Алгоритм исследования свойств квадратичной функции
- Область определения.
- Область значений.
- Четность/нечетность функции.
при b = 0 функция четная (то есть \(у = ах^2 +nс= а(-х)^2 + с\);
при \(b \neq 0\), функция ни четная, ни нечетная.
- Нули функции.
Если D > 0, то график квадратичной функции имеет два нуля: \(х_1 = \frac{-b -\sqrt{D}}{2a}; x_2 = \frac{-b +\sqrt{D}}{2a}\)
и график функции пересекает ось х в 2-х точках.
Если D = 0, то график квадратичной функции имеет один нуль: \(x = -\frac{b}{2a}\) и график функции касается оси х в точке \((-\frac{b}{2a}; 0)\)
Если D < 0, то график квадратичной функции не имеет нулей, график не пересекает ось х.
- Промежутки знакопостоянства.
- Промежутки монотонности.
Если а > 0, функция возрастает при \(х \in [-\frac{b}{2a}; +\infty)\); убывает при \(х \in ( -\infty;m-\frac{b}{2a}];\)
Если а < 0, функция возрастает при \(х \in ( -\infty;m-\frac{b}{2a}];\), убывает при \(х \in [-\frac{b}{2a}; +\infty)\)
- Экстремумы функции.
Если а > 0, то у графиков есть только минимум функций, если а < 0 – только максимум функций. Это точки вершины параболы.
Если a > 0, то \(x_{min} = -\frac{b}{2a}; y_{min} = -\frac{D}{4a}\), если a < 0 \(x_{max} = -\frac{b}{2a}; y_{max} = -\frac{D}{4a}\)
