Биквадратные уравнения и их решение

Биквадратными называются уравнения вида

ax⁴ + bx² + c = 0 (1)

где a, b и с - заданные числа, причем а \(\neq\) 0.

Решение таких уравнений сводится к решению квадратных уравнений. Действительно, полагая в (1) у = x², получаем:

ау² + by + с = 0.

Найдя из этого уравнения у и учитывая, что у = x², легко получить и х.

Пример. Решить уравнение

x⁴ - 5x² - 36 = 0.

Полагая у = x², получаем:

у² - 5у - 36 = 0,

откуда у₁ = -4, у₂ = 9. Поскольку у может принимать только неотрицательные значения (ведь у = x²), первый из этих корней является «посторонним». Следовательно, x² = 9, откуда x₁ = -3, x₂ = 3.

Подобным способом можно решать и более широкий круг уравнений, а именно уравнения вида

ах²ⁿ + bхⁿ+ с = 0,

где п - любое натуральное число. Полагая здесь

у = xⁿ,

мы приходим к квадратному уравнению

ау² + by + с = 0

Пример. Решить уравнение

х⁶ - 7х³ - 8 = 0.

Полагая у = х³, получаем:

у² - 7у - 8 = 0,

откуда

у₁ = -1, у₂ = 8.

Вспоминая, что у = х³, получаем следующие два корня данного уравнения: x₁ = -1, x₂ = 2.