Свойства десятичных логарифмов

За основание логарифмов часто принимают число 10. Логарифмы чисел по основанию 10 называются десятичными. Для обозначения десятичных логарифмов обычно используют знак lg, а не log; при этом число 10, указывающее основание, не пишут. Например, вместо log₁₀105 пишут просто: lg 105; вместо log₁₀2 пишут lg 2 и т. д.

Десятичным лосарифмам присущи все те свойства, которыми обладают логарифмы при основании, большем 1. Например, десятичные логарифмы определены только для положительных чисел. Десятичные логарифмы чисел, больших 1, положительны, а чисел, меньших 1, отрицательны; из двух положительных чисел большему соответствует и больший десятичный логарифм и т. д. Но, кроме того, десятичные логарифмы обладают и рядом специфических свойств, которыми и объясняется, почему в качестве основания логарифмов удобно выбирать именно число 10.

Прежде чем рассмотреть эти свойства, введем следующее определение.

Целая часть десятичного логарифма числа а называется характеристикой, а дробная - мантиссой этого логарифма.

Характеристика десятичного логарифма числа а обозначается как [lg а], а мантисса как {lg а}.

Известно, например, что lg 2 ≈ 0,3010. Поэтому

[lg 2] = 0, {lg 2} ≈ 0,3010.

Известно также, что lg 543,1 ≈ 2,7349. Следовательно,

[lg 543,1] = 2, {lg 543,1}≈ 0,7349.

Можно находить десятичные логарифмы положительных чисел по таблицам.

Точно так же из равенства lg 0,005 ≈ - 2,3010 заключаем, что

[lg 0,005] = - 3, {lg 0,005} = 0,6990.

Теперь перейдем к рассмотрению свойств десятичных логарифмов.

1. Десятичный логарифм целого положительного числа, изображенного единицей с последующими нулями, есть целое положительное число, равное количеству нулей в записи данного числа.

   Например, lg 1000 = 3,

   lg 1 000000 = 6.

   Вообще, если

   $$ a=1\underbrace{0000...0}_n $$

   то а = 10ⁿ и потому

   lg a = lg 10ⁿ = n lg 10 = n.

2. Десятичный логарифм положительной десятичной дроби, изображенной единицей с предшествующими нулями, равен - n, где n - число нулей в записи этого числа, считая и нуль целых.

   Например, lg 0,01 = - 2,

   lg 0,00001 = - 5.

   Вообще, если

   $$ a=\underbrace{0,000....1}_n $$

   то a = 10^-n и потому

   lg a = lg 10^-n = -n lg 10 = -n

3. Характеристика десятичного логарифма положительного числа, большего 1, равна количеству цифр в целой части этого числа без одной.

   Примеры. 1) Характеристика логарифма lg 75,631 равна 1.

   Действительно, 10 < 75,631 < 100. Поэтому

   lg 10 < lg 75,631 < lg 100,

   или

   1 < lg 75,631 < 2.

   Значит,

   lg 75,631 = 1 + α,

   где α - некоторая правильная положительная дробь. Но тогда

   [lg 75,631] = 1,

   что и требовалось доказать.

   2) Характеристика логарифма lg 5673,1 равна 3. Действительно,

   1000 < 5673,1 < 10 000. Поэтому

   lg 1000 < lg 5673,1 < lg 10 000,

   или

   3 < lg 5673,l < 4.

   Следовательно,

   [lg 5673,1] = 3.

   Вообще, если целая часть положительного числа а, большего единицы, содержит n цифр, то

   10^{n -1} < а < 10ⁿ.

   Поэтому

   lg 10^{n -1} < lg а < lg 10ⁿ.,

   или

   n - 1 < lg a < n.

   следовательно,

   [lg a] = n - 1.

4. Характеристика десятичного логарифма положительной десятичной дроби, меньшей 1, равна - n, где n - число нулей в данной десятичной дроби перед первой значащей цифрой, считая и нуль целых.

   Примеры. 1) Характеристика логарифма lg 0,0015 равна - 3.

   Действительно,

   0,001 < 0,0015 < 0,01.

   Поэтому

   lg 0,001 < lg 0,0015 < lg 0,01,

   или

   - 3 < lg 0,0015 < - 2.

   Значит, lg 0,0015 = - 3 + α, где α - некоторая правильная положительная дробь. Но в таком случае

   [lg 0,0015] = - 3.

   2) Характеристика логарифма lg 0,6 равна - 1. Действительно.

   0,1< 0,6 < 1.

   Поэтому

   lg 0,1 < lg 0,6< lg 1,

   или

   - 1 < lg 0,6 < 0.

   Следовательно,

   lg 0,6 = -1+ α,

   где α - некоторая правильная положительная дробь. Но в таком случае

   [lg0,6] = -1.

   Вообще, если первой значащей цифре правильной десятичной дроби α предшествует n нулей (считая в том числе и нуль целых), то

   $$ \underbrace{0,000...00}_n1 \leq a < \underbrace{0,000...00}_{n-1}1 $$ Поэтому $$ \lg\underbrace{0,000...00}_n1 \leq \lg a < \lg\underbrace{0,000...00}_{n-1}1 $$

   или

   - n < lg a < - (n - 1).

   Следовательно,

   [lg a ] = - n.

5. При умножении числа на 10ⁿ десятичный логарифм его увеличивается на n.

   Действительно, по теореме о логарифме произведения

   lg (а • 10ⁿ) = lg a + lg 10ⁿ = lg a + n.

   Например,

   lg (579,13 • 100) = lg 579,13 + 2;

   lg (16 • 1000) = lg 16 + 3.

   Перенос запятой в положительной десятичной дроби на n знаков вправо равносилен умножению этой дроби на 10ⁿ. Поэтому при переносе запятой в положительной десятичной дроби на n знаков вправо десятичный логарифм увеличивается на n.

6. При делении числа на 10ⁿ десятичный логарифм уменьшается на п.

   Например,

   lg ^1,57/₁₀₀₀ = lg 1,57-3;

   lg ^0,63/₁₀₀ = lg 0,63 - 2.

   При переносе запятой в положительной десятичной дроби на n знаков влево десятичный логарифм уменьшается на n.

   Например, lg 0,3567 = lg 35,67 - 2;

   lg 0,00054 = lg 0,54 - 3.

   Учащимся предлагается самостоятельно доказать эти утверждения.

   Все доказанные до сих пор свойства десятичных логарифмов относились к их характеристике. Теперь обратимся к мантиссе десятичных логарифмов.

7. Мантисса десятинного логарифма положительного числа не изменяется при умножении этого числа на 10ⁿ с любым целым показателем n.

   Действительно, при любом целом n (как положительном, так и отрицательном)

   lg (а • 10ⁿ) = lg a + lg 10ⁿ = lg a + n.

   Но дробная часть числа не изменяется при прибавлении к нему целого числа.

   Перенос запятой в десятичной дроби вправо или влево равносилен умножению этой дроби на степень числа 10 с целым показателем n (положительным или отрицательным). Поэтому при переносе запятой в положительной десятичной дроби влево или вправо мантисса десятичного логарифма этой дроби не изменяется.

   Например, {lg 0,0067} = {lg 0,67} = {lg 0,0000067}.