Разложение алгебраических выражений на множители

Говоря об алгебраическом делении, мы указывали, что в некоторых случаях частное можно только обозначить знаком деления. Получаемые при этом выражения, вроде таких:

$$ \frac{a}{b}, \frac{2x}{3a}, \frac{x^2-4x+y^2}{x+y} $$

принято называть алгебраическими дробями по сходству этих выражений с арифметическими дробями.

Алгебраические дроби, подобно арифметическим, могут быть иногда упрощены посредством сокращения (т.е. посредством деления) делимого и делителя на их общие множители, если таковые окажутся. Для того, чтобы такое сокращение возможно было производить без затруднения, надо научиться разлагать алгебраические выражения на множители (подобно тому, как в арифметике для сокращения дробей надо уметь разлагать целые числа на составляющие их множители).

Разложение целых одночленов

Возьмем какой-нибудь целый одночлен, например 6a2b3. Так как он представляет собой произведение, то по одному его виду его сразу можно разложить на составляющие множители. Так:

6a2b3 = 2 • 3 (аа) (bbb) = 2 • 3ааbbb.

Соединяя эти сомножители в какие-нибудь группы (пользуясь сочетательным свойством умножения), мы можем для этого одночлена указать разнообразные разложения, например:

6a2b3=(6а)(аb3)=(2a2b)(3b2) = (Заb2)(2аb) и т. п.


Разложение многочленов

Укажем простейшие случаи, когда многочлен может быть разложен на множители.

  1. Так как (a + b - с) m = am + bm - cm, то и наоборот:

    am + bm - cm = (a + b - с) m.

    Таким образом, если все члены многочлена содержат общий множитель, то его можно вынести за скобки.

    например: 1) x6-2x2 + 3x = x(x5 -2x + 3).

    2) 16a2 - 4a3 = 4a2(4 - а).

    3) 5m(x - 1) + 3n (х - 1) = (х - 1) (5m - 3n).

  2. Так как

    (а+ b)(а-b)=а2 - b2

    то и наоборот:

    а2 - b2 = (а+ b)(а-b)

    Таким образом, двучлен, представляющий собой квадрат одного числа без квадрата другого числа, можно заменить произведением суммы этих чисел на их разность.

  3. Так как (а + b)2 = a2 + 2аb + b2 и (а - b)2 = a2 - 2аb + b2, то и наоборот:

    a2 + 2аb + b2 = (а + b)2 = (а + b) (а + b) и

    a2 - 2аb + b2 = (а - b)2== (а - b) (а - b) ,

    Значит, трехчлен, представляющий собой сумму квадратов каких-нибудь двух чисел, увеличенную или уменьшенную на удвоенное произведение этих чисел, можно заметешь квадратом суммы или разности этих чисел.

    Примеры.

    1) a2 + 2а + 1. Так как 1=12 и 2а = 2а • 1, то

    a2 + 2а + 1 = (а + 1)2.

    2) x4 + 4 - 4х2. Здесь x4 = (x2)2, 4 = 22 и 4х2 = 2x2 • 2;

    поэтому: x4 + 4 - 4х2 = (x2 - 2)2. Можно также написать, что

    x4 + 4 - 4х2 = (2- x2 )2, так как двучлены x2 - 2 и 2- x2, будучи возведены в квадрат, дают трехчлены, отличающиеся только порядком членов:

    (x2 - 2)2 = x4 + 4 - 4х2 ; (2- x2 )2 = 4 - 4х2 + x4.

    3) -х + 25х2 + 0,01. Здесь есть два квадрата: 25х2 = (5x)2 и 0,01 = 0,12. Удвоенное произведение чисел 5х и 0,1 составляет: 2 • 5х • 0,1 = x. Так как в данном трехчлене оба квадрата стоят со знаком +, а удвоенное произведение (т. е. х) со знаком -, то

    -х + 25х2 + 0,01 = 25х2 - х + 0,01 = (5x - 0,1 )2 = (0,1 - 5x )2.

    4) - х2 - у2 + 2xy. Вынесем знак - за скобки: - (х2+ у2- 2xy). Трехчлен, стоящий в скобках, очевидно, есть (х-у)2.

    Значит:

    - х2 - у2 + 2xy = - (х2+ у2- 2xy) = - (х - у)2 = - (у - х)2.

  4. Иногда многочлен можно разложить на множители посредством соединения его членов в некоторые группы.

    $$ ax+ay+bx+by = (ax+ay)+(bx+by) = a(x+y) +b(x+y) = (x+y)(a+b) $$

Формулы сокращенного умножения

Разность квадратов \(a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b)\)
Квадрат суммы двух чисел \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \)
Квадрат разности \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \)
Сумма кубов \(a^3+b^3 = (a+b)\cdot(a^2-ab+b^2)\)
Разность кубов \(a^3-b^3 = (a-b)\cdot(a^2+ab+b^2)\)
Куб суммы двух чисел \( (a+b)^3 = a^3+3a^2b +3ab^2+b^3 \)
Куб разности \( (a-b)^3 = a^3-3a^2b +3ab^2-b^3 \)
Бином Ньютона \( (a+b)^n = C_0^na^n + C_1^na^{n-1}b + ... +C_k^na^{n-k}b^k + C_n^nb^n,\\ \text{коэффициенты}\;\;\;C_k^n=n! / [k!(n-k)!] \)


« назад