Арифметическая прогрессия

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом, называется арифметической прогрессией.

Примером арифметической прогрессии является натуральный ряд чисел

1, 2, 3, ... .

Каждое его число, начиная со второго, равно предыдущему, сложенному с единицей. Другим примером арифметической прогрессии может служить последовательность

3; 1,5; 0; -1,5; -3.....

Каждый член этой последовательности, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с числом -1,5.

Данное выше определение арифметической прогрессии эквивалентно, очевидно, такому определению: числовая последовательность a1, a2, ... , an, ... называется арифметической прогрессией, если для любого n

an+1 = an + d,

где d - некоторое постоянное для данной последовательности число.

Это число d называется разностью прогрессии.

Например, для натурального ряда чисел d равно 1; для арифметической прогрессии 3; 1,5; 0; -1,5; -3; ... разность d равна -1,5.

Пусть a1 - первый член арифметической прогрессии, a d - ее разность.

Тогда по определению арифметической прогрессии

a2 = a1 + d,

a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d,

a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1+ 3d и т. д.

Очевидно, что при любом n > 1

. an = a1+ ( n - l ) d. (1)

К формуле (1) можно прийти другим путем, который, кстати, является и более строгим. По определению арифметической прогрессии

a2 = a1 + d,
a3 = a2 + d,
a4 = a3 + d,
...........................
an = an-1 + d

Складывая почленно эти n - 1 равенств, получаем:

(a2 + a3 + a4+ ...+ an-1) + an = a1 + (a2 + a3 + ... + an-2+ an-1) + (n - 1)d,

откуда и вытекает формула (1).

Формула (1) позволяет найти любой член арифметической прогрессии, если известны ее первый член и разность. Поэтому она называется формулой общего члена арифметической прогрессии. Например, для арифметической прогрессии

-10; -9,5; -9; ...

a1 = -10; d = 0,5.

Поэтому

a21 = a1 + 20d = -10 + 10 = 0,

a100 = a1 + 99d = -10 + 49,5 = 39,5 и т. д.


Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Теорема. Каждый член арифметической прогрессия начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов.

Другими словами, при любом n > 2

$$ a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} $$

Действительно, при любом n > 2

an = an-1 + d

an = an+1 - d

Почленное сложение этих равенств дает:

2an = an-1 + an+1

откуда и вытекает соотношение (1).

Верна и теорема, обратная к только что доказанной.

Если каждый член числовой последовательности, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов, то такая числовая последовательность является арифметической прогрессией.

Попробуйте доказать это самостоятельно. Отмеченное в этом параграфе свойство определяет, в частности, причину названия "арифметическая прогрессия".


Сумма членов арифметической прогрессии

Рассказывают, что однажды учитель начальной школы, желая занять класс на продолжительное время самостоятельной работой, дал детям "трудное" задание - вычислить сумму всех натуральных чисел от 1 до 100:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100.

Один из учеников моментально предложил решение. Вот оно.:

1+2 +3+... + 98 +99+ 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... +(49 + 52)+ (50 + 51) =
= 101 + 101 + . . . + 101 + 101 = 101 • 50 = 5050.
50 раз

Это был Карл Гаусс, ставший потом одним из самых знаменитых математиков мира.

Подобный случай с Гауссом действительно имел место. Однако здесь он значительно упрощен. Предложенные учителем числа были пятизначными и составляли арифметическую прогрессию с трехзначной разностью.

Идею такого решения можно использовать для нахождения суммы членов любой арифметической прогрессий.

Лемма. Сумма двух членов конечной арифметической прогрессии, равноудаленных от концов, равна сумме крайних членов.

Например, в конечной арифметической прогрессии

1, 2, 3.....98, 99, 100

члены 2 и 99, 3 и 98, 4 и 97 и т. д. являются равноудаленными от концов этой прогрессии. Поэтому их суммы 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 равны сумме крайних членов 1 + 100.

Доказательство леммы. Пусть в конечной арифметической прогрессии

a1, a2 , ..., an-1 , an

два каких-нибудь члена одинаково удалены от концов. Предположим, что один из них есть k-й член слева, то есть ak, а другой - k-й член справа, то есть an-k+1. Тогда

ak + an-k+1=[a1+ (k - 1 )d] + [a1 + (n - k)d] = 2a1 + (n - 1)d.

Сумма крайних членов, данной прогрессии равна

a1 + an = a1 + [a1 + (n - 1)d] = 2a1 + (n - 1)d.

Таким образом,

ak + an-k+1 = a1 + an

что и требовалось доказать.

Используя доказанную лемму, легко получить общую формулу для суммы n членов любой арифметической прогрессии.

Имеем:

Sn = a1+a2 + ...+ an-1 + an

Sn = an+ an-1 + ... + a2 + a1.

Складывая эти два равенства почленно, получаем:

2Sn = (a1+an) + (a2+an-1 )+...+(an-1+a2) + (an+a1)

но

a1+an = a2+an-1 = a3+an-2 =... .

Поэтому

2Sn = n (a1+an),

откуда

$$ S_a = \frac{a_1 + a_n}{2}\cdot n $$

Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних членов на число всех членов.

В частности,

$$ 1+2+3+...+100 = \frac{(1+100)100}{2} = 5050 $$

Основные формулы арифметической прогрессии

Формула n-го члена
$$ a_n=a_1+(n-1)*d $$
Разность прогрессии
$$ d=a_n-a_{n-1} $$
Количество членов прогресси
$$ n=\frac{a_n-a_1}{d}+1 $$
Сумма n первых членов прогрессии
$$ S_n=\frac{a_1+a_n}{2}*n $$
$$ S_n=\frac{2a_1+(n-1)*d}{2}*n $$
Дополнительное свойство
$$ a_n+a_k=a_l+a_m<=>n+k=l+m $$ где \(n, k, l, m \in N\)


« назад