Алгебраическое уравнение n-й степени

Наиболее полно элементарная математика рассматривает алгебраические уравнения только двух степеней: первой и второй. Эти уравнения имеют вид:

ах + b = 0 (а \(\neq\) 0)

ax² + bx + c = 0 (а \(\neq\) 0).

В области комплексных чисел любое алгебраическое уравнение 1-й степени имеет ровно один корень, а любое алгебраическое уравнение 2-й степени - ровно два корня. В высшей алгебрe изучаются уравнения произвольных степеней. Алгебраическое уравнение n-й степени имеет следующий вид:

a₀xⁿ+ a₁x^n-1 + a₂x^n-2 + . . .+ a_n-1x + a_n = 0, (1)

где х - неизвестная величина, а a₀, a₁, . . . , a_n - заданные комплексные числа, причем a₀ \(\neq\) 0. Вопрос о существовании и количестве корней такого уравнения долгое время являлся центральным вопросом алгебры. В 1799 г. выдающийся немецкий математик Гаусс (1777 -1855) доказал следующую теорему: любое алгебраическое уравнение n-й степени имеет хотя бы один комплексный корень.

После доказательства Гаусса было предложено очень много других способов доказательства этой теоремы. Да и сам Гаусс предложил еще три доказательства. Все существующие до настоящего времени доказательства этой теоремы довольно сложны и потому не могут быть рассмотрены в школе.

Рассмотрим уравнение

(х- 1)³(х - 2) = 0.

Нетрудно понять, что оно имеет ровно два корня: 1 и 2. Однако корни эти находятся в неравноправном положении. Множитель х - 2, соответствующий корню 2, входит в левую часть уравнения в первой степени, а множитель х-1, соответствующий корню 1, - в третьей степени. Про корень 2 говорят, что он является простым корнем рассматриваемого уравнения, а про корень 1 - что он является кратным корнем, точнее, корнем кратности 3.

Основная теорема алгебры гарантирует существование хотя бы одного комплексного корня алгебраического уравнения. Однако, исходя из нее, можно доказать, что любое алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно п комплексных корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. При этом если корни уравнения (1) равны x₁, x₂, . . , x_n, то левая часть этого уравнения представляется в виде:

a₀(х - x₁) (х - x₂) . . . (х - x_n).

(Сравните с квадратным уравнением!)

Для уравнений 1-й и 2-й степени выведены общие формулы, по которым можно находить корни этих уравнений. Так, например, для уравнения ax² + bx + c = 0 такой формулой является формула

Аналогичные формулы получены и для уравнений 3-й и 4-й степени. Однако эти формулы слишком громоздки и потому здесь не приводятся. Что же касается произвольных алгебраических уравнений более высоких степеней, то для них, как показал норвежский математик Абель (1802 - 1829), таких формул составить, вообще говоря, нельзя. Исчерпывающее решение вопроса об условиях, при которых уравнение может быть решено в радикалах, дал выдающийся французский математик Эварист Галуа (1811 - 1832).

Итак, точно решить алгебраическое уравнение степени выше четвертой удается не всегда. Однако современная математика располагает весьма эффективными методами приближенного, решения таких уравнений. Эти методы излагаются в книгах по вычислительной математике.