Пропорциональная зависимость (прямая и обратная)

Пропорциональная зависимость

Каждый из опыта знает, что если объем воды увеличится (или уменьшится) в каком-нибудь отношении, то и вес ее увеличится (или уменьшится) в том же отношении. например, 1 л воды весит 1 кг, 2 л воды весят 2 кг, 2¹/₂ л воды весят 2¹/₂ кг и т. д. (предполагается, конечно, что все прочие условия, влияющие на вес воды, остаются неизменными; например, вода берется одинаково чистая, при одной и той же температуре и пр.). Такая зависимость между объемом воды и ее весом называется пропорциональною зависимостью. Вообще, если говорят, что две величины находятся между собою в пропорциональной зависимости (или пропорциональны друг другу), то это значит, что с увеличением (или уменьшением) одной из них в каком-нибудь отношении другая тоже увеличивается (или уменьшается) в таком же отношении. Так, стоимость товара, продаваемого на вес, пропорциональна его весу; плата рабочим пропорциональна числу их (при одинаковых прочих условиях); величина дроби пропорциональна ее числителю (при неизменном знаменателе); площадь прямоугольника пропорциональна его основанию при неизменной высоте и пропорциональна его высоте при неизменном основании и т. п.

Выражение пропорциональной зависимости формулой

Положим, мы решаем такую задачу:

Поезд железной дороги, двигаясь равномерно, проходит каждый час 30 км. Какое пространство пройдет этот поезд в а часов (а может быть числом целым и дробным)?

Пусть в а часов поезд пройдет х км.

Расположим данные и вопрос задачи так:

в 1 час проходится 30 км;

в а час „ х км.

При равномерном движении пространство, проходимое в течение какого-нибудь времени, пропорционально этому времени. Поэтому x должно быть более или менее 30 и во столько раз, во сколько а больше или меньше 1. Значит, мы можем записать пропорцию:

х : 30 = а : 1,

откуда

x = 30а.

Мы получили, таким образом, формулу, по которой можно вычислить пространство, пройденное в любое число а часов. например, в 2 часа будет пройдено 30 км • 2, в 3¹/₂ часа 30 км • 3¹/₂. в ³/₄ часа 30 км • ³/₄ . Значит, в выведенной формуле числа х и а будут переменные (соответствующие друг другу), число же 30 постоянное (означающее пространство, проходимое поездом в 1 час, т. е. скорость движения).

Из задач, подобных приведенной сейчас, мы усматриваем, что если две величины пропорциональны, то численное значение одной из них равно некоторому постоянному числу, умноженному на соответствующее численное значение другой величины.

И наоборот, если зависимость между двумя какими-нибудь переменными величинами, которые мы обозначим у и х, выражается формулой вида у = kх, где k есть некоторое постоянное для этих величин число, то такие величины пропорциональны, так как из этой формулы видно, что с увеличением (или уменьшением) величины х в каком-нибудь отношении другая величина у тоже увеличивается (или уменьшается) и притом в том же самом отношении. например, как известно из геометрии, длина С окружности радиуса R выражается формулой:

C = 6,28R (С = 2πR),

в которой R и C - переменные величины, а 6,28 - постоянное число; тогда мы можем заключить, что длина окружности пропорциональна ее радиусу.

Постоянное число, входящее сомножителем в подобные формулы, называется коэффициентом пропорциональности тех переменных величин, к которым формула относится.

Обратная пропорциональная зависимость

Иногда случается, что две переменные величины зависят одна от другой так, что с увеличением одной из них другая уменьшается и притом уменьшается в таком же отношении, в каком первая увеличивается. Такие величины называются обратно пропорциональными (а величины просто пропорциональные называются иногда прямо пропорциональными). Например, число часов, в течение которого поезд железной дороги проходит весь путь от Москвы до Ленинграда, обратно пропорционально средней скорости движения этого поезда, так как с увеличением скороcти в 1¹/₂ pаза, в 2 раза..., вообще в некотором отношении, число часов, в течение которого поезд пройдет расстояние от Москвы до Ленинграда, уменьшится в 1¹/₂ pаза, в 2 раза..., вообще в том же отношении, в каком скорость увеличилась. Подобно этому вес товара, который можно купить на данную сумму денег, например на 100 руб., обратно пропорционален цене килограмма этого товара; время, в течение которого выполняется рабочими заданная им работа, обратно пропорционально числу этих рабочих (конечно, при уcловии, что все рабочие работают одинаково успешно); величина дроби обратно пропорциональна ее знаменателю (при постоянном числителе), и т. п.

Замечание. Для того, чтобы две зависящие друг от друга величины были пропорциональны (прямо или обратно), не достаточно только того признака, что с увеличением одной величины другая тоже увеличивается (для прямой пропорциональности), или что с увеличением одной величины другая уменьшается (для обратной пропорциональности). например, если какое-нибудь слагаемое увеличится, то и сумма увеличится; но было бы ошибочно сказать, что сумма пропорциональна слагаемому, так как если увеличим слагаемое, положим в 3 раза, то сумма хотя и увеличится, но не в 3 раза. Подобно этому, нельзя, например, сказать, что разность обратно пропорциональна вычитаемому, так как если увеличится вычитаемое, положим в 2 раза, то разность хотя и уменьшится, но не в 2 раза. Нужно, чтобы увеличение или уменьшение обеих величин происходило в одинаковое число раз (в одинаковом отношении).

Выражение обратной пропорциональной зависимости формулой

Положим, мы решаем задачу: один рабочий может выполнить некоторую работу в 12 дней; во сколько дней сделают ту же работу а рабочих?

Обозначим искомое число буквой х и расположим для ясности данные и вопрос задачи так:

1 рабочий исполняет работу в 12 дней

а рабочих исполняют „ „ х дней.

Очевидно, что число дней, потребное для выполнения одной и той же работы, обратно пропорционально числу рабочих. Поэтому (x должно быть меньше 12 и во столько раз, во сколько а больше 1 (другими словами, во сколько 1 меньше а). Значит, отношение x :12 должно равняться не отношению а :1 , как это было бы при прямой пропорциональной зависимости, а обратному отношению 1 : а. Значит, мы можем написать пропорцию:

x : 12 = 1 : а

откуда

х = ¹²/_a .

По этой формуле мы можем находить число дней х, потребное для исполнения данной работы, при всяком числе а рабочих; например, 2 рабочих окончат работу в 12/2 дней, 3 рабочих в 12/3 дней и т. п. Значит, числа х и а в этой формуле переменные, а число 12 постоянное, означающее, во сколько дней исполняется работа одним рабочим.

Из задач, подобных решенной сейчас, мы можем усмотреть, что если две какие-нибудь величины (кoторые мы обозначим буквами х и у) обратно пропорциональны, то численное значение одной из них равно некоторому постоянному числy (обозначим его k), деленному на соответствующее значение другой величины, т. е. у = ^k/_x, если у и х представляют собою соответствующие значения этих величин.

Так как формулу у = ^k/_x можно представить так: ху = k, то зависимость между обратно пропорциональными величинами можно высказать еще иначе: если две величины обратно пропорциональны, то произведение двух соответствующих друг другу, численных значений этих величин равно постоянному числу.

Обратно, если зависимость между двумя переменными величинами выражается формулой:

у = ^k/_x или ху = k.

где k есть постоянное число, то эти величины обратно пропорциональны, так как из формулы видно, что если величина х увеличивается в несколько раз, то величина у уменьшается во столько же раз.

например, из физики известно, что при неизменной температуре произведение объема V данной массы газа на его упругость h есть величина постоянная; это, другими словами, означает, что упругость данной массы газа обратно пропорциональна его объему (при одной и той же температуре).

Замечание. Равенство у = ^k/_x может быть написано иначе, так:

у = k • ¹/_x

В этом виде оно выражает, что величина у прямо пропорциональна величине дроби ¹/_x. Значит, если число у обратно пропорционально числу х, то можно также сказать, что число у прямо пропорционально обратной величине числа x, т. е. ¹/_x.