Решение иррациональных уравнений

Иррациональными уравнениями называются уравнения, содержащие неизвестное под знаком радикала. К таким относятся, например, уравнения

\(\sqrt{x - 1}\) = 3 + \(\sqrt{x}\) , \(\sqrt{x}\)= 5 - 4х,

\(\sqrt[3]{2-x}\) = \(\sqrt[4]{x+6}\)+7x и т. д.

Мы ограничимся рассмотрением иррациональных уравнений, которые содержат только квадратные радикалы. В связи с этим следует напомнить, что квадратные корни можно извлекать только из неотрицательных чисел. Такие, например, выражения, как \(\sqrt{-3}\), \(\sqrt{-25}\), \(\sqrt{-10}\), не имеют смысла. Далее, под квадратным корнем из положительного числа мы всегда подразумеваем его арифметическое, то есть положительное, значение. Так, \(\sqrt{4}\)= 2, а нe -2; \(\sqrt{25}\) = 5, а не -5; \(\sqrt{2}\)= 1,4142..., а не -1,4142... и т. д.

Этих замечаний уже достаточно для того, чтобы мы могли рассмотреть несколько типичных примеров иррациональных уравнений.

Пример 1. Решить уравнение

\(\sqrt{x+2}\) + \(\sqrt{1-x}\) = 3.

Квадратные корни можно извлекать лишь из неотрицательных чисел. Поэтому допустимые значения неизвестной величины х должны удовлетворять системе неравенств

Первое неравенство этой системы дает х > 2, второе х < 1. Очевидно, что одновременно эти условия выполняться не могут. Поэтому множество допустимых значений неизвестной величины х в данном случае пусто, то есть не содержит ни одного числа. Но в таком случае данное уравнение не может иметь действительных корней.

Рассмотренный пример учит нас постоянно помнить о следующем важном обстоятельстве.

Прежде чем решать то или иное иррациональное уравнение, нужно быть уверенным, что множество допустимых значений неизвестной величины не пусто. Если ни одно из чисел не является допустимым для неизвестной величины, то можно сразу же сказать, что уравнение не имеет корней.

Пример 2. Решить уравнение

\(\sqrt{x}\) + \(\sqrt{1-x}\) = - 2.

Ни один из корней \(\sqrt{x}\) и \(\sqrt{1-x}\) не может быть отрицательным. Поэтому ни при каких действительных значениях величины х сумма этих корней не может равняться -2. Следовательно, данное уравнение также не имеет корней.

Заметим, что здесь не было необходимости исследовать, какие значения может принимать неизвестная величина х. Отсутствие корней данного уравнения мы установили и без этого исследования.

Примеры решения иррациональных уравнений

Обычный способ решения иррациональных уравнений состоит в освобождении их от радикалов и сведении к уже изученным нами типам алгебраических уравнений (например, к линейным или квадратным). Добиться этого иногда удается путем почленного возведения иррационального уравнения в степень. Поясним это на ряде частных примеров.

Пример 1. Решить уравнение

x = \(\sqrt{2-x}\) .

Множество допустимых значений величины х определяется неравенством х < 2. Чтобы среди всех этих значений найти корни нашего уравнения, возведем обе его части в квадрат. В результате получим:

x² = 2 - х,

x² + х - 2 = 0,

откуда

x₁ = - 2, x₂ = 1.

Каждое из двух полученных чисел попадает в множество допустимых значений величины х. Но это еще не означает, что - 2 и 1 - корни данного уравнения. Ведь к уравнению x² = 2 - х мы пришли путем почленного возведения в квадрат исходного уравнения

x = \(\sqrt{2-x}\)

Но к такому же результату мы пришли бы, если бы почленно возвели в квадрат не это, а другое уравнение

x = -\(\sqrt{2-x}\)

отличное от данного. Следовательно, в результате выполненных преобразований мы можем получить новые, посторонние корни - корни уравнения x = -\(\sqrt{2-x}\), которые нас в данном случае не интересуют. Вот почему, прежде чем дать ответ к данной задаче, необходимо сделать проверку полученных корней.

При х = - 2 левая часть данного уравнения принимает значение -2, а правая \(\sqrt{4}\) = 2. Поскольку -2 ( eq) 2, число -2 не есть корень данного уравнения. При х = 1 обе части нашего уравнения принимают значения, равные 1. Поэтому 1 - корень этого уравнения.

Итак, данное уравнение имеет один корень х = 1. Чтo же касается числа -2, полученного нами выше, то оно, как и следовало ожидать, является корнем уравнения
x = -\(\sqrt{2-x}\) .

Пример 2. Решить уравнение

х = 1 + \(\sqrt{x+5}\).

Множество допустимых значений неизвестной величины в данном случае определяется неравенством х > - 5.

Перенося 1 из правой части в левую и возводя обе части полученного уравнения в квадрат, мы приходим к уравнению

( x - 1 )² = (\(\sqrt{x+5}\))²,

x² - 2x + 1 = x + 5, x² - 3x - 4 = 0,

откуда

x₁ = 4, x₂ = -1.

Проверка показывает, что из этих двух чисел корнем данного уравнения является лишь число 4. Число -1 является посторонним корнем.

Ответ. Данное уравнение имеет единственный корень х = 4.

Пример 3. Решить уравнение

\(\sqrt{x-5}\) + \(\sqrt{10-x}\) = 3.

Множество допустимых значений х определяется, очевидно, неравенством

5 < х < 10.

Возведя обе части данного уравнения в квадрат, мы получим:

x - 5 + 2\(\sqrt{(x - 5) (10 - х)}\) + 10 - х = 9,

2\(\sqrt{(x - 5) (10 - х)}\) = 4, 2\(\sqrt{(x - 5) (10 - х)}\) = 2.

С последним уравнением мы поступим так же, как и с исходным: возведем его почленно в квадрат. В результате получим:

(х - 5) (10 - х) = 4, -x² + 15x - 50 = 4, x² - 15x + 54 = 0.

Итак, в результате двукратного почленного возведения данного уравнения в квадрат в сочетании с другими элементарными преобразованиями мы пришли к простому квадратному уравнению, корни которого равны:

x₁ = 6, x₂ = 9.

Проверка показывает, что оба эти числа являются корнями данного уравнения.

Ответ. x₁ = 6, x₂ = 9.

Пример 4. Решить уравнение

\(\sqrt{x+7}\) + \(\sqrt{x-1}\) = 4 .

Множество допустимых значений неизвестной величины х определяется в данном случае неравенством х > 1. Это уравнение можно было бы решить тем же способом, которым мы решали предыдущее уравнение. Для этого нам пришлось бы дважды применять метод почленного возведения в квадрат.

В данном случае можно предложить и другой прием. Умножим почленно данное уравнение на выражение \(\sqrt{x+7}\) - \(\sqrt{x-1}\) , сопряженное выражению \(\sqrt{x+7}\) + \(\sqrt{x-1}\) :

(\(\sqrt{x+7}\) + \(\sqrt{x-1}\))(\(\sqrt{x+7}\) - \(\sqrt{x-1}\)) = 4 (\(\sqrt{x+7}\) - \(\sqrt{x-1}\)).

В результате, используя формулу для произведения суммы двух чисел на их разность, получим:

(х + 7) - (х - 1) = 4 (\(\sqrt{x+7}\) - \(\sqrt{x-1}\)).

Отсюда

4 (\(\sqrt{x+7}\) - \(\sqrt{x-1}\)) = 8, \(\sqrt{x+7}\) - \(\sqrt{x-1}\)= 2.

Теперь мы имеем:

\(\sqrt{x+7}\) + \(\sqrt{x-1}\)= 4,

\(\sqrt{x+7}\) - \(\sqrt{x-1}\)= 2.

Складывая почленно эти уравнения, получаем:

2 \(\sqrt{x+7}\) = 6,

откуда

\(\sqrt{x+7}\) = 3, х + 7 = 9, х = 2.

В процессе решения данного уравнения нам пришлось обе его части умножить на \(\sqrt{x+7}\) - \(\sqrt{x-1}\). Но в результате такого преобразования могли получиться посторонние корни. Вот почему теперь необходимо проверить, является ли полученное число 2 корнем исходного уравнения.

При х = 2 левая часть данного уравнения принимает значение

\(\sqrt{9}\) + \(\sqrt{1}\) = 3 + 1 = 4.

Следовательно, х = 2 - корень данного уравнения.

Ответ. Данное уравнение имеет единственный корень х = 2.

Одно выражение, содержащее знак радикала, называется сопряженным другому выражению, содержащему знак радикала, если произведение втих выражений можно записать уже без знака радикала. Так, выражение \(\sqrt{x+7}\) - \(\sqrt{x-1}\) является сопряженным выражению \(\sqrt{x+7}\) + \(\sqrt{x-1}\), поскольку

(\(\sqrt{x+7}\) + \(\sqrt{x-1}\))(\(\sqrt{x+7}\) - \(\sqrt{x-1}\)) = (х + 7) - (х - 1) = 8;

выражение \(\sqrt{a}\) + 1 будет сопряженным выражению \(\sqrt{a}\) - 1, так как

(\(\sqrt{a}\) - 1) (\(\sqrt{a}\) + 1) = а - 1, и т. д.

Рассмотренные методы решения иррациональных уравнений таковы, что, используя их, мы не можем потерять никаких корней. Зато, как показывают примеры 1 и 2, мы можем получить посторонние корни. Поэтому еще раз подчеркнем, что проверка полученных корней путем их подстановки в исходные уравнения является важной составной частью решения иррациональных уравнений.