Составление уравнения c одним неизвестным

Всякая арифметическая задача состоит в том, что по нескольким известным величинам и по данным соотношениям между этими известными величинами и другими, неизвестными, отыскиваются неизвестные. Алгебра дает особый способ для решения арифметических задач. Этот способ основан на том, что словесно выраженные условия арифметических задач могут быть переведены на математический язык, т.е. выражены посредством алгебраических формул.

Перевод словесно выраженных условий задачи на алгебраический язык вообще называется составлением формул.

Составить по условиям задачи уравнение с одним неизвестным значит так перевести эти условия на алгебраический язык, чтобы вся совокупность этих условий выразилась одним уравнением, содержащим одно неизвестное. Для этого необходимо, чтобы число отдельных независимых между собою условий задачи было бы равно числу подразумеваемых в ней неизвестных.

Вследствие чрезвычайного разнообразия задач приемы составления уравнений, соответствующих этим задачам, чрезвычайно разнообразны. Общих правил для составления уравнений нет. Но есть одно общее указание, которое руководит нашим рассуждением при переводе условий задачи на алгебраический язык и позволяет нам с самого начала рассуждения идти верным путем к достижению окончательной цели. Это общее указание, или общий принцип составления уравнения мы выразим следующим образом:

Чтобы составить по условиям задачи уравнение с одним неизвестным, нужно:

  1. выбрать между неизвестными, которые в задаче или прямо указываются, или подразумеваются, какое-нибудь одно, принимаемое за первое, и обозначить это неизвестное какой-нибудь буквой, напр., х;
  2. посредством этого обозначения и обозначений, данных в задаче, выразить все величины, о которых в задаче прямо говорится, или которые подразумеваются, наблюдая, чтобы при составлении таких выражений постепенно принимались во внимание все данные в задаче числа и все относящиеся к данным или к неизвестным величинам условия;
  3. после такого применения всех условий разыскать между составленными или просто записанными выражениями два таких, которые в силу одного из данных условий должны быть равны между собою, и соединить эти выражения знаком равенства.

Применим этот принцип к решению двух задач:

Задача 1 я. Число монет в одном кошельке вдвое меньше, чем в другом. Если выложить из первого шесть монет, а во второй прибавить восемь монет, то число монет в первом окажется в семь раз меньше, чем во втором. Узнать, сколько монет в каждом кошельке?

В этой задаче указаны несколько известных и несколько неизвестных величин. Примем за первое неизвестное число монет первого кошелька и обозначим его через х. Затем займемся обозначением всех величин, к которым относятся условия задачи.

Число монет первого кошелька есть х. Отношение чисел монет во втором и первом кошельках 2. Значит число монет второго кошелька 2х.

Из первого вынимают 6 монет. Поэтому в первом кошельке остается монет х-6.

Во второй прибавляют 8 монет. Следовательно, во втором кошельке получится монет 2х + 8. Новое отношение между числами монет второго и первого кошелька есть \(\frac{2x+8}{x-6}\). Оно также равно 7. На этом основании составляем уравнение \(\frac{2x+8}{x-6} = 7\), решая которое, получим х=10, после чего нетрудно определить другие неизвестные, о которых мы здесь упоминали.

Если бы мы приняли за первое неизвестное число монет второго кошелька и обозначили бы его для отличия от предыдущего обозначения через у, то, как легко убедиться, получилось бы другое уравнение, именно (у + 8):( у/2 - 6)=7, которое также разрешает задачу и дает ответ у = 20.

Можно было бы принять за первое неизвестное число монет, оказавшееся в первом кошельке после выкладки из него 6 монет; тогда, обозначив это неизвестное через z и идя тем же путем, каким мы шли при составлении первого уравнения, мы получили бы уравнение \( \frac{2(z+6)+8}{z}=7 \), откуда z = 4.

Но можно было бы изменить также сам путь составления уравнения, например, тем, что мы прежде приняли бы во внимание измененное отношение между числами монет, а составление уравнения основали бы на том, что известно о первоначальном отношении. В этом случае составление уравнения велось бы так:

Число монет первого кошелька после выкладки есть z. Выложено 6 монет. Значит первоначальное число монет первого кошелька z + 6. Измененное отношение между числами монет 7. Поэтому измененное число монет второго кошелька 7z. Прибавлено было 8 монет. Следовательно, первоначальное число монет второго кошелька 7z.- 8. Первоначальное отношение между числами монет есть \( \frac{7z-8}{z+6} \) Оно же равно 2. На этом основании имеем уравнение \( \frac{7z-8}{z+6} = 2 \), совместное с предыдущим, хотя и отличающееся от него по виду.

Если бы, идя этим вторым путем, мы приняли за первое неизвестное число монет второго кошелька после прибавления в него 8 монет, то, обозначив это неизвестное для отличия через и, получили бы уравнение (и-8):(и/7 + 6 )=2, откуда и=28.

Эти разъяснения показывают, что, руководствуясь одним и тем же общим правилом для составления уравнений, мы все-таки получаем в каждой задаче разнообразные способы для достижения этой цели. Лучшим способом считается тот, который проще выражает условия задачи и быстрее ведет как к составлению, так и к решению уравнения. В данном случае первый и третий способы одинаково удобны для решения уравнения, но первый все-таки проще и потому лучше остальных.

Применяя указанное правило составления уравнений, нужно помнить, что во всякой правильно выраженной задаче должно быть принято во внимание каждое данное число и каждое из выраженных условий.


Задача 2-я. Из города А выходит путешественник, проходящий в день по 20 км. Через два дня навстречу ему выходит из города В другой путешественник, который проходит ежедневно по 30 км. Расстояние между А иВ равно 190 км. Спрашивается, когда и где встретятся оба путешественника?

1-й способ. Примем за первое неизвестное время движения первого путешественника от выхода из А до встречи, а за последнее условие то, что расстояние между А и В равно 190 км. Тогда рассуждение будем вести так:

Положим, что первый шел до встречи х дней. Ежедневно он проходил по 20 км. Поэтому он прошел всего 20х км.

Второй вышел позднее на 2 дня. Значит, он шел до встречи х-2 дня. Ежедневно он проходил по 30 км. Следовательно, он прошел всего 30(х-2) км. Вместе оба путешественника прошли [20х + 30(х-2)] км. Все расстояние между А и В равно 190 км. На этом основании находим уравнение

20х + 30(х-2) =190,

откуда х=5. Из этого видим, что первый путешественник шел 5 дней и прошел 100 км, второй шел 3 дня и прошел 90 км.

2-й способ. Примем за первое неизвестное расстояние, пройденное первым путешественником от выхода до встречи, и за последнее условие то, что второй путешественник вышел позднее первого на 2 дня. Тогда рассуждение поведется так:

Полагаем, что первый прошел до встречи у км. Ежедневно он проходил по 20 км. Поэтому он шел всего у/20 дней.

Второй прошел всего (190-у) км. Ежедневно он проходил по 30 км. Значит он шел всего \(\frac{190-y}{30}\) дней.

Разность между временами движения обоих есть \(\frac{y}{20} - \frac{190-y}{30}\) и равна 2. Следовательно, находим уравнение \(\frac{y}{20} - \frac{190-y}{30} = 2\), откуда у=100.

3-й способ. Первое неизвестное есть время движения второго путешественника от выхода из В до встречи, последнее условие то, что первый путешественник проходит ежедневно по 20 км.

Положим, что второй идет до встречи z дней. Значит,первый пройдет (z+2) дня. Проходя ежедневно по 30 км, второй пройдет всего 30z км. Так как обоим нужно пройти 190 км, то первому останется сделать (190-30z) км. Для этого он должен делать ежедневно по \(\frac{190-30z}{z+2}\) км. Так как это выражение равно 20, то получается уравнение \(\frac{190-30z}{z+2} = 20\), откуда z = 3.

4-й способ. Первое неизвестное есть расстояние, пройденное вторым путешественником до встречи, последнее условие то, что второй проходит ежедневно 10-ю километрами более первого.

Полагаем, что второй прошел до встречи и км. Значит первому оставалось еще пройти (190-и) км. Так как до выхода второго он уже прошел 40 км, то после выхода второго ему оставалось еще пройти (150-и) км. Разность расстояний, проходимых одновременно обоими, есть (2и-150) км. Время их общего движения есть и/30 дней.Следовательно, второй в день проходит больше первого на (2и-150) : и/30 км. Так как это выражение равно 10, то получается уравнение (2и-150) : и/30 =10, которое дает и = 90.

Предыдущие объяснения показывают, что разнообразие способов для составления уравнений в одной и той же задаче зависит как от порядка последовательно обозначаемых величин, так и от порядка последовательно принимаемых во внимание условий.