ такие, что

x₁ + x₂ = - р, x₁ • x₂ = q,

то эти числа (x₁ и x₂ ) являются корнями квадратного уравнения

x² + px + q = 0 .

Доказательство. Если x₁ + x₂ = - р, то x₂ = - р - x₁. Подставляя это выражение для x₂ в соотношение x₁ • x₂ = q, получаем:

x₁ • (- р - x₁) = q, - px₁ - x₁² = q, x₁² + px₁ + q = 0.

Но это означает, что число x₁ является корнем уравнения x² + px + q = 0. Аналогично доказывается, что корнем этого уравнения является и число x₂. Впрочем, это и так ясно: ведь числа x₁ и x₂ входят в формулировку нашей теоремы совершенно симметрично.