Биквадратные уравнения и их решение

Биквадратными называются уравнения вида

ax4 + bx2 + c = 0 (1)

где a, b и с - заданные числа, причем а \(\neq\) 0.

Решение таких уравнений сводится к решению квадратных уравнений. Действительно, полагая в (1) у = x2, получаем:

ау2 + by + с = 0.

Найдя из этого уравнения у и учитывая, что у = x2, легко получить и х.

Пример. Решить уравнение

x4 - 5x2 - 36 = 0.

Полагая у = x2, получаем:

у2 - 5у - 36 = 0,

откуда у1 = -4, у2 = 9. Поскольку у может принимать только неотрицательные значения (ведь у = x2), первый из этих корней является «посторонним». Следовательно, x2 = 9, откуда x1 = -3, x2 = 3.

Подобным способом можно решать и более широкий круг уравнений, а именно уравнения вида

ах2n + bхn+ с = 0,

где п - любое натуральное число. Полагая здесь

у = xn,

мы приходим к квадратному уравнению

ау2 + by + с = 0

Пример. Решить уравнение

х6 - 7х3 - 8 = 0.

Полагая у = х3, получаем:

у2 - 7у - 8 = 0,

откуда

у1 = -1, у2 = 8.

Вспоминая, что у = х3, получаем следующие два корня данного уравнения: x1 = -1, x2 = 2.



« назад