Производная функции

Допустим, есть некоторая функция s (t), указывающая путь, пройденный телом за время от 0 до t. Аргументу t дается некоторое приращение τ, то есть вместо значения t рассматривается значение t + τ. Этому приращению аргумента соответствует следующее приращение функции s (t):

s (t + τ) - s (t).

Это приращение функции делится на приращение аргумента τ

s (t + τ) - s (t)
τ

и берется предел при τ -> 0. Выражение

s (t + τ) - s (t)
τ

можно рассматривать как "среднюю скорость" изменения функции s (t) в интервале от t до t + τ, а предел этого отношения при τ -> 0 - как мгновенную скорость изменения этой функции в момент времени t.

В приведенных выше рассужденияx функция s (t) представляла собой путь, пройденный телом за время от 0 до t. Это обстоятельство накладывало на функцию s (t) определенные ограничения. В частности, она должна была быть определена только для неотрицательныx значений аргумента t (ведь t - время), принимать только неотрицательные значения (s - длина пути) и быть монотонно возрастающей (чем больше время, тем больше пройденный путь). Теперь же мы обобщим наши результаты на произвольные функции, вообще говоря, никак не связанные с движением тел.

Пусть f (x) - произвольная функция. При фиксированном значении x₀ аргумента x эта функция принимает значение, равное f (x₀). Дадим значению x₀ приращение Δx₀*, то есть вместо значения x₀ рассмотрим значение x₀ + Δx₀. Тогда функция f (x) примет значение f (x₀ + Δx₀) и, таким образом, получит приращение Δy₀**:

Δy₀ = f (x₀ + Δx₀) - f (x₀)

* Выражение Δx₀ читается: дельта икс нуль. Это одно, нераздельное выражение. Его не следует путать с произведением Δ • x₀.

** Δy₀ также нераздельное выражение. Его не следует путать с произведением Δ • y₀.

Отношение

$$ \frac{\Delta y_0}{\Delta x_0} = \frac{f(x_0 +\Delta x_0)-f(x_0)}{\Delta x_0} $$

представляет собой среднюю скорость изменения функции f (x) в интервале от x₀ до кx₀ + Δx₀. Эта средняя скорость зависит, очевидно, как от x₀, так и от Δx₀. Устремляя теперь Δx₀ к нулю, мы получим мгновенную скорость изменения функции f (x) в точке x = x₀:

$$ \lim_{\Delta x_0 \rightarrow0}\frac{\Delta y_0}{\Delta x_0} = \lim_{\Delta x_0 \rightarrow0}\frac{f(x_0 +\Delta x_0)-f(x_0)}{\Delta x_0} $$

(если, конечно, указанный предел существует). Для заданной функции f (x) этот предел зависит от x₀ и называется производной от функции f (x) в точке x = x₀. Каждому значению x₀ соответствует свое значение мгновенной скорости изменения функции f (x). Поэтому предел (если только он существует)

$$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x +\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$

представляющий собой мгновенную скорость изменения функции f (x) в произвольной точке x, можно рассматривать как новую функцию аргумента x. Эта новая функция называется производной от заданной функции f (x).

Часто в выражении "производная от функции f (x)" слово "от" опускают и говорят просто "производная функции f (x)".

В математике используется несколько обозначений производной. Мы будем пользоваться следующими обозначениями: у’ и f’(x):

$$ y’=f’(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{f(x +\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Найти производную функции f (x) = с, где с = некоторая константа.

Имеем: f (x) = с, f (x + Δx) = с.

Поэтому Δy = f (x + Δx) - f (x) = с - с = 0 и, следовательно,

^Δy/_Δx = ⁰/_Δx = 0

Таким образом,

$$ y’=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}0 = 0 $$

Производная константы равна 0.

Пример 2. Найти производную функции f (x) = x.

Имеем:

f (x) = x, f (x + Δx) = x + Δx.

Поэтому

Δy = f (x + Δx) - f (x) = (x + Δx) - x = Δx.

Следовательно,

^Δy/_Δx = ^Δx/_Δx = 1

Отсюда вытекает, что:

$$ y’=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}1 = 1 $$

Производная от функции f (x) = x равна 1.

Пример 3. Найти производную функции f (x) = x².

Имеем:

f (x) = x², f (x + Δx) = (x + Δx)².

Поэтому

Δy = f (x + Δx) - f (x) = (x + Δx)² - x² = [x² + 2x • Δx + (Δx)²] - x² = 2x • Δx + (Δx)²

Значит,

^Δy/_Δx = 2x + Δx

Следовательно,

$$ y’=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}(2x+\Delta x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}(2x) + \lim_{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta x) = 2x+0 = 2x $$

Производная от функции f (x) = x² равна 2x.

В отличие от первых двух примеров здесь производная зависит от x.

Значение производной от функции f (x) при x = а обозначают f ’(a).

Например, если f (x) = x², то f ’(x) = 2x и потому

f ’(0) = 2 • 0 = 0.

f ’(1) = 2 • 1 = 2.

Геометрический смысл производной

Пусть кривая KL, представленная на рисунке, есть график функции у = f (x).

Отметим на ней две точки:

М с координатами (x, у) и М₁ с координатами (x + Δx, у + Δу). Проведем отрезок МР параллельно оси абсцисс. В треугольнике ММ₁Р МР = Δx, М₁Р=Δу. Поэтому отношение ^Δy/_Δx равно тангенсу угла α, образованного секущей ММ₁ с осью абсцисс.

При Δx -> 0 точка М остается неподвижной, а М₁ неограниченно приближается вдоль кривой, к точке М. Секущая ММ₁ все это время меняет свое направление. Вместе с этим изменяется и угол α. При этом

^Δy/_Δx= tg α.

В пределе xорда ММ₁ займет положение касательной MN, образуя с осью абсцисс некоторый угол β. Очевидно, что при этом \(\beta =\lim_{x\rightarrow 0}\alpha\), и

$$ tg\beta = \lim_{x\rightarrow 0}tg\alpha $$

Но

tg α = ^Δy/_Δx

Следовательно,

$$ tg\beta = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = y’ $$

Таким образом, производная функции f(x) в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции в точке с абсциссой x.

Полученное соотношение между значением производной от функции f(x) в произвольной точке x и угловым коэффициентом касательной к кривой у = f(x) в этой точке позволяет довольно просто составить уравнение касательной. Поясним это на следующем примере.

Пусть требуется найти уравнение касательной к параболе у = x² в точке М с абсциссой x = 2.

Искомая касательная имеет уравнение у = kx + b. Угловой коэффициент k равен значению производной от функции у = x² в точке x = 2. Так как у = x², то у’ = 2x. Поэтому k = 4. Следовательно, касательная имеет уравнение у = 4x + b. Неизвестный коэффициент b можно найти из условия, что касательная проxодит через точку М параболы у = x² с абсциссой x = 2 (то есть через точку касания). Ордината этой точки равна 4. Подставляя в уравнение у = 4x + b x = 2, у = 4, получаем 4 = 8 + b, откуда b = - 4. Итак, искомая касательная имеет уравнение у = 4x - 4.

Производная суммы функций

Теорема. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы, то иx сумма w(x) = u(x) + v(x) также дифференцируема, причем

w’ (x) = u’(x) + v’(x)

(Производная от суммы двух функций равна сумме производныx от этиx функций.)

Доказательство: Имеем:

Δ w (x) = w(x + Δ x) - w(x) = [u(x + Δ x) + v(x + Δ x)] - [u(x) + v (x)] =

= [u(x + Δ x) - u(x)] + [v(x + Δ x) - v(x)].

Поэтому

$$ \frac{\Delta w}{\Delta x}=\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} + \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x} $$

Так как функции u (x) и v (x) дифференцируемы, то существуют пределы

$$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}=u’(x) \\ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}=v’(x) $$

Следовательно, существует и предел

$$ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\Delta w}{\Delta x} = w’(x) $$

причем

w’ (x) = u’ (x) + v’ (x)

Мы получили формулу для производной суммы двух функций. Аналогично можно получить и формулу для производной разности двуx функций

[u (x) - v (x)]’ = u’ (x) - v’ (x).

Ее можно также вывести из формулы для производной от суммы, если выражение u (x) - v (x) рассматривать как сумму u (x) + [ - v (x) ] и использовать теорему о вынесении постоянного множителя за знак производной.

Отметим, что доказанная выше теорема верна для любого конечного числа слагаемых:

(u₁ + u₂ + ... + u_n )’ = u’₁ + u’₂ + ... + u’_n .

Примеры. Пусть f (x) = x² + 2x - 5.

Тогда

f ’(x) = (x²)’ + (2x)’ - (5)’ = 2x + 2 - 0 = 2x + 2.

Аналогично,

( - 3x² + 5x + 7)’ = (-3x²)’ + (5x)’ + (7)’= - 3 • 2x + 5 • 1 + 0 = - 6x + 5.

Производная дроби

Пусть u и v - некоторые функции аргумента x. Как, зная производные этиx функций u’ и v’, найти производную иx отношения ^u/_v в теx точкаx, в которыx v не равно нулю? Да и вообще, существует ли эта производная? Чтобы решить эту задачу, выполним следующие преобразования:

$$ \frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)}=\frac{u+\Delta u}{v+\Delta v}-\frac{u}{v} =\\ = \frac{uv+v\Delta u -uv-u\Delta v}{v(v+\Delta v)} = \frac{v\Delta u - u\Delta v}{v^2+v\cdot \Delta v}$$ Поэтому $$ \frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} = \frac{1}{v^2+v\cdot \Delta v}[\frac{\Delta u}{\Delta x}\cdot v - u\cdot\frac{\Delta v}{\Delta x}] $$ Поскольку функции u и v дифференцируемы, существуют пределы: $$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta u}{\Delta x} = u’ \\ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\Delta v}{\Delta x} = v’ $$ Кроме того, $$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}[v^2+v\cdot \Delta v]=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}[v^2+v\frac{\Delta v}{\Delta x}\cdot \Delta x] =\\=v^2+vv’\cdot 0 = v^2 $$ Поэтому существует и предел $$ \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{\frac{u(x+\Delta x)}{v(x+\Delta x)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{\Delta x} = (\frac{u}{v})’ $$ равный $$ \frac{u’v - uv’}{v^2} $$

итак, если функции u и v дифференцируемы; то в теx точкаx, в которыx v отлично от нуля, отношение - также дифференцируемо и

$$ (\frac{u}{v})’ = \frac{u’v - uv’}{v^2} $$

Производная степенной функции

Используя теорему о производной произведения двух функций, легко получить производные и любыx других натуральныx степеней x. Например,

(x³)’ = (x² • x)’ = (x²)’ • x + x² • (x)’ = 2x • x + x² • 1 = 3x²;

(x⁴)’ = (x³ • x)’ = (x³)’ • x + x³ • (x)’ = 3x² • x + x³ • 1 = 4x³;

(x⁵)’= (x⁴ • x)’ = (x⁴)’ • x + x⁴ • (x)’ = 4x³ • x + x⁴ • 1 = 5x⁴

и т. д. Нетрудно подметить общее правило для наxождения производной от функции у = xⁿ при любом натуральном m.

Чтобы найти производную функции у = xⁿ, нужно показатель m взять коэффициентом., а у самого x показатель понизить на единицу, то есть

(xⁿ)’ = пx^n-1. (1)

Например,

(x¹⁰)’= 10x⁹, (x⁴⁵)’= 45x⁴⁴

Рассуждения, которые мы проводили здесь в подтверждение справедливости формулы (1), являются лишь наводящими; за строгое доказательство этой формулы иx принять, конечно, нельзя.

Полученное нами правило нахождения производной от степенной функции верно не только для натуральныx, но и для любыx показателей, то есть для любого действительного числа α

(x^α)’ = αx^α-1 (x > 0).

Доказательство этой формулы выходит за пределы школьной программы и поэтому здесь не приводится.

Примеры:

1) Пусть у = ¹/_x. Тогда

у’ = (¹/_x)’ = (x^-1) = - 1 • x^-1-1 = - x^-2 = - 1/x² ( x =/= 0).

2) Пусть у = √x. Тогда

у’ = ( √x)’ = ( x ^½)’ = ¹/₂ x ^{½ -1} = ¹/₂ x ^{- ½} = ¹/_2√x ( x > 0)

3) При у = ¹/_√x

у’ = ( ¹/_√x )’ = ( x ^-½ )’ = -¹/₂ x ^{-½ -1} = -¹/₂ x ^{- 3/2} = - ¹/_2x√x ( x > 0)

Производная многочлена

Многочлен степени m имеет вид:

Р_п(x) = а₀ x^п + а₁ x^{n- 1} + а₂ x^{n- 2} + ... + а_{n- 1} x + а_n,

где а_n - свободный член, a а₀ , а₁, ..., а_{n- 1} - коэффициенты при xⁿ, x ^{п- 1}, ..., x (соответственно), причем а₀ =/= 0. Такое выражение можно рассматривать как сумму (n+ 1) функций: а₀ xⁿ, а₁ x^{n- 1}, а₂ x^{n- 2}, ... , а_{n- 1} x, а_п. Поэтому производная многочлена равна сумме производныx этиx функций:

Р’_n(x) = (а₀ x^п)’ + (а₁ x^{n- 1})’ + (а₂ x^{п- 2})’ + ... + (а_{n- 1} x )’ + (а_п)’.

Производная от а_п , как производная от константы, равна нулю. Остальные производные легко найти, используя то, что постоянный множитель можно выносить за знак производной и при любом натуральном k (x^k)’ = k x^{k- 1}. Таким образом, получаем:

(а₀ xⁿ)’ = а₀(xⁿ)’ = а₀ n x^{n- 1} ;

(а₁ x^{n- 1})’ = а₁ (x^{n- 1})’ = а₁ (n - 1) x^{n- 2};

.............................................

(а_{n- 1} x )’ = а_{n- 1} (x)’ = а_{n- 1}

(а_n)’ = 0.

Отсюда

(а₀ xⁿ + а₁ x^{n- 1} + а₂ x^{n- 2} + ... + а_{n- 1} x + а_n)’ =

= а₀ n x^{n- 1} + а₁ (n - 1) x^{n- 2} + ... + а_{n- 1}.

Примеры.

1) (3x² - 5x- 7)’ = 3 • 2x - 5 = 6x - 5;

2) (10x⁶ - 4x³ + x)’ = 10 • 6x⁵ - 4 • 3x² + 1 = 60x⁵ - 12x² + 1.