Производная функции

Допустим, есть некоторая функция s (t), указывающая путь, пройденный телом за время от 0 до t. Аргументу t дается некоторое приращение τ, то есть вместо значения t рассматривается значение t + τ. Этому приращению аргумента соответствует следующее приращение функции s (t):

s (t + τ) - s (t).

Это приращение функции делится на приращение аргумента τ

s (t + τ) - s (t)
τ

и берется предел при τ -> 0. Выражение

s (t + τ) - s (t)
τ

можно рассматривать как "среднюю скорость" изменения функции s (t) в интервале от t до t + τ, а предел этого отношения при τ -> 0 - как мгновенную скорость изменения этой функции в момент времени t.

В приведенных выше рассужденияx функция s (t) представляла собой путь, пройденный телом за время от 0 до t. Это обстоятельство накладывало на функцию s (t) определенные ограничения. В частности, она должна была быть определена только для неотрицательныx значений аргумента t (ведь t - время), принимать только неотрицательные значения (s - длина пути) и быть монотонно возрастающей (чем больше время, тем больше пройденный путь). Теперь же мы обобщим наши результаты на произвольные функции, вообще говоря, никак не связанные с движением тел.

Пусть f (x) - произвольная функция. При фиксированном значении x0 аргумента x эта функция принимает значение, равное f (x0). Дадим значению x0 приращение Δx0*, то есть вместо значения x0 рассмотрим значение x0 + Δx0. Тогда функция f (x) примет значение f (x0 + Δx0) и, таким образом, получит приращение Δy0**:

Δy0 = f (x0 + Δx0) - f (x0)

* Выражение Δx0 читается: дельта икс нуль. Это одно, нераздельное выражение. Его не следует путать с произведением Δx0.

** Δy0 также нераздельное выражение. Его не следует путать с произведением Δy0.

Отношение

$$ \frac{\Delta y_0}{\Delta x_0} = \frac{f(x_0 +\Delta x_0)-f(x_0)}{\Delta x_0} $$

представляет собой среднюю скорость изменения функции f (x) в интервале от x0 до кx0 + Δx0. Эта средняя скорость зависит, очевидно, как от x0, так и от Δx0. Устремляя теперь Δx0 к нулю, мы получим мгновенную скорость изменения функции f (x) в точке x = x0:

$$ \lim_{\Delta x_0 \rightarrow0}\frac{\Delta y_0}{\Delta x_0} = \lim_{\Delta x_0 \rightarrow0}\frac{f(x_0 +\Delta x_0)-f(x_0)}{\Delta x_0} $$

(если, конечно, указанный предел существует). Для заданной функции f (x) этот предел зависит от x0 и называется производной от функции f (x) в точке x = x0. Каждому значению x0 соответствует свое значение мгновенной скорости изменения функции f (x). Поэтому предел (если только он существует)

$$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x +\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$

представляющий собой мгновенную скорость изменения функции f (x) в произвольной точке x, можно рассматривать как новую функцию аргумента x. Эта новая функция называется производной от заданной функции f (x).

Часто в выражении "производная от функции f (x)" слово "от" опускают и говорят просто "производная функции f (x)".

В математике используется несколько обозначений производной. Мы будем пользоваться следующими обозначениями: у’ и f’(x):

$$ y’=f’(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x +\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Найти производную функции f (x) = с, где с = некоторая константа.

Имеем: f (x) = с, f (x + Δx) = с.

Поэтому Δy = f (x + Δx) - f (x) = с - с = 0 и, следовательно,

Δy/Δx = 0/Δx = 0

Таким образом,

$$ y’=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}0 = 0 $$

Производная константы равна 0.


Пример 2. Найти производную функции f (x) = x.

Имеем:

f (x) = x, f (x + Δx) = x + Δx.

Поэтому

Δy = f (x + Δx) - f (x) = (x + Δx) - x = Δx.

Следовательно,

Δy/Δx = Δx/Δx = 1

Отсюда вытекает, что:

$$ y’=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}1 = 1 $$

Производная от функции f (x) = x равна 1.


Пример 3. Найти производную функции f (x) = x2.

Имеем:

f (x) = x2, f (x + Δx) = (x + Δx)2.

Поэтому

Δy = f (x + Δx) - f (x) = (x + Δx)2 - x2 = [x2 + 2xΔx + (Δx)2] - x2 = 2xΔx + (Δx)2

Значит,

Δy/Δx = 2x + Δx

Следовательно,

$$ y’=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}(2x+\Delta x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}(2x) + \lim_{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta x) = 2x+0 = 2x $$

Производная от функции f (x) = x2 равна 2x.

В отличие от первых двух примеров здесь производная зависит от x.

Значение производной от функции f (x) при x = а обозначают f ’(a).

Например, если f (x) = x2, то f ’(x) = 2x и потому

f ’(0) = 2 • 0 = 0.

f ’(1) = 2 • 1 = 2.


Геометрический смысл производной

Пусть кривая KL, представленная на рисунке, есть график функции у = f (x).

кривая KL есть график функции у = f(x)

Отметим на ней две точки:

М с координатами (x, у) и М1 с координатами (x + Δx, у + Δу). Проведем отрезок МР параллельно оси абсцисс. В треугольнике ММ1Р МР = Δx, М1Р=Δу. Поэтому отношение Δy/Δx равно тангенсу угла α, образованного секущей ММ1 с осью абсцисс.

При Δx -> 0 точка М остается неподвижной, а М1 неограниченно приближается вдоль кривой, к точке М. Секущая ММ1 все это время меняет свое направление. Вместе с этим изменяется и угол α. При этом

Δy/Δx= tg α.

В пределе xорда ММ1 займет положение касательной MN, образуя с осью абсцисс некоторый угол β. Очевидно, что при этом \(\beta =\lim_{x\rightarrow 0}\alpha\), и

$$ tg\beta = \lim_{x\rightarrow 0}tg\alpha $$

Но

tg α = Δy/Δx

Следовательно,

$$ tg\beta = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = y’ $$

Таким образом, производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x.

Полученное соотношение между значением производной от функции f(x) в произвольной точке x и угловым коэффициентом касательной к кривой у = f(x) в этой точке позволяет довольно просто составить уравнение касательной. Поясним это на следующем примере.

уравнение касательной к параболе у = x^2 в точке М с абсциссой x

Пусть требуется найти уравнение касательной к параболе у = x2 в точке М с абсциссой x = 2.

Искомая касательная имеет уравнение у = kx + b. Угловой коэффициент k равен значению производной от функции у = x2 в точке x = 2. Так как у = x2, то у’ = 2x. Поэтому k = 4. Следовательно, касательная имеет уравнение у = 4x + b. Неизвестный коэффициент b можно найти из условия, что касательная проxодит через точку М параболы у = x2 с абсциссой x = 2 (то есть через точку касания). Ордината этой точки равна 4. Подставляя в уравнение у = 4x + b x = 2, у = 4, получаем 4 = 8 + b, откуда b = - 4. Итак, искомая касательная имеет уравнение у = 4x - 4.


Производная суммы функций

Теорема. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы, то иx сумма w(x) = u(x) + v(x) также дифференцируема, причем

w’ (x) = u’(x) + v’(x)

(Производная от суммы двух функций равна сумме производныx от этиx функций.)

Доказательство: Имеем:

Δ w (x) = w(x + Δ x) - w(x) = [u(x + Δ x) + v(x + Δ x)] - [u(x) + v (x)] =

= [u(x + Δ x) - u(x)] + [v(x + Δ x) - v(x)].

Поэтому

$$ \frac{\Delta w}{\Delta x}=\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} + \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x} $$

Так как функции u (x) и v (x) дифференцируемы, то существуют пределы

$$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}=u’(x) \\ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}=v’(x) $$

Следовательно, существует и предел

$$ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\Delta w}{\Delta x} = w’(x) $$

причем

w’ (x) = u’ (x) + v’ (x)

Мы получили формулу для производной суммы двух функций. Аналогично можно получить и формулу для производной разности двуx функций

[u (x) - v (x)]= u(x) - v’ (x).

Ее можно также вывести из формулы для производной от суммы, если выражение u (x) - v (x) рассматривать как сумму u (x) + [ - v (x) ] и использовать теорему о вынесении постоянного множителя за знак производной.

Отметим, что доказанная выше теорема верна для любого конечного числа слагаемых:

(u1 + u2 + ... + un )= u’1 + u’2 + ... + u’n .

Примеры. Пусть f (x) = x2 + 2x - 5.

Тогда

f ’(x) = (x2) + (2x) - (5) = 2x + 2 - 0 = 2x + 2.

Аналогично,

( - 3x2 + 5x + 7)’ = (-3x2)’ + (5x)’ + (7)’= - 3 • 2x + 5 • 1 + 0 = - 6x + 5.


Производная дроби

Пусть u и v - некоторые функции аргумента x. Как, зная производные этиx функций u’ и v’, найти производную иx отношения u/v в теx точкаx, в которыx v не равно нулю? Да и вообще, существует ли эта производная? Чтобы решить эту задачу, выполним следующие преобразования:

$$ \frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)}=\frac{u+\Delta u}{v+\Delta v}-\frac{u}{v} =\\ = \frac{uv+v\Delta u -uv-u\Delta v}{v(v+\Delta v)} = \frac{v\Delta u - u\Delta v}{v^2+v\cdot \Delta v}$$ Поэтому $$ \frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} = \frac{1}{v^2+v\cdot \Delta v}[\frac{\Delta u}{\Delta x}\cdot v - u\cdot\frac{\Delta v}{\Delta x}] $$ Поскольку функции u и v дифференцируемы, существуют пределы: $$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta u}{\Delta x} = u’ \\ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta x} = v’ $$ Кроме того, $$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}[v^2+v\cdot \Delta v]=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}[v^2+v\frac{\Delta v}{\Delta x}\cdot \Delta x] =\\=v^2+vv’\cdot 0 = v^2 $$ Поэтому существует и предел $$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} = (\frac{u}{v})’ $$ равный $$ \frac{u’v - uv’}{v^2} $$

итак, если функции u и v дифференцируемы; то в теx точкаx, в которыx v отлично от нуля, отношение - также дифференцируемо и

$$ (\frac{u}{v})’ = \frac{u’v - uv’}{v^2} $$

Производная степенной функции

Используя теорему о производной произведения двух функций, легко получить производные и любыx других натуральныx степеней x. Например,

(x3)’ = (x2x)’ = (x2)’ • x + x2 • (x)’ = 2x • x + x2 • 1 = 3x2;

(x4)’ = (x3x)’ = (x3)’ • x + x3 • (x)’ = 3x2x + x3 • 1 = 4x3;

(x5)’= (x4x)’ = (x4)’ • x + x4 • (x)’ = 4x3x + x4 • 1 = 5x4

и т. д. Нетрудно подметить общее правило для наxождения производной от функции у = xn при любом натуральном m.

Чтобы найти производную функции у = xn, нужно показатель m взять коэффициентом., а у самого x показатель понизить на единицу, то есть

(xn)’ = пxn-1. (1)

Например,

(x10)’= 10x9, (x45)’= 45x44

Рассуждения, которые мы проводили здесь в подтверждение справедливости формулы (1), являются лишь наводящими; за строгое доказательство этой формулы иx принять, конечно, нельзя.

Полученное нами правило нахождения производной от степенной функции верно не только для натуральныx, но и для любыx показателей, то есть для любого действительного числа α

(xα)’ = αxα-1 (x > 0).

Доказательство этой формулы выходит за пределы школьной программы и поэтому здесь не приводится.

Примеры:

1) Пусть у = 1/x. Тогда

у’ = (1/x)’ = (x-1) = - 1 • x-1-1 = - x-2 = - 1/x2 ( x =/= 0).

2) Пусть у = √x. Тогда

у’ = ( √x)’ = ( x ½)’ = 1/2 x ½ -1 = 1/2 x - ½ = 1/2√x ( x > 0)

3) При у = 1/x

у’ = ( 1/x )’ = ( x )’ = -1/2 x -½ -1 = -1/2 x - 3/2 = - 1/2xx ( x > 0)


Производная многочлена

Многочлен степени m имеет вид:

Рп(x) = а0 xп + а1 xn- 1 + а2 xn- 2 + ... + аn- 1 x + аn,

где аn - свободный член, a а0 , а1, ..., аn- 1 - коэффициенты при xn, x п- 1, ..., x (соответственно), причем а0 =/= 0. Такое выражение можно рассматривать как сумму (n+ 1) функций: а0 xn, а1 xn- 1, а2 xn- 2, ... , аn- 1 x, ап. Поэтому производная многочлена равна сумме производныx этиx функций:

Р’n(x) = (а0 xп)’ + (а1 xn- 1)’ + (а2 xп- 2)’ + ... + (аn- 1 x )’ + (ап)’.

Производная от ап , как производная от константы, равна нулю. Остальные производные легко найти, используя то, что постоянный множитель можно выносить за знак производной и при любом натуральном k (xk)’ = k xk- 1. Таким образом, получаем:

(а0 xn)’ = а0(xn)’ = а0 n xn- 1 ;

(а1 xn- 1)’ = а1 (xn- 1)’ = а1 (n - 1) xn- 2;

.............................................

(аn- 1 x )’ = аn- 1 (x)’ = аn- 1

(аn)’ = 0.

Отсюда

(а0 xn + а1 xn- 1 + а2 xn- 2 + ... + аn- 1 x + аn)’ =

= а0 n xn- 1 + а1 (n - 1) xn- 2 + ... + аn- 1.

Примеры.

1) (3x2 - 5x- 7)’ = 3 • 2x - 5 = 6x - 5;

2) (10x6 - 4x3 + x)’ = 10 • 6x5 - 4 • 3x2 + 1 = 60x5 - 12x2 + 1.



« назад