Геометрическая прогрессия

Формула общего члена геометрической прогрессии

Геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для данной последовательности число, отличное от нуля.

Примеры геометрической прогрессии:

1, ¹/₃ , ¹/₉ , ¹/₂₇ , ... ,

2, 8, 32, 128 , ... ,

12, - 6, 3, - ³/₂, .....,

¹/₅ , - ²/₅ , ⁴/₅ , - ⁸/₅ , ... .

В каждой из этих последовательностей любой член, начиная со второго, получается из предыдущего путем умножения в первом случае на ¹/₃, во втором - на 4, в третьем - на ( - ¹/₂ ) , в четвертом - на (-2).

Геометрическую прогрессию, очевидно, можно определить и таким образом:

числовая последовательность a₁ , a₂ , a₃ ,... , a_n, ... называется геометрической прогрессией, если для любого n

a_{n + 1} = a_n • q,

где q - некоторое постоянное для данной последовательности и отличное от нуля число.

Это число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Для приведенных выше примеров q равно в первом случае ¹/₃ , во втором 4, в третьем- ¹/₂ , в четвертом - 2.

Геометрическая прогрессия называется возрастающей, если |q| > 1, и убывающей, если |q| < 1. Так, из приведенных выше геометрических прогрессий первая (q = ¹/₃) и третья (q = - ¹/₂ ) - убывающие, а вторая (q = 4) и четвертая (q = -2) - возрастающие.

Пусть знаменатель геометрической прогрессии a₁ , a₂ , a₃ ,... равен q. Тогда по определению

a₂ = a₁ • q,

a₃ = a₂ • q = (a₁ • q) • q = a₁ • q²

a₄ = a₃ • q = (a₁ • q²) • q = a₁ • q³

и т. д. Очевидно, что при любом n > 1

a_n = a₁ • q ^n-1 (1)

то есть n-й член геометрической прогрессии, равен произведению ее первого члена на знаменатель прогрессии в степени n- 1.

Формула (1) называется формулой общего члена геометрической прогрессии.

Например, для геометрической прогрессии

12, - 6, 3, - ³/₂, ...

a₁ = 12, q = - ¹/₂ .

Поэтому

$$ a_{10} = a_1\cdot q^9 = 12\cdot (-\frac{1}{2})^9 = \frac{3}{(-2)^7} = -\frac{3}{128} \\ a_{101} = a_1\cdot q^{100} = 12\cdot (-\frac{1}{2})^{100} = \frac{3}{2^{98}} $$

и т. д.

Характеристическое свойство геометрический прогрессии с положительными членами

Для любой геометрической прогрессии с положительными членами верна следующая теорема, которая, в частности, объясняет название "геометрическая прогрессия".

Теорема. Любой член геометрической прогрессии с положительными членами

a₁, a₂, ..., a_{n - 1} , a_n , a_{n + 1} , ...

начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних с ним членов.

Другими словами, при n > 2

$$ a_n = \sqrt{a_{n-1}\cdot a_{n+1}} \;\;\; (1) $$

Действительно, при n > 2

$$ a_n = a_{n-1}\cdot q \\ a_n = \frac{a_{n+1}}{q} $$

Поэтому

a_n² = a_{n - 1} • a_{n + 1}

откуда и вытекает равенство (1).

На геометрические прогрессии, содержащие отрицательные члены, эта теорема не распространяется: ведь среднее геометрическое определено только для положительных чисел.

Верна и теорема, обратная к только что доказанной.

Если каждый член числовой последовательности с положительными членами, начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних с ним членов, то такая последовательность является геометрической прогрессией.

Сумма членов геометрической прогрессии

Пусть S_n есть сумма n членов геометрической прогрессии a₁, a₁q, a₁q², ... :

S_n = a₁ + a₁q + a₁q² +... + a₁q ^{n - 1} (1)

Если знаменатель прогрессии q равен 1, то S_n = п • a₁. Если же он отличен от 1, то поступим следующим образом. Умножим равенство (1) почленно на q ; в результате получим:

qS_n = a₁q + a₁q² + a₁q³ + ... + a₁q ⁿ. (2)

Затем вычтем почленно из равенства (1) равенство (2):

S_n- qS_n = [a₁+(a₁q + a₁q² +...+ a₁q ^{n - 1})] - [(a₁q + a₁q² + a₁q³ +...+ a₁q ^{n - 1})+ a₁q ⁿ] = = a₁ - a₁q ⁿ = a₁(1 - q ⁿ ) Итак,

(1 - q)S_n = a₁(1 - q ⁿ ),

откуда

$$ S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} \;\;\; (3) $$

Таким образом, если знаменатель геометрической прогрессии не равен единице, то сумма n первых членов этой прогрессии равна дроби, в числителе которой стоит произведение первого члена на единицу минус n-я степень знаменателя прогрессии, а в знаменателе дроби - единица минус знаменатель прогрессии.

Примеры.

$$ \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{10}} = \frac{\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2^{10}})}{1-\frac{1}{2}} = \frac{2^{10} -1}{2^{10}} = \frac{1023}{1024} \\ 1-3+3^2 - 3^3 + ... +3^8 = \frac{1\cdot [1-(-3)^9]}{1-(-3)} =\frac{1+3^9}{4} = 4921 $$

Существует предание, по которому индийский принц Сирам (VI век)., предложил изобретателю шахмат любую награду, которую только тот захочет. Изобретатель попросил, чтобы за первую клетку шахматной доски ему дали одно пшеничное зерно, за вторую - два, за третью - четыре и т. д. - за каждую следующую клетку вдвое больше, чем за предыдущую. Такое "скромное" желание удивило принца, но он согласился. Когда же подсчитали количество зерен пшеницы, которое следовало выдать за все 64 клетки шахматной доски, то оказалось, что награда в этом размере не может быть выдана. Действительно, требуемое количество зерен равно: $$ 1+2+2^2+2^3+...+2^{63} = \frac{1\cdot(1-2^{64})}{1-2} = 2^{64} - 1 = 18446744073709551615 $$

Если бы такое число зерен равномерно рассыпать по всей земной суше, то образовался бы слой пшеницы толщиной около 9 мм.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

До сих пор, говоря о суммах, мы всегда предполагали, что число слагаемых в этих суммах конечно (например, 2, 15, 1000 и т. д.). Но при решении некоторых задач (особенно высшей математики) приходится сталкиваться и с суммами бесконечного числа слагаемых

S = a₁ + a₂ + ... + a_n + ... . (1)

Что же представляют из себя такие суммы? По определению суммой бесконечного числа слагаемых a₁, a₂, ..., a_n, ... называется предел суммы S_n первых n чисел, когда n-> ∞:

$$ S=\lim_{n \rightarrow\infty}S_n =\lim_{n \rightarrow\infty}(a_1 + a_2 +... +a_n) \;\;\; (2) $$

Предел (2), конечно, может существовать, а может и не существовать. Соответственно этому говорят, что сумма (1) существует или не существует.

Как же выяснить, существует ли сумма (1) в каждом конкретном случае? Общее решение этого вопроса выходит далеко за пределы нашей программы. Однако существует один важный частный случай, который нам предстоит сейчас рассмотреть. Речь будет идти о суммировании членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Пусть a₁ , a₁q , a₁q², ...- бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Это означает, что |q| < 1. Сумма первых n членов этой прогрессии равна

$$ S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} $$

Из основных теорем о пределах переменных величин получаем:

$$ \lim_{n \rightarrow\infty}S_n = \lim_{n \rightarrow\infty}\frac{a_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{a_1}{1-q}\cdot \lim_{n \rightarrow\infty}(1-q^n) = \frac{a_1}{1-q}[\lim_{n \rightarrow\infty}1 - \lim_{n \rightarrow\infty}q^n] $$

Но \(\lim_{n \rightarrow\infty}\)1 = 1, a \(\lim_{n \rightarrow\infty}q^n = 0\). Поэтому

$$ S=\lim_{n \rightarrow\infty}S_n = \frac{a_1}{1-q} $$

Итак, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна первому члену этой прогрести, деленному на единицу минус знаменатель этой прогрессии.

Примеры.

1) Сумма геометрической прогрессии 1, ¹/₃ , ¹/₉ , ¹/₂₇ , ... равна

$$ S=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2} $$

а сумма геометрической прогрессии 12; -6; 3; - ³/₂, ... равна

$$ S=\frac{12}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{12}{\frac{3}{2}} = 8 $$

2) Простую периодическую дробь 0,454545 ... обратить в обыкновенную.

Для решения этой задачи представим данную дробь в виде бесконечной суммы:

$$ 0,454545 ... = \frac{45}{100}+\frac{45}{10000}+\frac{45}{1000000}+... $$

Правая часть этого равенства представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, первый член которой равен ⁴⁵/₁₀₀, а знаменатель ¹/₁₀₀. Поэтому

$$ 0,454545 ... = \frac{\frac{45}{100}}{1-\frac{1}{100}} = \frac{45}{99} = \frac{5}{11} $$

Описанным способом может быть получено и общее правило обращения простых периодических дробей в обыкновенные:

Для обращения простой периодической дроби в обыкновенную нужно поступить следующим образом: в числителе поставить период десятичной дроби, а в знаменателе - число, состоящее из девяток, взятых столько раз, сколько знаков в периоде десятичной дроби.

3) Смешанную периодическую дробь 0,58333 .... обратить в обыкновенную.

Представим данную дробь в виде бесконечной суммы:

$$ 0,583333... = \frac{58}{100}+\frac{3}{1000}+\frac{3}{10000}+\frac{3}{100000}+... $$

В правой части этого равенства все слагаемые, начиная с ³/₁₀₀₀, образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, первый член которой равен ³/₁₀₀₀, а знаменатель ¹/₁₀. Поэтому

$$ \frac{3}{1000}+\frac{3}{10000}+\frac{3}{100000}+... = \frac{\frac{3}{1000}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{1}{300} $$ Следовательно: $$ 0,583333... = \frac{58}{100}+\frac{1}{300} = \frac{175}{300}=\frac{7}{12} $$

Описанным способом может быть получено и общее правило обращения смешанных периодических дробей в обыкновенные, но оно громоздкое. Гораздо полезнее знать, что любую смешанную периодическую дробь можно представить в виде суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии и некоторого числа. А формулу

$$ S = \frac{a_1}{1-q} $$

для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии нужно запомнить.

Основные формулы геометрической прогрессии

Формула n-го члена:
$$ a_n=a_1\cdot q^{(n-1)} $$где q - знаменатель прогрессии; если |q|< 1, то прогрессия - бесконечно убывающая

Формулы вычисления элемента прогрессии:
$$ a_{i+1}=b_i\cdot q \;\;\;\; b_i^2=b_{i-1}b_{i+1} $$
Формула вычисления суммы первых n-элементов прогрессии:
$$ S_n = \frac{b_1\cdot(q^n -1)}{q-1} $$
Формула вычисления суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
$$ S = \frac{b_1}{1-q}, \;\;|q| < 1 $$