Квадратные уравнения

Уравнение вида
$$ ax^2 + bx + c = 0$$ где, a, b, c - действительные числа, причем \(a \neq 0\), называют квадратным уравнением. Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если \(a \neq 1\), - то неприведенным. Числа a, b, c носят следующие названия a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, c - свободный член.

Корни уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) находят по формуле $$ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}\;\;\; (2)$$

Выражение \(D = b^2 - 4ac\) называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней; если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень; если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Используя обозначение \(D = b^2- 4ac\), можно переписать формулу (2) в виде: $$ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a} $$ Если b = 2k, то формула (2) принимает вид: $$ x_{1,2}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2 -ac}}{a} $$ где k = b / 2.
Последняя формула особенно удобна в тех случаях, когда b/2 - целое число, т.е. коэффициент b - четное число.

Пример 1: Решить уравнение 2x²- 5x + 2 = 0. Здесь a = 2, b = -5, c = 2. Имеем D = b²- 4ac = (-5)²- 4*2*2 = 9. Так как D > 0, то уравнение имеет два корня. Найдем их по формуле (2)
$$ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a} $$ Итак \(x_1 =\frac{( 5 + 3 )}{4 }= 2,\;\;\; x_2 =\frac{( 5 - 3 )}{4} = \frac{1}{2}\),
то есть \(x_1 = 2 \) и \(x_2 =\frac{1}{2}\) - корни заданного уравнения.

Пример 2: Решить уравнение 2x²- 3x + 5 = 0. Здесь a = 2, b = -3, c = 5. Находим дискриминант D = b²- 4ac = (-3)²- 4*2*5 = -31. Так как D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Неполные квадратные уравнения

Если в квадратном уравнении ax^2 +bx+c=0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения - проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Пример 1: решить уравнение 2x^2 - 5x = 0.
Имеем x(2x - 5) = 0. Значит либо x = 0, либо 2x - 5 = 0, то есть x = 2.5. Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 2.5

Пример 2: решить уравнение 3x^2 - 27 = 0.
Имеем 3x^2 = 27. Следовательно корни данного уравнения - 3 и -3.

Теорема Виета

Если приведенное квадратное уравнение \(x^2 + px + q = 0\) имеет действительные корни, то их сумма равна -p, а произведение равно q, то есть: $$ x_1 + x_2 = -p \\ x_1 x_2 = q $$ (сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Биквадратные уравнения

Биквадратным называется уравнение вида \( ax^4 + bx^2 + c = 0\), где \( a \neq 0\). Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив \(x^2 = y\), прийдем к квадратному уравнению \(ay^2 + by + c = 0\).

Пример: Решить уравнение \(x^4 + 4x^2 - 21 = 0\).

Положив \(x^2 = y\), получим квадратное уравнение \(y^2 + 4y - 21 = 0\), откуда находим \(y_1 = -7, y_2 = 3\). Теперь задача сводится к решению уравнений \(x^2 = -7, x^2 = 3\). Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим: $$ x_1 =\sqrt3, \;\;\; x_2 = -\sqrt3 $$ которые являются корнями заданного биквадратного уравнения.