Отношения и пропорции

Отношение

Часто приходится сравнивать между собой одну величину с другой величиной, однородной ей, с целью узнать, сколько раз первая величана содержит в себе вторую.

Например, мы с этой целью можем сравнивать вес какого-нибудь предмета с весом другого предмета, цену одного товара с ценой другого товара и т.п. Во всех таких случаях результат сравнения выражается числом, которое может быть и целым, и целым с дробью, и дробным. Пусть, например, мы сравниваем длину а с другой длиной b, и результат сравнения оказался целым числом 3.

Это значит, что длина а содержит в себе длину b ровно 3 раза (другими словами, а больше b в 3 раза).

Если результат сравнения есть целое число с дробью, например 2¹/₂ , то это значит, что а содержит в себе b 2¹/₂ раза (a больше b в 2¹/₂ раза).

Если, наконец, результат сравнения есть дробь, положим ³/₄ , то а не содержит в себе b ни одного раза, а составляет только ³/₄ b.

Во всех этих случаях результат сравнения есть отвлеченное число, на которое надо умножить вторую величину, чтобы получить первую. Так, во взятых нами примерах:

a = b • 3 ; a = b • 2¹/₂ ; a = b • ³/₄ ;

Результат сравнения одной величины с другой однородной величиной принято называть отношением первой величины ко второй. Значит, отношением одной величины к другой однородной величине называется отвлеченное чиcло, на которое надо умножить вторую величину, чтобы получить первую. Так как это число есть частное от деления первой величины на вторую, то отношение обозначается знаком деления. Так, можно писать:

^a/_b (или a : b) =3; ^a/_b = 2¹/₂ ^a/_b = ³/₄. и т. п.

Величины, между которыми берется отношение, называются членами отношения, причем первая величина называется предыдущим членом, а вторая - последующим.

Если величины измерены одной и той же единицей и выражены числами, то отношение их можно заменить отношением этих чисел. например, отношение двух весов, одного в 80 г, а другого в 15 г, равно отношению чисел 80 и 15, т. е. оно равно частному 80:15, что составляет 5¹/₃; равным образом отношение угла в 30&dеg; к прямому углу равно частному 30:90, т. е. дроби ¹/₃

Сравнивать между собой приходится большею частью величины положительные; поэтому оба члена отношения и само отношение мы будем предполагать выраженными числами положительными.

Зависимость между отношением и его членами

та же самая, какая существует между делимым, делителем и частным.

Так:

а) Предыдущий член равен последующему, умноженному на отношение (делимое равно делителю, умноженному на частное). Если, например, отношение некоторого неизвестного числа х к числу 100 равно 2¹/₂ , то х = 100 • 2¹/₂ = 250.

б) Последующий член равен предыдущему, деленному на отношение (делитель равен делимому, деленному на частное). Так, если известно, что 15 : х = 5, то х = 15 : 5 = 3.

в) Отношение не изменится, если оба его члена умножим или разделим на одно и то же число (частное не изменится, если...).

Приведение членов отношения к целому виду

Умножая оба члена отношения на одно и то же число, мы можем отношение с дробными членами заменить отношением целых чисел. Так, отношение ⁷/₃ : 5 по умножении его членов на 3 обратится в отношение целых чисел 7:15; отношение ⁹/₁₄ : ¹⁰/₂₁ после умножения его членов на общий знаменатель 42 обратится также в отношение целых чисел 27 : 20.

Сокращение отношения

Если оба члена отношения - целые числа, делящиеся на какой-нибудь общий делитель, то такое отношение можно сократить. Так, отношение 42 : 12 по разделении.его членов на 6 будет 7:2.

Обратные отношения

Если мы переставим члены отношения, т. е. предыдущий член сделаем последующим, и наоборот, то получим новое отношение, которое называется обратным прежнему. Так, отношение метра к сантиметру обратно отношению сантиметра к метру; первое равно числу 100, второе равно обратному числу 0,01.

Пропорция

Заметив, что отношение килограмма к грамму равно 1000 и что отношение километра к метру также равно 1000, мы можем написать равенство:

$$ \frac{\text{килограмм}}{\text{грамм}}=\frac{\text{километр}}{\text{метр}} $$

или килограмм : грамм = километр : метр, что читается так: отношение килограмма к грамму равно отношению километра к метру; или так: килограмм относится к грамму так, как километр относится к метру (или еще так: килограмм больше грамма во столько раз, во сколько раз километр больше метра).

Равенство двух отношений принято называть пропорцией. Конечно, величины, входящие в каждое отношение, должны быть однородны; так, в нашем примере величины первого отношения - веса, а величины второго отношения - длины.

Из четырех величин, составляющих пропорцию, первая и четвертая называются крайними членами, вторая и третья - средними членами, первая и третья - предыдущими, вторая и четвертая - последующими. Последняя величина называется также четвертой пропорциональной к первым трем величинам.

Мы будем предполагать, что все четыре члена пропорции выражены числами; такую пропорцию мы будем называть числовой.

Основное свойство числовой пропорции

Пусть мы имеем такие числовые пропорции:

²¹/₇ = ¹⁵/₅ (каждое отношение = 3)

и

\( \frac{2\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}=\frac{10}{3} (\text{каждое отношение} = 3\frac{1}{3})\)

Возьмем в каждой пропорции произведение крайних членов и произведение средних и сравним их между собой. В первой пропорции произведение крайних равно

21•5=105, и произведение средних равно 7•15=105; во второй пропорции произведение крайних = 2 ¹/₂ • 3 = 7 ¹/₂ и произведение средних = ³/₄•10 = 7 ¹/₂

Таким образом, в каждой из взятых пропорций произведение крайних членов равно произведению средних.

Чтобы показать, что свойство это принадлежит всякой числовой пропорции, возьмем пропорцию в буквенном виде:

^a/_b = ^с/_d

Так как каждое из двух отношений, составляющих пропорцию, есть частное от деления предыдущего члена на последующий, то можно сказать, что пропорция есть равенство двух дробей. Приведем эти дроби к общему знаменателю bd.

$$ \stackrel{d}{\frac{a}{b}} = \stackrel{b}{\frac{c}{d}}; \;\;\; \frac{ad}{bd}=\frac{cb}{bd} $$

Умножим теперь обе части равенства на bd (от чего равенство не нарушится); тогда общий знаменатель сократится, и мы получим равенство:

ad = cb,

выражающее, что во всякой числовой пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.

Отсюда выходит, что каждый крайний член пропорции равен произведению средних, деленному на другой крайний, и каждый средний член пропорции равен произведению крайних, деленному на другой средний. Это дает нам возможность быстро решать уравнения, данные в виде пропорций; например, из уравнения

¹⁰/_x = ⁴⁵/₂₀

выводим прямо: х = ^10•20/₄₅ = 4⁴/₉.

Обратное предложение

Положим, мы имеем 4 таких числа, что произведение двух из них равно произведению двух остальных, например:

5 • 12 = 30 • 2.

Такое равенство мы можем превратить в ряд пропорций. Для этого разделим обе части на каждое из таких произведений:

5 • 30; 5 • 2; 12 • 30; 12 • 2,

в которых один сомножитель взят из одного данного произведения, а другой - из другого. Тогда получим 4 других равенства (если равные числа разделим на равные, то получим равные), а именно:

$$ \frac{5\cdot12}{5\cdot30}=\frac{30\cdot2}{5\cdot30}; \;\;\;\frac{5\cdot12}{5\cdot2}=\frac{30\cdot2}{5\cdot2}; \;\;\;\frac{5\cdot12}{12\cdot30}=\frac{30\cdot2}{12\cdot30}; \;\;\;\frac{5\cdot12}{12\cdot2}=\frac{30\cdot2}{12\cdot2};$$

Сократив все эти дроби, найдем:

$$ \frac{12}{30}=\frac{2}{5}; \;\;\;\frac{12}{2}=\frac{30}{5}; \;\;\;\frac{5}{30}=\frac{2}{12}; \;\;\;\frac{5}{2}=\frac{30}{12}; $$

Мы получим таким образом 4 пропорции, в которых крайними членами служат сомножители одного из данных произведений, а средними членами - сомножители другого данного произведения.

Подобно этому равенство 0,3 • 4 = 6 • 0,2 мы можем превратить в такие пропорции:

$$ \frac{0,3}{6}=\frac{0,2}{4}; \;\;\;\frac{0,3}{0,2}=\frac{6}{4}; \;\;\;\frac{4}{6}=\frac{0,2}{0,3}; \;\;\;\frac{4}{0,2}=\frac{6}{0,3}; $$

или равенство: 5x = 3y можем превратить в пропорции:

5:3 = y : x; x : y = 3 : 5, и т. п.

Таким образом, если произведение двух чисел равно произведению двух других чисел, то из этих 4 чисел можно составить пропорции, беря сомножители одного произведения за крайние члены, а сомножители другого произведения за средние члены пропорций.

Следствие. Во всякой числовой пропорции можно переставить средние члены между собой, крайние члены между собой, или средние поставить на место крайних, и наоборот, так как от таких перестановок не нарушится равенство между произведением крайних и произведением средних и, следовательно, не нарушится пропорциональность чисел.

Производные пропорции

Из всякой пропорции, помимо перестановки ее членов, можно получить еще некоторые другие пропорции, называемые производными. Укажем две из них.

Если каждое из равных отношений, составляющих пропорцию, увеличим или уменьшим на 1, то равенство между отношениями, очевидно, не нарушится. Поэтому, если

$$ \frac{a}{b}=\frac{c}{d} $$ то и $$ \frac{a}{b}+1=\frac{c}{d}+1 \;\;\;и\;\;\; \frac{a}{b}-1=\frac{c}{d}-1 $$

Приведя 1 к общему знаменателю с той дробью, к которой она приложена или от которой вычтена, мы получим:

$$ \frac{a}{b}+\frac{b}{b}=\frac{c}{d}+\frac{d}{d}; \;\;\;или\;\;\;\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}\;\;(1) $$ и $$ \frac{a}{b}-\frac{b}{b}=\frac{c}{d}-\frac{d}{d}; \;\;\;или\;\;\;\frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}\;\;(2) $$

Выведенные нами две производные пропорции мы можем высказать так: во всякой пропорции сумма или разность членов первого отношения относится к последующему члену этого отношения так, как сумма или разность членов второго отношения относится к последующему члену этого отношения.

Разделим равенство (1) и (2) на данное равенство ^а/_b = ^c/_d тогда знаменатели b и d сократятся, и мы получим еще две производные пропорции:

$$ \frac{a+b}{a}=\frac{c+d}{c}\;\;(3) \\ \frac{a-b}{a}=\frac{c-d}{c}\;\;(4) $$

которые можно высказать так: сумма или разность членов первого отношения относится к предыдущему члену этого отношения так, как сумма или разность членов второго отношения относится к предыдущему члену этого отношения.

Разделив почленно равенство (1) на равенство (2), найдем еще следующую производную пропорцию:

$$ \frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\;\;(5) $$

которую можно высказать так: сумма членов первого отношения относится к их разности так, как сумма членов второго отношения относится к их разности.

Переставив средние члены в двух производных пропорциях, получим еще другие производные пропорции, которые полезно заметить:

$$ \frac{a+b}{c+d}=\frac{b}{d}; \;\;\;\frac{a-b}{c-d}=\frac{b}{d}; \;\;\;\frac{a+b}{c+d}=\frac{a}{c}; \;\;\;\frac{a-b}{c-d}=\frac{a}{c}; \;\;\;\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}; $$

Свойство равных отношений

Возьмем несколько равных отношений, например, таких:

³⁰/₁₀ = ⁶/₂ = ¹⁵/₅ (каждое отношение =3).

Сложим все предыдущие члены между собой и все последующие члены между собой и посмотрим, в каком отношении находятся эти две суммы. Сумма предыдущих равна: 30 + 6 + 15 = 51; сумма последующих: 10 + 2 + 5 = 17. Мы видим, что отношение первой суммы ко второй равно тому же числу 3, какому равны данные отношения, так что можно написать:

$$ \frac{30+6+15}{10+2+5}=\frac{30}{10}=\frac{6}{2}=\frac{15}{5} $$ (отношение = 3)

Чтобы показать, что это свойство общее, возьмем несколько равных отношений в буквенном виде:

$$ \frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}= \cdots $$ (каждое отношение = q)

Так как предыдущий член равен последующему члену, умноженному на отношение, то

a = bq, c = dq, е = fq , . . .

и следовательно, а + с + е + . . . = bq + dq + fq + . . .

т. е. а + с + е . . . = q(b + d + f + . . .)

Разделим обе части этого равенства на сумму b + d + f + . . .

$$ \frac{a+c+e+\cdots}{b+d+f+\cdots}=q \\ q=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\cdots $$

следовательно:

$$ \frac{a+c+e+\cdots}{b+d+f+\cdots}=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\cdots $$

Таким образом, если несколько отношений равны между собой, то сумма всех предыдущих членов их относится к сумме всех последующих, как какой-нибудь из предыдущих относится к своему последующему.

Так как всякая пропорция состоит из двух равных отношений, то указанное свойство принадлежит также и пропорции.